Punctul de inflexiune

interval concavitate

Intervalul de convexitate

punct de inflexiune (schimbare de concavitate)

Un punct de inflexiune pentru o curbă sau funcția este un punct la care are loc o schimbare de convexitate sau semn de curbură . Definirea și studierea punctelor de inflexiune utilizează pe scară largă a calculului infinitezimal și mai precis a conceptului derivat .

Definiție

Un punct de inflexiune cu o tangentă orizontală

Un punct de inflexiune este definită în mod diferit în funcție de context.

Pentru o funcție $f\colon I\to \mathbb {R} ,$ ${\ Displaystyle f \ colon I \ la \ mathbb {R},}$ ${\ Displaystyle f \ colon I \ la \ mathbb {R},}$ pe derivabile $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ interval, un punct de inflexiune este un punct $x\in I$ ${\ Displaystyle x \ în I}$ ${\ Displaystyle x \ în I}$ astfel încât $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ are oextremă locală izolată în $X .$ ${\ X displaystyle.}$ ${\ X displaystyle.}$ Dacă toate extremele $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ sunt izolate, atunci această definiție este echivalent cu a spune că punctul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un punct de inflexiune în cazul în care linia tangentă la punctul $(x,f(x))$ ${\ Displaystyle (x, f (x))}$ ${\ Displaystyle (x, f (x))}$ din graficul funcției „trece“ grafic (adică trece prin ea) și este, de asemenea, echivalent cu a spune că punctul de inflexiune este un punct în care concavitatea modificărilor funcției.
De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este derivabila pe de două ori $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ definiția de mai sus este echivalent cu a spune că punctul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un punct de inflexiune în cazul în care $f^{″}$ ${\ Displaystyle f ''}$ $f ''$ are în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ un izolat zero și semn de schimbare.
Pentru o curbă descrisă de ecuațiile parametrice un punct de inflexiune este un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a curbei în care curbura orientată își schimbă semnul și există o vecinătate a $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ in care $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ acesta este singurul punct de pe curba în care curbura orientată își schimbă semnul.
Pentru o curbă algebrică un punct de inflexiune este un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ non-singular al curbei în care multiplicitatea intersecția liniei tangente în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ cu curba este impar și mai mare decât $2.$ ${\ displaystyle 2.}$ ${\ displaystyle 2.}$

Un punct de inflexiune pentru o funcție diferențiabilă poate fi ascendent sau descendent:

este ascendentă atunci când $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ are un minim local la punctul de inflexiune,
este descendent, atunci când $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ are un maxim local, la punctul de inflexiune.

Observați că graficul unei funcții este un caz special al unei curbe descrise de ecuații parametrice.

În cazul în care extremele $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ ele nu sunt izolate toate Următoarele exemple arată că nu este echivalent cu a cere ca linia tangentă cruce graficul sau că concavitatea schimbarea funcției. Luați în considerare funcțiile $f(x)=x^{3}(1+1/2\sin(1/x))$ ${\ F displaystyle (x) = x ^ {3} (1 + 1/2 \ sin (1 / x))}$ ${\ F displaystyle (x) = x ^ {3} (1 + 1/2 \ sin (1 / x))}$ Și $g(x)=x^{2}(1+1/2\sin(1/x))$ ${\ Displaystyle g (x) = x ^ {2} (1 + 1/2 \ sin (1 / x))}$ ${\ Displaystyle g (x) = x ^ {2} (1 + 1/2 \ sin (1 / x))}$ , Ambele extins în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ plasarea $f(0)=g(0)=0.$ ${\ F displaystyle (0) = g (0) = 0.}$ ${\ F displaystyle (0) = g (0) = 0.}$ Graficele de ambele funcții au o linie tangentă $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ în $0.$ ${\ displaystyle 0.}$ ${\ displaystyle 0.}$ În cazul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ tangenta traversează graficul funcției, în cazul $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ tangenta rămâne sub graficul funcției. În ambele cazuri, funcția schimbă ori infinit concavitate în orice vecinătate $0.$ ${\ displaystyle 0.}$ ${\ displaystyle 0.}$

Funcții

Flexiuni orizontale, oblice și verticale

Un punct de inflexiune cu o tangentă oblică

Este $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ un punct de inflexiune pentru o funcție $f(x).$ ${\ displaystyle f (x).}$ ${\ F displaystyle (x).}$ Dacă tangentei la punctul este orizontală (adică, dacă $f'(x_{0})=0$ ${\ displaystyle f '(x_ {0}) = 0}$ ${\ F displaystyle „(X_ {0}) = 0}$ ) Aceasta se numește flexie orizontală. Dacă vorbim despre flexat oblică.

În cazul în care funcția este diferențiabilă de două ori la toate punctele într - un cartier $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Și primul derivat $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ ${\ F displaystyle „}$ Tinde să $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ oa $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , Vorbim de „tangenta verticală“, iar punctul este încovoiat în cazul în care a doua modificări derivate semneze și nu se anulează în $I-\{x_{0}\}$ ${\ Displaystyle I - \ {X_ {0} \}}$ ${\ Displaystyle I - \ {X_ {0} \}}$ . În acest caz vorbim de flexie pe verticală.

Clarificări

„Creați contul de schimbare“ al doilea derivat trebuie să se înțeleagă o în jurul valorii : în cazul funcției, aceasta a flexat în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ dacă există un cartier $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ cu $x<x_{0}$ ${\ Displaystyle x <X_ {0}}$ ${\ Displaystyle x <X_ {0}}$ da ai $f''(x)>0$ ${\ Displaystyle f '' (x)> 0}$ $f '' (x)> 0$ (respectiv $<0$ ${\ displaystyle <0}$ ${\ displaystyle <0}$ ) Și pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ cu $x>x_{0}$ ${\ Displaystyle x> X_ {0}}$ ${\ Displaystyle x> X_ {0}}$ da ai $f''(x)<0$ ${\ Displaystyle f '' (x) <0}$ $f '' (x) <0$ (respectiv $>0$ ${\ Displaystyle> 0}$ ${\ Displaystyle> 0}$ ).

Metode de rezoluție

Pentru a verifica dacă o funcție analitic are puncte de inflexiune, în ipoteza existenței a doua derivată, valorile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pentru care acesta din urmă este anulat:

~f''(x)=0.

{\ Displaystyle ~ f '' (x) = 0.}

{\ Displaystyle ~ f '' (x) = 0.}

Condiția ca $f''(x_{0})=0$ ${\ Displaystyle f '' (X_ {0}) = 0}$ ${\ Displaystyle f '' (X_ {0}) = 0}$ este necesară, dar nu suficientă pentru a garanta existența unei inflexiune în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , Deoarece derivata a doua nu se poate schimba în jurul semna $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ : Acest lucru se întâmplă în cazul în care funcția are o „mai mare decât ordinul al doilea“, contactul cu linia sa tangentă la punctul.

Apoi vom continua cu analiza verificarea că a doua modificări derivate semneze. Acest lucru se întâmplă exact atunci când primul derivat non-zero este calculat la punctul $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ ca urmare a doua este un derivat ciudat.

Proprietate

Un punct de inflexiune este un punct staționar dacă și numai dacă este orizontală.
Într-un punct de inflexiune funcția admite un „contact de cel puțin de ordinul al doilea“ cu linia tangentă.
Există funcții care nu au puncte de inflexiune: de exemplu, cei care au ca linii drepte diagrame, parabole și funcții polinomiale date de expresii cum ar fi $x^{2k}$ ${\ Displaystyle x ^ {2k}}$ ${\ Displaystyle x ^ {2k}}$ pentru $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ număr întreg pozitiv sau expresii care pot fi urmărite înapoi la acestea prin traduceri, homothetics, ....

Generalizări

Caz complex

În cazul unor funcții sau curbe considerate variabile complexe , nu este posibil să se dea o definiție cu totul analog, deoarece numerele complexe nu au o ordine , și , prin urmare , nu are nici un sens să vorbească despre „schimbare de semn“ al derivatului sau curbură.

Din acest motiv, un punct de inflexiune pentru o curbă sau o funcție este de obicei definită ca un punct în care linia tangentă are „multiplicitate intersecție“ (adică „ordin de contact“) cu curba cel puțin 3. O astfel de multiplicitate este „ de obicei“ 2, așa punctele de inflexiune sunt „excepționale“ puncte de pe curba.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de inflexiune

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy