Funcția elementară

În matematică , o funcție se numește elementară dacă este o funcție algebrică, exponențială, logaritmică sau dacă este obținută din aceste clase de funcții printr-un număr finit de aplicații ale operațiilor aritmetice elementare și ale compoziției funcțiilor ^[1] . De asemenea, sunt incluse în această listă funcțiile trigonometrice (legate de exponențialul complex prin formula lui Euler ) și funcția de valoare absolută (ca $|x|:={\sqrt {x^{2}}}$ ${\ displaystyle | x |: = {\ sqrt {x ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle | x |: = {\ sqrt {x ^ {2}}}}$ ).

Prin urmare, orice combinație, oricât de complicată, a acestor operatori menționați mai sus, cum ar fi de exemplu, este o funcție elementară

{\frac {\mathrm {e} ^{\tan(x)}}{1-x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+\ln ^{2}x}}\,\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {e} ^ {\ tan (x)}} {1-x ^ {2}}} \ sin \ left ({\ sqrt {1+ \ ln ^ {2} x} } \, \ dreapta)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {e} ^ {\ tan (x)}} {1-x ^ {2}}} \ sin \ left ({\ sqrt {1+ \ ln ^ {2} x} } \, \ dreapta)}

.

Dintre funcțiile neelementare găsim, printre altele, funcția de semn , funcția de eroare și funcția care enumeră elementele secvenței Fibonacci .

Algebră diferențială

În algebra diferențială există o definiție abstractă a unei funcții elementare. Reamintim că un câmp diferențial este un câmp echipat cu o operație unară de „ derivare ”, adică o hartă $\partial :{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle \ partial: {\ mathcal {K}} \ rightarrow {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle \ partial: {\ mathcal {K}} \ rightarrow {\ mathcal {K}}}$ astfel încât:

$\partial (u+v)=\partial u+\partial v$ ${\ displaystyle \ partial (u + v) = \ partial u + \ partial v}$ ${\ displaystyle \ partial (u + v) = \ partial u + \ partial v}$ (operația este liniară )
$\partial (u\cdot v)=u\cdot \partial v+\partial u\cdot v$ ${\ displaystyle \ partial (u \ cdot v) = u \ cdot \ partial v + \ partial u \ cdot v}$ ${\ displaystyle \ partial (u \ cdot v) = u \ cdot \ partial v + \ partial u \ cdot v}$ (Se aplică regula lui Leibniz )

Prin urmare, este definit ca o funcție elementară pe ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ un element u aparținând extensiei algebrice ${\mathcal {K}}[u]$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} [u]}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} [u]}$ astfel încât

u este algebric pe ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ , sau
u este un exponențial , adică $\partial u=u\cdot \partial a$ ${\ displaystyle \ partial u = u \ cdot \ partial a}$ ${\ displaystyle \ partial u = u \ cdot \ partial a}$ , Pentru câteva în ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ , sau
u este un logaritm , adică $\partial u={\partial a \over a}$ ${\ displaystyle \ partial u = {\ partial a \ over a}}$ ${\ displaystyle \ partial u = {\ partial a \ over a}}$ , Pentru câteva în ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ .

Notă

^ (EN) Funcții elementare - Enciclopedia matematicii , pe www.encyclopediaofmath.org. Adus pe 9 aprilie 2018 .

Controlul autorității	NDL ( EN , JA ) 00572309

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Funcții elementare - Enciclopedia matematicii , pe www.encyclopediaofmath.org. Adus pe 9 aprilie 2018 .

[1]