Seria de funcții

Convergența seriei:

\sum _{k=0}^{n}{\frac {2}{2k+1}}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {2} {2k + 1}} \ left ({\ frac {x-1} {x + 1}} \ right) ^ {2k +1}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {2} {2k + 1}} \ left ({\ frac {x-1} {x + 1}} \ right) ^ {2k +1}}

la funcția de logaritm .

În analiza matematică , o serie de funcții este un instrument folosit pentru a generaliza studiul sumei unui număr finit de funcții și pentru a ajunge la unele rezultate importante de convergență , pentru a exprima orice funcție ca o sumă (infinită) a altor funcții, poate mai simplu de manevrat.

O serie de funcții, similar cu seria numerică, este definită ca o anumită secvență asociată cu o altă succesiune.

Această succesiune este o succesiune de funcții $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ , adică fiecare element al secvenței este o funcție $f_{n}(x):D\longrightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f_ {n} (x): D \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f_ {n} (x): D \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ , iar seria asociată este definită de lege $\{s_{n}(x)=f_{0}+\cdots +f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {s_ {n} (x) = f_ {0} + \ cdots + f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {s_ {n} (x) = f_ {0} + \ cdots + f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ și este, de asemenea, indicat cu:

\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} f_ {n} (x)}

\ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} f_ {n} (x)

În definirea seriei de funcții și în enunțarea multor teoreme și proprietăți, nu este deloc necesar să presupunem nicio structură pe D. Unde este necesar, setul D poate fi un spațiu topologic , metric etc. sau un anumit subset de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ , $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ sau $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ .

În analogie cu seria numerică, termenii $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ Și $s_{n}$ ${\ displaystyle s_ {n}}$ ${\ displaystyle s_ {n}}$ acestea sunt numite respectiv termen general și sumă parțială a seriei.

Tipuri de convergență a unei serii de funcții

Să se dea următorul set de funcții

$\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} f_ {n} (x)}$ $\ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} f_ {n} (x)$

Convergența punctelor

Seria punctual converge într-o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă seria numerică:

\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x_{0})

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} f_ {n} (x_ {0})}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} f_ {n} (x_ {0})}

converge la $f(x_{0})$ ${\ displaystyle f (x_ {0})}$ $f (x_0)$ pentru fiecare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Întregul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se numește domeniul convergenței punctuale a seriei.

Convergență absolută

Seria converge absolut dacă termenul general serie $|f_{n}|$ ${\ displaystyle | f_ {n} |}$ ${\ displaystyle | f_ {n} |}$ converge punctual.

Convergență uniformă

Seria converge uniform către o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă succesiunea sumelor parțiale converge uniform $\{s_{n}(x)\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {s_ {n} (x) \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {s_ {n} (x) \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ .

Convergență totală

Seria converge total către o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă și numai dacă criteriul Weierstrass trece sau dacă sunt valabile următoarele condiții echivalente:

Exista $\{M_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq \mathbb {R} _{+}$ ${\ displaystyle \ {M_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subseteq \ mathbb {R} _ {+}}$ ${\ displaystyle \ {M_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subseteq \ mathbb {R} _ {+}}$ astfel încât:

\sum M_{n}<\infty \qquad |f_{n}(x)|\leq M_{n}\qquad \forall x\in A\quad n\in \mathbb {N}

{\ displaystyle \ sum M_ {n} <\ infty \ qquad | f_ {n} (x) | \ leq M_ {n} \ qquad \ forall x \ in A \ quad n \ in \ mathbb {N}}

{\ displaystyle \ sum M_ {n} <\ infty \ qquad | f_ {n} (x) | \ leq M_ {n} \ qquad \ forall x \ in A \ quad n \ in \ mathbb {N}}

Se întâmplă:

\sum \sup _{x\in A}|f_{n}(x)|<\infty

{\ displaystyle \ sum \ sup _ {x \ în A} | f_ {n} (x) | <\ infty}

{\ displaystyle \ sum \ sup _ {x \ în A} | f_ {n} (x) | <\ infty}

Aceste condiții exprimă în esență existența unei serii convergente pe termen pozitiv care „domină” seria în cauză, similar teoremei convergenței dominate de Lebesgue .

Teoreme

Legături între convergențe

Dacă o serie converge total, atunci converge și uniform și absolut. Conversa nu este adevărată.

Dacă o serie converge uniform în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , asa de $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ converge lin către $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , adică:

\lim _{n\to \infty }{\sup _{x\in A}|f_{n}(x)|=0}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ sup _ {x \ în A} | f_ {n} (x) | = 0}}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ sup _ {x \ în A} | f_ {n} (x) | = 0}}

Limita sub semnul seriei (teorema uniformă a limitei)

Fie o serie de funcții continue care converg uniform la funcția sumă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Atunci funcția sumă este, de asemenea, continuă.

$\lim _{x\to x_{0}}f_{n}(x)=f_{n}(x_{0}),f_{n}(x)\to f{\text{ uniformemente}}\implies \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}\sum _{n}^{\infty }f_{n}(x)=\sum _{n}^{\infty }\lim _{x\to x_{0}}f_{n}(x)$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f_ {n} (x) = f_ {n} (x_ {0}), f_ {n} (x) \ to f {\ text {uniform} } \ implică \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = \ lim _ {x \ to x_ {0}} \ sum _ {n} ^ {\ infty} f_ {n} (x) = \ sum _ {n} ^ {\ infty} \ lim _ {x \ to x_ {0}} f_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f_ {n} (x) = f_ {n} (x_ {0}), f_ {n} (x) \ to f {\ text {uniform} } \ implică \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = \ lim _ {x \ to x_ {0}} \ sum _ {n} ^ {\ infty} f_ {n} (x) = \ sum _ {n} ^ {\ infty} \ lim _ {x \ to x_ {0}} f_ {n} (x)}$

Derivare sub semn de serie

Fie o serie de funcții diferențiate în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ . Dacă seria derivatelor este uniform convergentă, atunci derivata funcției sumă poate fi scrisă ca seria derivatelor.

$f(x)=\sum _{n}f_{n}(x),\sum _{n}f'_{n}(x){\text{ unif. conv. }}\implies f'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sum _{n}f_{n}(x)=\sum _{n}f'_{n}(x)$ ${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n} f_ {n} (x), \ sum _ {n} f '_ {n} (x) {\ text {unif. conv. }} \ implică f '(x) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ sum _ {n} f_ {n} (x) = \ sum _ {n} f '_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n} f_ {n} (x), \ sum _ {n} f '_ {n} (x) {\ text {unif. conv. }} \ implică f '(x) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ sum _ {n} f_ {n} (x) = \ sum _ {n} f '_ {n} (x)}$

Integrare conform standardului

Fie o serie de funcții care converg uniform în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ . Atunci seria integralei este egală cu integrala seriei, adică integrala funcției sumă.

\sum _{n}\int _{a}^{b}f_{n}(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\sum _{n}{f_{n}(x)}\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ sum _ {n} \ int _ {a} ^ {b} f_ {n} (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {b} \ sum _ {n} { f_ {n} (x)} \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ sum _ {n} \ int _ {a} ^ {b} f_ {n} (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {b} \ sum _ {n} { f_ {n} (x)} \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x}

Daca este $f_{n}\geq 0$ ${\ displaystyle f_ {n} \ geq 0}$ ${\ displaystyle f_ {n} \ geq 0}$ , $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ continua pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ iar seria converge în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ la o funcție continuă, atunci convergența este uniformă.

Exemple

Exemple de seturi de funcții sunt multiple în analiză. În special, trebuie menționate următoarele:

Seria de putere - serie în care termenul general este de tipul $a_{n}\,(x-c)^{n}$ ${\ displaystyle a_ {n} \, (xc) ^ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {n} \, (x-c) ^ {n}}$ , unde este $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ este un coeficient variabil. De asemenea, are aplicații în combinatorie și inginerie electrică.
Seria Taylor - caz special al unei serii de putere, în care coeficienții $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ sunt reprezentate de derivatele succesive ale funcției la punct $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , cu excepția cazului în care există un termen factorial în numitor. Acestea sunt utilizate pe scară largă, în special într-o formă „trunchiată” la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -al doilea termen, pentru a aproxima funcția luată în considerare la punctul respectiv $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . O funcție care poate fi dezvoltată în seria Taylor în orice moment se numește analitică . Se mai numește serie Taylor-MacLaurin dacă punctul de plecare este zero.
Seria Fourier - serie care aproximează comportamentul funcțiilor periodice prin intermediul unor sume infinite de sinusuri și cosinus . Acestea sunt aplicate, de exemplu, în acustică , în optică și în soluția unor ecuații diferențiale parțiale particulare.

Bibliografie

Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Elements of Mathematical Analysis Two. Versiune simplificată pentru cursuri noi , Liguori Editore , Napoli, 2001 ISBN 88-207-3137-1

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy