Distanța Minkowski

În matematică , distanța Minkowski este o distanță în spațiul euclidian care poate fi considerată o generalizare atât a distanței euclidiene , cât și a distanței Manhattan .

Definiție

Distanța de ordine Minkowski $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ între două puncte $P=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle P = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$ $P = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})$ Și $Q=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ ${\ displaystyle Q = (y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {n})}$ $Q = (y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {n})$ în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este definit ca:

\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{1/p}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}

\ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {{1 / p}}

Această distanță este de obicei utilizată cu $p=1$ ${\ displaystyle p = 1}$ $p = 1$ sau $p=2$ ${\ displaystyle p = 2}$ $p = 2$ : primul caz duce la distanța din Manhattan , în timp ce al doilea reprezintă distanța euclidiană .

Pentru $p\geq 1$ ${\ displaystyle p \ geq 1}$ $p \ geq 1$ distanța Minkowski este o metrică , în sensul că satisface inegalitatea triunghiulară ca o consecință a inegalității Minkowski . Cand $p<1$ ${\ displaystyle p <1}$ $p <1$ , distanța dintre $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ Și $(1,1)$ ${\ displaystyle (1,1)}$ $(1.1)$ Și $2^{1/p}>2$ ${\ displaystyle 2 ^ {1 / p}> 2}$ $2 ^ {{1 / p}}> 2$ dar ideea $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ este la o distanță de 1 de ambele.