Inegalitatea Minkowski

În matematică , inegalitatea lui Minkowski este o inegalitate care poartă numele lui Hermann Minkowski . Rezultă din inegalitatea Hölder .

Inegalitate

Este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un spațiu de măsură cu măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , și așa să fie $p\geq 1$ ${\ displaystyle p \ geq 1}$ $p \ geq 1$ . Astfel, dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt funcții măsurabile în $L^{p}(\Omega )$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ Omega)}$ avem: ^[1]

\left(\int _{\Omega }(f+g)^{p}d\mu \right)^{1 \over p}\leq \left(\int _{\Omega }f^{p}d\mu \right)^{1 \over p}+\left(\int _{\Omega }g^{p}d\mu \right)^{1 \over p}

{\ displaystyle \ left (\ int _ {\ Omega} (f + g) ^ {p} d \ mu \ right) ^ {1 \ over p} \ leq \ left (\ int _ {\ Omega} f ^ { p} d \ mu \ right) ^ {1 \ over p} + \ left (\ int _ {\ Omega} g ^ {p} d \ mu \ right) ^ {1 \ over p}}

{\ displaystyle \ left (\ int _ {\ Omega} (f + g) ^ {p} d \ mu \ right) ^ {1 \ over p} \ leq \ left (\ int _ {\ Omega} f ^ { p} d \ mu \ right) ^ {1 \ over p} + \ left (\ int _ {\ Omega} g ^ {p} d \ mu \ right) ^ {1 \ over p}}

Echivalent:

\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}

{\ displaystyle \ | f + g \ | _ {p} \ leq \ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p}}

{\ displaystyle \ | f + g \ | _ {p} \ leq \ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p}}

Prin această ultimă formulare, inegalitatea lui Minkowski se generalizează la întâmplare $p=\infty$ ${\ displaystyle p = \ infty}$ ${\ displaystyle p = \ infty}$ . Din inegalitatea lui Minkowski rezultă că $L^{p}(\Omega )$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ Omega)}$ este un spațiu normat, așa cum se menține inegalitatea triunghiulară. În special, $L^{p}(\Omega )$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ Omega)}$ este un spațiu Banach pentru fiecare $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ . În cazul în care spațiul de măsurare este ansamblul elementelor naturale $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb N$ cu măsura numărării $\mu (A)=\#A$ ${\ displaystyle \ mu (A) = \ # A}$ ${\ displaystyle \ mu (A) = \ # A}$ , apoi pentru fiecare pereche de secvențe $(a_{i})_{i\geq 1}$ ${\ displaystyle (a_ {i}) _ {i \ geq 1}}$ ${\ displaystyle (a_ {i}) _ {i \ geq 1}}$ Și $(b_{i})_{i\geq 1}$ ${\ displaystyle (b_ {i}) _ {i \ geq 1}}$ ${\ displaystyle (b_ {i}) _ {i \ geq 1}}$ în $l^{p}(\mathbb {N} )$ ${\ displaystyle l ^ {p} (\ mathbb {N})}$ ${\ displaystyle l ^ {p} (\ mathbb {N})}$ inegalitatea Minkowski este scrisă:

\left(\sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{\infty }|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | a_ {i} + b_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p} \ leq \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | a_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p} + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | b_ { i} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | a_ {i} + b_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p} \ leq \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | a_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p} + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | b_ { i} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}

Minkowski pentru integrale

Lasa-i sa fie $(X,{\mathcal {M}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {M}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {M}}, \ mu)}$ Și $(Y,{\mathcal {N}},\nu )$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {N}}, \ nu)}$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {N}}, \ nu)}$ două spații de măsurare $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ -finit, și să fie $f$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ o functie $({\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {N}})$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {M}} \ otimes {\ mathcal {N}})}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {M}} \ otimes {\ mathcal {N}})}$ -măsurabil. De sine $f\geq 0$ ${\ displaystyle f \ geq 0}$ ${\ displaystyle f \ geq 0}$ , apoi pentru fiecare $1\leq p<\infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$

\left(\int \left(\int f(x,y)d\nu (y)\right)^{p}d\mu (x)\right)^{1 \over p}\leq \int \left(\int f(x,y)^{p}d\mu (y)\right)^{1 \over p}d\nu (x)

{\ displaystyle \ left (\ int \ left (\ int f (x, y) d \ nu (y) \ right) ^ {p} d \ mu (x) \ right) ^ {1 \ over p} \ leq \ int \ left (\ int f (x, y) ^ {p} d \ mu (y) \ right) ^ {1 \ over p} d \ nu (x)}

{\ displaystyle \ left (\ int \ left (\ int f (x, y) d \ nu (y) \ right) ^ {p} d \ mu (x) \ right) ^ {1 \ over p} \ leq \ int \ left (\ int f (x, y) ^ {p} d \ mu (y) \ right) ^ {1 \ over p} d \ nu (x)}

În special, rezultă din aceasta că dacă $f(\cdot ,y)\in L^{p}(\mu )$ ${\ displaystyle f (\ cdot, y) \ în L ^ {p} (\ mu)}$ ${\ displaystyle f (\ cdot, y) \ în L ^ {p} (\ mu)}$ pentru aproape fiecare $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ , cu $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ , și dacă funcția $y\mapsto \Vert f(\cdot ,y)\Vert _{p}$ ${\ displaystyle y \ mapsto \ Vert f (\ cdot, y) \ Vert _ {p}}$ ${\ displaystyle y \ mapsto \ Vert f (\ cdot, y) \ Vert _ {p}}$ stă în $L^{1}(\nu )$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ nu)}$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ nu)}$ , asa de

\left\Vert {\int f(\cdot ,y)d\nu (y)}\right\Vert _{p}\leq \int \Vert f(\cdot ,y)\Vert _{p}\,d\nu (y)

{\ displaystyle \ left \ Vert {\ int f (\ cdot, y) d \ nu (y)} \ right \ Vert _ {p} \ leq \ int \ Vert f (\ cdot, y) \ Vert _ {p } \, d \ nu (y)}

{\ displaystyle \ left \ Vert {\ int f (\ cdot, y) d \ nu (y)} \ right \ Vert _ {p} \ leq \ int \ Vert f (\ cdot, y) \ Vert _ {p } \, d \ nu (y)}

Notă

^ W. Rudin , pagina 62 .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( RO ) GH Hardy, JE Littlewood; G. Pólya, Inegalități , Cambridge, Biblioteca matematică Cambridge, 1952, ISBN 0-521-35880-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) MI Voitsekhovskii, Minkowski inequality , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] W. Rudin , pagina 62 .

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Numărul real · infinitezimal · Big O · Succesiunea ( funcțiilor ) · Succesiunea Cauchy · Teorema Bolzano-Weierstrass · Estimarea asimptotică · Limita ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limita considerabilă · Punct de acumulare · Punct de izolat · Aproximativ · Series ( funcții ) · criterii de convergență · limita funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitatea triunghiular · Cauchy-Schwarz inegalitatea · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · locală Difeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuația diferențială · problema Cauchy