Defalcare Hermite

În matematică , formula Hermite sau descompunerea Hermitei , este o metodă care permite efectuarea descompunerii în fracții simple ale unei funcții raționale . Adică permite descompunerea oricărei funcții raționale într-o sumă de funcții raționale ale căror primitive sunt ușor de găsit: atunci primitiva funcției este suma acestor primitive.

Enunțarea teoremei

Lasa-i sa fie $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ Și $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ $Q (x)$ două polinoame pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ astfel încât gradul de $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ este mai mică decât cea a $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ $Q (x)$ și ambele:

Q(x)=a_{n}(x-b_{1})^{n_{1}}\dots (x-b_{j})^{n_{j}}(x^{2}+c_{1}x+d_{1})^{m_{1}}\dots (x^{2}+c_{k}x+d_{k})^{m_{k}}

{\ displaystyle Q (x) = a_ {n} (x-b_ {1}) ^ {n_ {1}} \ dots (x-b_ {j}) ^ {n_ {j}} (x ^ {2} + c_ {1} x + d_ {1}) ^ {m_ {1}} \ dots (x ^ {2} + c_ {k} x + d_ {k}) ^ {m_ {k}}}

Q (x) = a_ {n} (x-b_ {1}) ^ {{n_ {1}}} \ dots (x-b_ {j}) ^ {{n_ {j}}} (x ^ {2 } + c_ {1} x + d_ {1}) ^ {{m_ {1}}} \ dots (x ^ {2} + c_ {k} x + d_ {k}) ^ {{m_ {k}} }

reprezentarea de $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ $Q (x)$ în factori ireductibili. Apoi există o singură reprezentare a $P(x)/Q(x)$ ${\ displaystyle P (x) / Q (x)}$ $P (x) / Q (x)$ a formei:

{\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {A_{1}}{x-b_{1}}}+\dots +{\frac {A_{j}}{x-b_{j}}}+{\frac {C_{1}x+D_{1}}{x^{2}+c_{1}x+d_{1}}}+\dots +{\frac {C_{k}x+D_{k}}{x^{2}+c_{k}x+d_{k}}}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}{\frac {P^{1}(x)}{Q^{1}(x)}}{\bigg )}

{\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = {\ frac {A_ {1}} {x-b_ {1}}} + \ dots + {\ frac {A_ {j} } {x-b_ {j}}} + {\ frac {C_ {1} x + D_ {1}} {x ^ {2} + c_ {1} x + d_ {1}}} + \ dots + { \ frac {C_ {k} x + D_ {k}} {x ^ {2} + c_ {k} x + d_ {k}}} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ bigg (} {\ frac {P ^ {1} (x)} {Q ^ {1} (x)}} {\ bigg)}}

{\ frac {P (x)} {Q (x)}} = {\ frac {A_ {1}} {x-b_ {1}}} + \ dots + {\ frac {A_ {j}} {x -b_ {j}}} + {\ frac {C_ {1} x + D_ {1}} {x ^ {2} + c_ {1} x + d_ {1}}} + \ dots + {\ frac { C_ {k} x + D_ {k}} {x ^ {2} + c_ {k} x + d_ {k}}} + {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d} } x}} {\ bigg (} {\ frac {P ^ {1} (x)} {Q ^ {1} (x)}} {\ bigg)}

Unde:

Q^{1}(x)=(x-b_{1})^{n_{1}-1}\dots (x-b_{j})^{n_{j}-1}(x^{2}+c_{1}x+d_{1})^{m_{1}-1}\dots (x^{2}+c_{k}x+d_{k})^{m_{k}-1}

{\ displaystyle Q ^ {1} (x) = (x-b_ {1}) ^ {n_ {1} -1} \ dots (x-b_ {j}) ^ {n_ {j} -1} (x ^ {2} + c_ {1} x + d_ {1}) ^ {m_ {1} -1} \ dots (x ^ {2} + c_ {k} x + d_ {k}) ^ {m_ {k } -1}}

Q ^ {1} (x) = (x-b_ {1}) ^ {{n_ {1} -1}} \ dots (x-b_ {j}) ^ {{n_ {j} -1}} ( x ^ {2} + c_ {1} x + d_ {1}) ^ {{m_ {1} -1}} \ dots (x ^ {2} + c_ {k} x + d_ {k}) ^ { {m_ {k} -1}}

Și $P^{1}(x)$ ${\ displaystyle P ^ {1} (x)}$ $P ^ {1} (x)$ este un polinom de grad mai mic decât cel de $Q^{1}(x)$ ${\ displaystyle Q ^ {1} (x)}$ $Q ^ {1} (x)$ .

Utilizare în integrarea unei funcții raționale divizate

În enunț se presupune că numeratorul fracției algebrice are (ca polinom ) grad mai mic decât numitorul . Dacă nu ar fi cazul, s-ar putea folosi întotdeauna împărțirea euclidiană a numărătorului la numitor, pentru a descompune funcția divizată în suma unui polinom (din care este ușor de găsit primitivul) și a unei funcții divizate. care îndeplinește condiția menționată anterior. În acest moment, această fracție este exprimată în forma enunțată de teoremă, lăsând le-ul indicat $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ si $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ ca parametri și exprimând polinomul $P^{1}(x)$ ${\ displaystyle P ^ {1} (x)}$ $P ^ {1} (x)$ ca polinom generic de grad mai mic sau egal cu cel al $Q^{1}(x)$ ${\ displaystyle Q ^ {1} (x)}$ $Q ^ {1} (x)$ care are parametrii ca coeficienți $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ : astfel avem o egalitate între două fracții algebrice cu același numitor, conținând parametrii doar în dreapta. Echivalând coeficienții termenilor cu același grad, obținem un sistem liniar ale cărui necunoscute sunt le $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ si $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Prin rezolvarea sistemului, valorile parametrilor care verifică formula se obțin prin efectuarea descompunerii. Descompunând astfel funcția rațională divizată, este ușor să găsiți primitivele addendelor, folosind metode de integrare cunoscute .

Bibliografie

Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo și Lorenzo Giacomelli, Analiza matematică , Milano, McGraw-Hill, 2007, p. 247, ISBN 978-88-386-6234-8 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy