Limita funcțiilor multi-variabile

În analiza matematică , limita funcțiilor cu mai multe variabile este un caz special al conceptului general al limitei unei funcții , aplicat funcțiilor de tipul:

f:X\to \mathbb {R} ^{m}

{\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} ^ {m}}

f: X \ to \ R ^ m

unde este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un subset al spațiului euclidian $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ .

Limita unei funcții multi-variabile este adesea calculată cu criterii ad hoc și are aspecte specifice, neprezente pentru nicio funcție.

Definiție

Definiția limitei pentru o funcție multi-variabilă rezultă din cea mai generală pentru funcții între spații metrice . Mai exact, o funcție $f:X\to \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ definit pe un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ are limita $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ într-un punct de acumulare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ dacă pentru orice număr real $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ există un număr real $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât:

\|f(x)-l\|<\epsilon

{\ displaystyle \ | f (x) -l \ | <\ epsilon}

{\ displaystyle \ | f (x) -l \ | <\ epsilon}

pentru fiecare

X

{\ displaystyle x}

X

în

X

{\ displaystyle X}

X

cu

0<\|x-x_{0}\|<\delta

{\ displaystyle 0 <\ | x-x_ {0} \ | <\ delta}

{\ displaystyle 0 <\ | x-x_ {0} \ | <\ delta}

.

Definiția folosește norma pentru vectori în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ și o notație vectorială compactă pentru punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Dacă există o limită $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , acest lucru este unic pentru unicitatea teoremei limitei și este indicat și de:

l=\lim _{x\to x_{0}}f(x)

{\ displaystyle l = \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x)}

{\ displaystyle l = \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x)}

În două variabile este încă posibil să scrieți toate componentele fără a crea o notație prea grea și, prin urmare, va fi scrisă, pentru o limită în $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ :

l=\lim _{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}f(x,y)

{\ displaystyle l = \ lim _ {(x, y) \ to (x_ {0}, y_ {0})} f (x, y)}

{\ displaystyle l = \ lim _ {(x, y) \ to (x_ {0}, y_ {0})} f (x, y)}

Componente

Poate fi util să scrieți componentele $f_{1},f_{2},\dots f_{m}$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots f_ {m}}$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots f_ {m}}$ a funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și rețineți că noțiunea:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = l}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = l}

este echivalent cu:

\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }f_{1}(\mathbf {x} )=l_{1}

{\ displaystyle \ lim _ {\ mathbf {x} \ to \ mathbf {x_ {0}}} f_ {1} (\ mathbf {x}) = l_ {1}}

{\ displaystyle \ lim _ {\ mathbf {x} \ to \ mathbf {x_ {0}}} f_ {1} (\ mathbf {x}) = l_ {1}}

\vdots

{\ displaystyle \ vdots}

{\ displaystyle \ vdots}

\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }f_{m}(\mathbf {x} )=l_{m}

{\ displaystyle \ lim _ {\ mathbf {x} \ to \ mathbf {x_ {0}}} f_ {m} (\ mathbf {x}) = l_ {m}}

{\ displaystyle \ lim _ {\ mathbf {x} \ to \ mathbf {x_ {0}}} f_ {m} (\ mathbf {x}) = l_ {m}}

unde este $l=(l_{1},\ldots ,l_{m})$ ${\ displaystyle l = (l_ {1}, \ ldots, l_ {m})}$ ${\ displaystyle l = (l_ {1}, \ ldots, l_ {m})}$ .

Exemplu

Următoarea limită nu există:

\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}

{\ displaystyle \ lim _ {(x, y) \ to (0,0)} {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}}

{\ displaystyle \ lim _ {(x, y) \ to (0,0)} {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}}

De fapt, se obțin valori diferite ale limitei care se apropie de punct $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ din direcții diferite. Prin plasare $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ ${\ displaystyle y = 0}$ și calculând limita potrivită, obținem:

\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+0^{2}}}}=1

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + 0 ^ {2}}}} = 1}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + 0 ^ {2}}}} = 1}

În timp ce era pe dreapta $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle x = 0}$ primim:

\lim _{y\to 0}{\frac {0}{\sqrt {0^{2}+y^{2}}}}=0

{\ displaystyle \ lim _ {y \ to 0} {\ frac {0} {\ sqrt {0 ^ {2} + y ^ {2}}}} = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {y \ to 0} {\ frac {0} {\ sqrt {0 ^ {2} + y ^ {2}}}} = 0}

În cazul mai multor variabile, „direcția”, adică curba de-a lungul căreia se calculează o limită, este de o importanță fundamentală: dacă o funcție are o limită la punctul respectiv, aceasta nu trebuie să depindă de „direcția aleasă”.

Calcul

Pentru a calcula limita unei funcții a două variabile $z=f(x,y)$ ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ $z = f (x, y)$ intr-un loc $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ , o primă metodă constă în efectuarea unei modificări a variabilelor în coordonate polare :

{\begin{cases}x=x_{0}+\rho \cos \theta \\y=y_{0}+\rho \sin \theta \end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x_ {0} + \ rho \ cos \ theta \\ y = y_ {0} + \ rho \ sin \ theta \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x_ {0} + \ rho \ cos \ theta \\ y = y_ {0} + \ rho \ sin \ theta \ end {cases}}}

iar funcția este compusă:

f(x,y)=F(x_{0}+\rho cos\theta ,y_{0}+\rho \sin \theta )

{\ displaystyle f (x, y) = F (x_ {0} + \ rho cos \ theta, y_ {0} + \ rho \ sin \ theta)}

{\ displaystyle f (x, y) = F (x_ {0} + \ rho cos \ theta, y_ {0} + \ rho \ sin \ theta)}

Mai mult, teorema susține:

\lim _{(x,y)\to (x_{0},y_{0})}f(x,y)=\lim _{\rho \to 0}F(x_{0}+\rho \cos \theta ,y_{0}+\rho \sin \theta )=L

{\ displaystyle \ lim _ {(x, y) \ to (x_ {0}, y_ {0})} f (x, y) = \ lim _ {\ rho \ to 0} F (x_ {0} + \ rho \ cos \ theta, y_ {0} + \ rho \ sin \ theta) = L}

{\ displaystyle \ lim _ {(x, y) \ to (x_ {0}, y_ {0})} f (x, y) = \ lim _ {\ rho \ to 0} F (x_ {0} + \ rho \ cos \ theta, y_ {0} + \ rho \ sin \ theta) = L}

oricât de uniform în ceea ce privește $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , adică lățimea intervalului de $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ astfel încât imaginile să fie toate conținute în orice vecinătate de 0 trebuie să fie independente de $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ .

O altă metodă este de a calcula limita în funcție de diferitele curbe care trec $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ , adică pe măsură ce vă apropiați $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ , în funcție de direcții diferite:

{\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x (t) \\ y = y (t) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = x (t) \\ y = y (t) \ end {cases}}}

alcătuind funcția $f(x,y)=F[x(t),y(t)]$ ${\ displaystyle f (x, y) = F [x (t), y (t)]}$ ${\ displaystyle f (x, y) = F [x (t), y (t)]}$

\lim _{t\to t_{0}}F[x(t),y(t)]=L

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to t_ {0}} F [x (t), y (t)] = L}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to t_ {0}} F [x (t), y (t)] = L}

unde este $(x_{0},y_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}))$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) = (x (t_ {0}), y (t_ {0}))}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) = (x (t_ {0}), y (t_ {0}))}$ .

În general, cu această din urmă metodă este extrem de dificil să se calculeze limita, deoarece ar trebui calculată pentru toate direcțiile infinite care se apropie $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ ; prin urmare, metoda este utilă pentru a nega existența unei limite ipotetice (așa cum sa făcut în exemplul anterior), folosind teorema restricțiilor .

Bibliografie

( EN ) Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An introduction (Ediția a treia) , New York: McGraw - Hill, pp. 558–559, ISBN 0-07-009465-9
( EN ) Felscher, Walter (2000), Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta , American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 107 (9): 844-862, doi: 10.2307 / 2695743, JSTOR 2695743.
(EN) Grabiner, Judith V. (1983), Cine ți-a dat Epsilonul ? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus , American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 90 (3)

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy