Studiul funcției

În analiza matematică termenul de studiu al funcției indică aplicarea practică a teoremelor și tehnicilor de calcul în cazul specific al unei funcții a cărei expresie analitică este cunoscută. Studiul funcției este util pentru obținerea în mod explicit a informațiilor care descriu comportamentul unei funcții în domeniul său. Adesea, informațiile obținute printr-un studiu funcțional sunt suficiente pentru a putea desena, chiar și manual, un grafic calitativ al funcției studiate și care, în general, pentru funcțiile cu valoare reală a unei variabile reale, este reprezentat pe un plan cartesian , chiar dacă în unele cazuri poate fi mai ușor să folosiți un alt sistem de coordonate . În general, cu „studiu funcțional” ne referim implicit la cazul unic și specific al funcțiilor reale ale unei singure variabile reale , dar cu modificările adecvate este totuși posibil să se adapteze următoarele considerații și la cazul funcțiilor mai multor variabile reale , precum și chiar pentru funcțiile uneia sau mai multor variabile complexe .

Metodă

Nu există o procedură univocă prescrisă de o teoremă sau corolar specific care să indice ordinea exactă a pașilor și calculelor care trebuie efectuate pentru a studia corect o funcție . Putem încerca să oferim o indicație generală cu o referință specială la cazul funcțiilor unei singure variabile reale și în cazul specific în care încercăm să obținem o reprezentare pe un sistem cartezian de referință $X SAU y$ ${\ displaystyle xOy}$ ${\ displaystyle xOy}$ .

Clasificarea taxonomică a funcției

În general, se poate începe studierea unei funcții prin clasificarea ei după tip sau „clasă căreia îi aparține” . De exemplu, o funcție poate fi elementară, polinomială, rațională, irațională, trigonometrică, transcendentă, specială etc. Identificarea imediată dacă aparține unui grup de „funcții similare”, adică cu „proprietăți comune”, precum și posibilitatea de a determina orice proprietăți de bază ale funcției, cum ar fi orice paritate sau disparitate , poate simplifica calculele folosind proprietățile clasei date de funcții de membru. În special, poate fi foarte util să recunoaștem în mod explicit și să listăm orice compoziții de funcții implicate în ecuația funcției. De exemplu, să presupunem că trebuie să studiați o funcție în formă $f(x)=\sin {\psi (x)},$ ${\ displaystyle f (x) = \ sin {\ psi (x)},}$ ${\ displaystyle f (x) = \ sin {\ psi (x)},}$ Unde $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ este orice funcție. Din moment ce se știe că funcția sinusului ia valori strict în intervalul închis $[-1;+1],$ ${\ displaystyle [-1; +1],}$ ${\ displaystyle [-1; +1],}$ indiferent de natura $\psi (x),$ ${\ displaystyle \ psi (x),}$ ${\ displaystyle \ psi (x),}$ clasificând $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ ca funcție trigonometrică și în mod specific, o funcție compusă a funcției sinusoidale, putem concluziona imediat că valorile lui $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ trebuie să aparțină gamei $[-1;+1].$ ${\ displaystyle [-1; +1].}$ ${\ displaystyle [-1; +1].}$

Determinarea setului de definiții

După ce am clasificat funcția, putem continua cu determinarea setului de definiții al acesteia. În cazul funcțiilor obținute din compunerea funcțiilor elementare , este necesar să se aplice, încapsulându-le una în alta, regulile care conduc la scrierea oricăror condiții de existență. O cerință indispensabilă pentru a putea proceda la determinarea explicită a setului de definiții este capacitatea de a putea rezolva ecuații și inegalități. De exemplu, prin studierea funcțiilor în formă $f(x)=\arcsin {\psi (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = \ arcsin {\ psi (x)}}$ ${\ displaystyle f (x) = \ arcsin {\ psi (x)}}$ , condiția existenței care trebuie impusă este $-1=<\psi (x)=<1$ ${\ displaystyle -1 = <\ psi (x) = <1}$ ${\ displaystyle -1 = <\ psi (x) = <1}$ . În funcție de expresia analitică a $\psi (x),$ ${\ displaystyle \ psi (x),}$ ${\ displaystyle \ psi (x),}$ inegalitatea obținută din condiția existenței poate fi transformată într-un sistem de inegalități de orice natură (polinomial, fracționat, exponențial, logaritmic, trigonometric, transcendent etc.).

Determinarea intersecțiilor cu axele de coordonate

Căutarea intersecțiilor cu axele se traduce prin căutarea oricăror zerouri ale funcției și a intersecției posibile cu axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ (care este prezent doar dacă zero aparține setului de definiție a funcției).

Zerourile funcției sunt obținute prin rezolvarea ecuației $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ . Intersecția posibilă cu axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ se obține prin plasare $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ în cadrul expresiei analitice a $f(x),$ ${\ displaystyle f (x),}$ ${\ displaystyle f (x),}$ adică prin calcul $f(0).$ ${\ displaystyle f (0).}$ ${\ displaystyle f (0).}$

Studiul semnului funcției

Semnul funcției poate fi determinat prin rezolvarea inegalității $f(x)>0$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ sau, echivalent, $f(x)<0.$ ${\ displaystyle f (x) <0.}$ ${\ displaystyle f (x) <0.}$

Studiul funcției în apropierea punctelor de frontieră ale domeniului

Studiul comportamentului funcției în apropierea punctelor în care nu este definită, dar care sunt puncte de acumulare pentru domeniul funcției, se face calculând limitele funcției în aceste puncte. Uneori funcția poate avea asimptote în aceste puncte.

Studiul monotoniei funcției

Studiul monotoniei funcției implică calculul primei funcții derivate și a celei de-a doua funcții derivate, dacă acestea există. A obținut funcțiile $f'(x)$ ${\ displaystyle f '(x)}$ ${\ displaystyle f '(x)}$ Și $f''(x)$ ${\ displaystyle f '' (x)}$ ${\ displaystyle f '' (x)}$ , studiem semnul care este legat de tendința (pentru prima derivată) și de concavitatea (pentru a doua derivată) a funcției inițiale.

Trasarea graficului calitativ

Informațiile obținute din pașii anteriori ne permit în general să putem desena un grafic calitativ al funcției. Adesea, pentru a obține o precizie mai mare în grafic, poate fi util să calculați în mod explicit o valoare suplimentară $f(x_{0}),f'(x_{0})$ ${\ displaystyle f (x_ {0}), f '(x_ {0})}$ ${\ displaystyle f (x_ {0}), f '(x_ {0})}$ Și $f''(x_{0})$ ${\ displaystyle f '' (x_ {0})}$ ${\ displaystyle f '' (x_ {0})}$ cu $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ alese în mod corespunzător în cadrul setului de definiție a funcției.

Studiul simplificat al funcțiilor

În cazul funcțiilor elementare cărora li s-au aplicat doar transformări elementare , cum ar fi traducerile și homotetica , este totuși posibil să se obțină un grafic calitativ al funcției fără a fi necesar să recurgă la un studiu complet al funcției. În mod specific, se utilizează o metodă pur grafică, în care, pornind de la funcția elementară, transformările elementare conținute în expresia analitică a funcției sunt aplicate în mod ordonat până la obținerea funcției studiate. Acest lucru se aplică și funcțiilor din formular $f(x)=1/g(x),$ ${\ displaystyle f (x) = 1 / g (x),}$ ${\ displaystyle f (x) = 1 / g (x),}$ pentru care diverse informații despre comportamentul $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ pur și simplu prin studierea comportamentului $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ .

Studiul funcțional al mai multor variabile reale

În cazul funcțiilor cu valoare reală a mai multor variabile reale, este posibil, în principiu, să se urmeze schema enumerată mai sus cu modificările corespunzătoare. Evident, numai pentru funcțiile a două variabile reale va fi posibil să se încerce trasarea unui grafic calitativ într-un spațiu tridimensional. Și numai pentru cazuri particulare de funcții a trei variabile reale este posibil să se obțină o reprezentare grafică foarte euristică și aproximativă recurgând la o animație grafică obținută prin intermediul unui software de calcul numeric adecvat. Cu referire explicită la cazul funcțiilor mai multor variabile reale, pe lângă punctele paragrafului anterior, pot fi introduse următoarele etape suplimentare.

Studiul seturilor de niveluri

Pentru funcții de $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ variabilele, liniile de contur sau liniile de contur, sunt descrise de familia de curbe

f(x,y)=C

{\ displaystyle f (x, y) = C}

{\ displaystyle f (x, y) = C}

Unde

C\in \mathbb {R} .

{\ displaystyle C \ in \ mathbb {R}.}

{\ displaystyle C \ in \ mathbb {R}.}

Se poate observa că pentru $C=0$ ${\ displaystyle C = 0}$ ${\ displaystyle C = 0}$ obținem „curba nivelului zero”, adică zerourile funcției a două variabile care corespund setului de puncte care satisfac ecuația $f(x,y)=0$ ${\ displaystyle f (x, y) = 0}$ ${\ displaystyle f (x, y) = 0}$ .

Pentru funcții de $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ variabile, este în mod similar posibil să se introducă suprafețe de nivel descrise de familia de suprafețe de ecuație

f(x,y,z)=C

{\ displaystyle f (x, y, z) = C}

{\ displaystyle f (x, y, z) = C}

Unde

C\in \mathbb {R}

{\ displaystyle C \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle C \ in \ mathbb {R}}

.

Mai general, pentru funcțiile de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile, putem vorbi despre familia hipersuprafețelor ecuației

f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=C

{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = C}

{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = C}

Unde

C\in \mathbb {R}

{\ displaystyle C \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle C \ in \ mathbb {R}}

.

În acest context, teorema funcției implicite prezintă un interes deosebit, care stabilește sub care ipoteze, local, aceste ecuații definesc o funcție.

Studiul graficelor de nivel

În mod similar ca și pentru seturile de niveluri, este posibil să se studieze graficele de nivel , adică funcțiile parametrice $z_{1}=f(\alpha ,y)$ ${\ displaystyle z_ {1} = f (\ alfa, y)}$ ${\ displaystyle z_ {1} = f (\ alfa, y)}$ Și $z_{2}=f(x,\beta )$ ${\ displaystyle z_ {2} = f (x, \ beta)}$ ${\ displaystyle z_ {2} = f (x, \ beta)}$ . Se poate vedea cum aceste funcții parametrice sunt complet echivalente cu funcțiile unei variabile reale dependente de un parametru al cărui grafic este o familie de curbe. Semnificația geometrică a graficelor de nivel este proiecția secțiunilor graficului funcțional proiectate de-a lungul planurilor carteziene $X SAU z$ ${\ displaystyle xOz}$ ${\ displaystyle xOz}$ Și $y SAU z$ ${\ displaystyle yOz}$ ${\ displaystyle yOz}$ .

Studiul monotoniei, maximelor și minimelor

Spre deosebire de cazul funcțiilor unei singure variabile reale, nu este posibil să se studieze monotonia într-un mod similar, deoarece, așa cum se știe, în $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ , $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ și mai general $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ nu mai există o ordine naturală la care să ne referim și însăși definiția unei funcții monotone este dependentă de alegerea arbitrară a unui ordin. Prin urmare, procedăm doar la calcularea maximelor și minimelor relative (care, pentru aceeași problemă, sunt definibile în mod natural numai dacă funcția are valori reale), prin calcularea matricei Hessian și studierea semnului acesteia. Spre deosebire de funcțiile unei singure variabile, pentru funcțiile mai multor variabile este posibil să se identifice posibile puncte de șa . Mai mult, este posibil să se introducă conceptul de maxime și minime constrânse .

Trasarea graficului calitativ

În general, deși în principiu este posibil, este deosebit de laborios să poți desena manual un grafic calitativ al unei funcții a două (sau mai multe) variabile reale și, în general, atunci când este necesar să se afișeze în mod explicit graficul unui funcție de mai multe variabile, este de preferat să utilizați software dedicat.

Studiul funcțiilor vectoriale

Tehnicile de studiu a funcțiilor pot fi aplicate, cu modificările adecvate, și pentru funcțiile vectoriale, chiar dacă un studiu aprofundat al acestei clase de funcții se încadrează în capitolul geometrie diferențială .

Cele mai „ușoare” cazuri de studiat sunt funcțiile vectoriale sub forma:

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ( curbe );
$f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ( suprafețe );
$f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$ ( câmpuri vectoriale în plan);
$f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ( câmpuri vectoriale în spațiu).

Studiul unei curbe

Studiul unei suprafețe

Studiul unui câmp vectorial

Studiul funcțiilor variabilelor complexe

În cazul funcțiilor unei singure variabile complexe , se folosește explicația variabilei $z=x+yi$ ${\ displaystyle z = x + yi}$ ${\ displaystyle z = x + yi}$ prin care se poate scrie o funcție variabilă generică complexă sub forma:

f(z)=u(x,y)+iv(x,y),

{\ displaystyle f (z) = u (x, y) + iv (x, y),}

{\ displaystyle f (z) = u (x, y) + iv (x, y),}

unde este $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ sunt funcții ale $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ variabile reale. După cum se poate observa mai bine din acest mod de a scrie o funcție complexă, în virtutea corespondenței unu-la-unu dintre $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ Și $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ , graficul unei funcții complexe a variabilei complexe se dovedește a fi un „obiect” în $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ , deoarece aveți nevoie de o pereche de puncte pentru partea reală și de o altă pereche de puncte pentru partea imaginară. De fapt, întrucât partea reală și partea imaginară sunt ambele funcții ale $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ variabilele care trebuie reprezentate simultan au nevoie de un spațiu a $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ mărimea. Aceasta înseamnă că tehnicile convenționale în general utile pentru desenarea graficelor funcțiilor uneia sau a două variabile reale nu mai sunt suficiente pentru reprezentarea funcțiilor complexe. În general, cea mai simplă soluție constă în alegerea de a reprezenta, separat, partea reală și partea imaginară, pe două grafice separate și folosind tehnicile paragrafului anterior.

Cu toate acestea, imposibilitatea de a reprezenta o funcție complexă cu tehnici convenționale poate fi împiedicată prin recurgerea la noțiunile de modulo și argument principal al unui număr complex prin care este posibil să se introducă funcția modulo și funcția argument .

Funcția modulo este definită în mod trivial de relație

|f(z)|={\sqrt {u^{2}(x,y)+v^{2}(x,y)}}

{\ displaystyle | f (z) | = {\ sqrt {u ^ {2} (x, y) + v ^ {2} (x, y)}}}

{\ displaystyle | f (z) | = {\ sqrt {u ^ {2} (x, y) + v ^ {2} (x, y)}}}

În ceea ce privește argumentul funcției, este necesar să se discute separat cazurile descrise în următorul tabel sumar:

			$arg\,f(z)$ ${\ displaystyle arg \, f (z)}$ ${\ displaystyle arg \, f (z)}$
Cazul 1	$u(x,u)>0$ ${\ displaystyle u (x, u)> 0}$ ${\ displaystyle u (x, u)> 0}$	$v(x,u)=0$ ${\ displaystyle v (x, u) = 0}$ ${\ displaystyle v (x, u) = 0}$	0
Cazul 2	$u(x,u)<0$ ${\ displaystyle u (x, u) <0}$ ${\ displaystyle u (x, u) <0}$	$v(x,u)=0$ ${\ displaystyle v (x, u) = 0}$ ${\ displaystyle v (x, u) = 0}$	$\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle \ pi}$
Cazul 3	$u(x,u)=0$ ${\ displaystyle u (x, u) = 0}$ ${\ displaystyle u (x, u) = 0}$	$v(x,u)>0$ ${\ displaystyle v (x, u)> 0}$ ${\ displaystyle v (x, u)> 0}$	${\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$
Cazul 4	$u(x,u)=0$ ${\ displaystyle u (x, u) = 0}$ ${\ displaystyle u (x, u) = 0}$	$v(x,u)<0$ ${\ displaystyle v (x, u) <0}$ ${\ displaystyle v (x, u) <0}$	$-{\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}$
Cazul 5	$u(x,u)>0$ ${\ displaystyle u (x, u)> 0}$ ${\ displaystyle u (x, u)> 0}$	$\forall \,v(x,u)$ ${\ displaystyle \ forall \, v (x, u)}$ ${\ displaystyle \ forall \, v (x, u)}$	$\arctan {\frac {v(x,y)}{u(x,y)}}$ ${\ displaystyle \ arctan {\ frac {v (x, y)} {u (x, y)}}}$ ${\ displaystyle \ arctan {\ frac {v (x, y)} {u (x, y)}}}$
Cazul 6	$u(x,u)<0$ ${\ displaystyle u (x, u) <0}$ ${\ displaystyle u (x, u) <0}$	$v(x,u)>0$ ${\ displaystyle v (x, u)> 0}$ ${\ displaystyle v (x, u)> 0}$	$\arctan {\frac {v(x,y)}{u(x,y)}}+\pi$ ${\ displaystyle \ arctan {\ frac {v (x, y)} {u (x, y)}} + \ pi}$ ${\ displaystyle \ arctan {\ frac {v (x, y)} {u (x, y)}} + \ pi}$
Cazul 7	$u(x,u)<0$ ${\ displaystyle u (x, u) <0}$ ${\ displaystyle u (x, u) <0}$	$v(x,u)<0$ ${\ displaystyle v (x, u) <0}$ ${\ displaystyle v (x, u) <0}$	$\arctan {\frac {v(x,y)}{u(x,y)}}-\pi$ ${\ displaystyle \ arctan {\ frac {v (x, y)} {u (x, y)}} - \ pi}$ ${\ displaystyle \ arctan {\ frac {v (x, y)} {u (x, y)}} - \ pi}$

După cum se poate observa cu ușurință din acest tabel, argumentul unei funcții de funcție complexă este „deosebit de sensibil” la valoarea asumată de semnele funcțiilor $u(x,u)$ ${\ displaystyle u (x, u)}$ ${\ displaystyle u (x, u)}$ Și $v(x,u)$ ${\ displaystyle v (x, u)}$ ${\ displaystyle v (x, u)}$ . Funcția modulo și funcția argument sunt, de asemenea, funcții ale $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ variabile reale și pot fi, în principiu, studiate cu aceleași tehnici indicate mai sus. Mai mult, prin intermediul unui software adecvat de calcul numeric, este posibil să se reprezinte într-un singur grafic, funcția modulo și funcția argument, recurgând la utilizarea culorilor pentru a reprezenta funcția argument, păstrând în același timp graficul funcției modulo ca „cadru” a colora". Prin urmare, în mod asemănător cu funcțiile a mai mult de două variabile reale, problema reprezentabilității grafice a funcțiilor unei variabile complexe devine predominantă, la fel ca lungimea considerabilă și laboriozitatea calculelor, motiv pentru care studiul clasic al unor astfel de variabile funcții efectuate „manual”.

Bibliografie

Claudio Canuto, Anita Tabacco, "Analiza matematică 1", Springer, 2014, ISBN 978-88-470-5723-4
Claudio Canuto, Anita Tabacco, "Mathematical Analysis 2", Springer, 2014, ISBN 978-88-470-5729-6
Elias Wegert, "Funcția complexă vizuală - o introducere cu portrete de fază", Springer, 2012, ISBN 978-3-0348-0179-9
Tristan Needham, „Visual Complex Analyis”, Oxford University Press, 1997, ISBN 0-19-853447-7

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy