Maxim și minim al unei funcții

În acest grafic sunt evidente un maxim și două minime relative, dintre care unul este și un minim absolut.

În matematică se spune că o funcție cu valoare reală :

f\colon D\to \mathbb {R}

{\ displaystyle f \ colon D \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle f \ colon D \ to \ mathbb {R}}

are într-un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ a domeniului dvs. $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ un maxim global (sau absolut ) dacă este în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ presupune o valoare mai mare sau egală cu cea pe care și-o asumă în celelalte puncte din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , adică

f(x_{0})\geq f(x)\qquad \forall x\in D

{\ displaystyle f (x_ {0}) \ geq f (x) \ qquad \ forall x \ in D}

f (x_ {0}) \ geq f (x) \ qquad \ forall x \ în D

.

Invers $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ are un minim global (sau absolut ) la un moment dat $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ de sine

f(x_{0})\leq f(x)\qquad \forall x\in D

{\ displaystyle f (x_ {0}) \ leq f (x) \ qquad \ forall x \ in D}

f (x_ {0}) \ leq f (x) \ qquad \ forall x \ în D

Se spune că o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ are în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ un maxim local (sau relativ ) dacă $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ aparține domeniului $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , este de acumulare pentru $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , și apoi $f(x_{0})\geq f(x)$ ${\ displaystyle f (x_ {0}) \ geq f (x)}$ $f (x_ {0}) \ geq f (x)$ într-un cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

$f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în schimb are un minim local (sau relativ ) în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ de sine $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ aparține domeniului $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , este de acumulare pentru $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , și apoi $f(x_{0})\leq f(x)$ ${\ displaystyle f (x_ {0}) \ leq f (x)}$ $f (x_ {0}) \ leq f (x)$ într-un cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

În toate aceste cazuri, vorbim de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ ca punct de maxim (sau minim ) absolut (sau relativ ).

Punctele maxime și minime se mai numesc extreme , iar valorile asumate de funcție în aceste puncte se numesc extreme ale funcției.

Maxim și minim pentru funcții diferențiate (de la R la R)

Primul derivat

În cazul unei funcții diferențiabile a unei variabile reale, condiția necesară , dar nu suficientă, pentru ca un punct să fie posibil de maxim sau minim local este dată de teorema lui Fermat , conform căreia prima derivată a unei funcții trebuie să dispară dacă este calculată la un punct local maxim sau minim:

f\,'(x_{0})=0

{\ displaystyle f \, '(x_ {0}) = 0}

f \, '(x_ {0}) = 0

Această condiție permite găsirea unui anumit număr de puncte ( x ₀ , x ₁ , ...) care se numesc puncte critice sau staționare. Firește această condiție este valabilă pentru toate punctele din interiorul domeniului de diferentiabilitate, adică, în punctele din interiorul acestui set, în timp ce în extremele setului nu este sigur că există derivatul și tocmai din acest motiv condiția este valabil și pentru deschis intervale . Această condiție poate fi demonstrată: de fapt dacă $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este un punct maxim local, apoi într-un cartier $(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ ${\ displaystyle (x_ {0} - \ delta, x_ {0} + \ delta)}$ $(x_ {0} - \ delta, x_ {0} + \ delta)$ de x _0, raportul incremental :

${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}={\begin{cases}\leq 0&\forall x_{0}<x<x_{0}+\delta \\\geq 0&\forall x_{0}-\delta <x<x_{0}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x-x_ {0}}} = {\ begin {cases} \ leq 0 & \ forall x_ {0} <x <x_ {0} + \ delta \\\ geq 0 & \ forall x_ {0} - \ delta <x <x_ {0} \ end {cases}}}$ ${\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x-x_ {0}}} = {\ begin {cases} \ leq 0 & \ forall x_ {0} <x <x_ {0} + \ delta \\\ geq 0 & \ forall x_ {0} - \ delta <x <x_ {0} \ end {cases}}$

deci trecând la limita unei funcții de $x\to x_{0}$ ${\ displaystyle x \ to x_ {0}}$ $x \ to x_0$ deducem asta în mod necesar $f'(x_{0})=0$ ${\ displaystyle f '(x_ {0}) = 0}$ $f '(x_ {0}) = 0$ .

Geometric această condiție înseamnă că linia tangentă la punctul x ₀ este orizontală. Această condiție nu este nici necesară, nici suficientă pentru a avea un maxim sau un minim local: de fapt, pe de o parte, pot exista puncte de maxim sau minim local chiar și în cazul în care funcția nu poate fi diferențiată și, pe de altă parte, pot exista puncte (de inflexiune ) unde derivatul dispare, dar funcția nu are maxim sau minim local.

Putem folosi prima derivată pentru a clasifica punctele critice. Un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este de maxim local pentru f dacă în cartierele sale din dreapta și din stânga:

f'(x)={\begin{cases}\leq 0&x_{0}<x<x_{0}+\delta \\\geq 0&x_{0}-\delta <x<x_{0}\end{cases}}

{\ displaystyle f '(x) = {\ begin {cases} \ leq 0 & x_ {0} <x <x_ {0} + \ delta \\\ geq 0 & x_ {0} - \ delta <x <x_ {0} \ end {cases}}}

f '(x) = {\ begin {cases} \ leq 0 & x_ {0} <x <x_ {0} + \ delta \\\ geq 0 & x_ {0} - \ delta <x <x_ {0} \ end {cases}}

În schimb, este un minim local dacă:

f'(x)={\begin{cases}\geq 0&x_{0}<x<x_{0}+\delta \\\leq 0&x_{0}-\delta <x<x_{0}\end{cases}}

{\ displaystyle f '(x) = {\ begin {cases} \ geq 0 & x_ {0} <x <x_ {0} + \ delta \\\ leq 0 & x_ {0} - \ delta <x <x_ {0} \ end {cases}}}

f '(x) = {\ begin {cases} \ geq 0 & x_ {0} <x <x_ {0} + \ delta \\\ leq 0 & x_ {0} - \ delta <x <x_ {0} \ end {cases}}

În cele din urmă, dacă valoarea derivatei nu se modifică pe măsură ce trece prin punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ atunci acesta este un punct de inflexiune ascendent sau descendent, în funcție de faptul dacă prima derivată rămâne întotdeauna pozitivă sau întotdeauna negativă.

A doua derivată

Alternativ, dacă funcția admite a doua derivată la un punct, un punct este relativ maxim sau minim dacă prima derivată a funcției dispare (deci $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este un punct staționar ) și a doua derivată nu dispare. Mai exact, presupunând că prima derivată dispare, dacă a doua derivată este mai mare decât 0, atunci înseamnă că concavitatea va fi orientată în sus, deci punctul este minim. În timp ce, dacă a doua derivată este mai mică de zero, înseamnă că concavitatea este orientată în jos și, prin urmare, va fi un punct maxim. Dacă, pe de altă parte, a doua derivată dispare, în cazul în care a treia derivată este diferită de zero, vom avea o flexiune ascendentă sau descendentă cu tangență orizontală în acel punct și, pentru definirea flexiunii, funcția va fi schimbă concavitatea în acel moment.

Funcțiile a două sau mai multe variabile reale

În cazul funcțiilor din mai multe variabile, discuția este analogă, dar diferențialul (și deci gradientul ) funcției dispare. În cazul funcțiilor a 2 variabile , pentru a verifica dacă punctul este maxim sau minim, ne uităm la semnul determinantului matricei Hessian și la primul termen al matricei:

primul element pozitiv, determinant pozitiv ( matrice definitivă pozitivă ): există un minim local
primul termen negativ, determinant pozitiv: avem un maxim local .
determinant negativ, atunci punctul se numește punctul de șa .
determinant nul: trebuie calculată pozitivitatea funcției.

Cu toate acestea, în cazul funcțiilor a 3 sau mai multe variabile, trebuie studiat semnul valorilor proprii ale matricei Hessian (în punctele critice, adică unde gradientul este anulat) și:

dacă valorile proprii sunt strict mai mari decât zero, punctul care anulează gradientul este de minim local .
dacă valorile proprii sunt strict mai mici decât zero, acest punct este un maxim local .
dacă valorile proprii schimbă semnul, punctul este șa .
dacă valorile proprii sunt nule, ele nu oferă nicio informație cu privire la natura punctului.

În cazul funcțiilor a două sau mai multe variabile, căutarea punctelor maxime și minime nu se termină în domeniul în care funcția este diferențiată, dar maximele și minimele trebuie căutate și la limită , în care în general funcția nu este diferențiat. În acest caz, în funcțiile a două variabile, granița este parametrizată și punctele maxime și minime sunt căutate așa cum se vede pentru o variabilă reală.

Exemple

Funcția unei variabile reale

Considera

y=x\mathrm {e} ^{-x^{2}}

{\ displaystyle y = x \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}}}

y = x {\ mathrm {e}} ^ {{- x ^ {2}}}

.

Să calculăm prima derivată :

y'=\mathrm {e} ^{-x^{2}}-2x^{2}\mathrm {e} ^{-x^{2}}=\mathrm {e} ^{-x^{2}}(1-2x^{2}).

{\ displaystyle y '= \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}} - 2x ^ {2} \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}} = \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}} (1-2x ^ {2}).}

y '= {\ mathrm {e}} ^ {{- x ^ {2}}} - 2x ^ {2} {\ mathrm {e}} ^ {{- x ^ {2}}} = {\ mathrm { și}} ^ {{- x ^ {2}}} (1-2x ^ {2}).

Să calculăm a doua derivată:

y''=-2x\mathrm {e} ^{-x^{2}}(1-2x^{2})+\mathrm {e} ^{-x^{2}}(-4x).

{\ displaystyle y '' = - 2x \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}} (1-2x ^ {2}) + \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}} (- 4x ).}

y '' = - 2x {\ mathrm {e}} ^ {{- x ^ {2}}} (1-2x ^ {2}) + {\ mathrm {e}} ^ {{- x ^ {2} }} (- 4x).

Prima derivată dispare în puncte

x_{1,2}=\pm {\sqrt {\frac {1}{2}}}.

{\ displaystyle x_ {1,2} = \ pm {\ sqrt {\ frac {1} {2}}}.}

x _ {{1,2}} = \ pm {\ sqrt {{\ frac {1} {2}}}}.

În sens $x_{1}={\sqrt {\frac {1}{2}}}$ ${\ displaystyle x_ {1} = {\ sqrt {\ frac {1} {2}}}}$ $x_ {1} = {\ sqrt {{\ frac {1} {2}}}}$ a doua derivată este negativă, deci este un punct maxim, în timp ce în punct $x_{2}=-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$ ${\ displaystyle x_ {2} = - {\ sqrt {\ frac {1} {2}}}}$ $x_ {2} = - {\ sqrt {{\ frac {1} {2}}}}$ a doua derivată este pozitivă, deci este un punct minim.

Funcția a două variabile reale

Luați în considerare funcția a 2 variabile

z=x^{3}+y^{3}+3xy

{\ displaystyle z = x ^ {3} + y ^ {3} + 3xy}

z = x ^ {3} + y ^ {3} + 3xy

.

Să calculăm primele derivate parțiale :

{\frac {\partial z}{\partial x}}=f_{x}=3x^{2}+3y

{\ displaystyle {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} = f_ {x} = 3x ^ {2} + 3y}

{\ frac {\ partial z} {\ partial x}} = f_ {x} = 3x ^ {2} + 3y

{\frac {\partial z}{\partial y}}=f_{y}=3y^{2}+3x

{\ displaystyle {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} = f_ {y} = 3y ^ {2} + 3x}

{\ frac {\ partial z} {\ partial y}} = f_ {y} = 3y ^ {2} + 3x

De aici și gradientul de $f(x,y)$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ $f (x, y)$ Și:

\nabla f(x,y)=(f_{x};f_{y})={\begin{cases}f_{x}=3x^{2}+3y\\f_{y}=3y^{2}+3x\end{cases}}

{\ displaystyle \ nabla f (x, y) = (f_ {x}; f_ {y}) = {\ begin {cases} f_ {x} = 3x ^ {2} + 3y \\ f_ {y} = 3y ^ {2} + 3x \ end {cases}}}

\ nabla f (x, y) = (f_ {x}; f_ {y}) = {\ begin {cases} f_ {x} = 3x ^ {2} + 3y \\ f_ {y} = 3y ^ {2 } + 3x \ end {cases}}

Punctele critice sunt date de soluția de sistem:

{\begin{cases}f_{x}=3x^{2}+3y=0\\f_{y}=3y^{2}+3x=0\end{cases}}\leftrightarrow {\begin{cases}x^{2}+y=0\\y^{2}+x=0\end{cases}}\leftrightarrow {\begin{cases}y=-x^{2}\\x^{4}+x=0\end{cases}}\leftrightarrow {\begin{cases}x(x^{3}+1)=0\\y=-x^{2}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} f_ {x} = 3x ^ {2} + 3y = 0 \\ f_ {y} = 3y ^ {2} + 3x = 0 \ end {cases}} \ leftrightarrow {\ begin {cases} x ^ {2} + y = 0 \\ y ^ {2} + x = 0 \ end {cases}} \ leftrightarrow {\ begin {cases} y = -x ^ {2} \\ x ^ { 4} + x = 0 \ end {cases}} \ leftrightarrow {\ begin {cases} x (x ^ {3} +1) = 0 \\ y = -x ^ {2} \ end {cases}}}

{\ begin {cases} f_ {x} = 3x ^ {2} + 3y = 0 \\ f_ {y} = 3y ^ {2} + 3x = 0 \ end {cases}} \ leftrightarrow {\ begin {cases} x ^ {2} + y = 0 \\ y ^ {2} + x = 0 \ end {cases}} \ leftrightarrow {\ begin {cases} y = -x ^ {2} \\ x ^ {4} + x = 0 \ end {cases}} \ leftrightarrow {\ begin {cases} x (x ^ {3} +1) = 0 \\ y = -x ^ {2} \ end {cases}}

Prin urmare... $\ {\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\$ ${\ displaystyle \ {\ begin {cases} x = 0 \\ y = 0 \ end {cases}} \}$ $\ {\ begin {cases} x = 0 \\ y = 0 \ end {cases}} \$ sau $\ {\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}}\$ ${\ displaystyle \ {\ begin {cases} x = -1 \\ y = -1 \ end {cases}} \}$ $\ {\ begin {cases} x = -1 \\ y = -1 \ end {cases}} \$

Să calculăm a doua derivată parțială :

f_{xx}=6x

{\ displaystyle f_ {xx} = 6x}

f _ {{xx}} = 6x

f_{xy}=3

{\ displaystyle f_ {xy} = 3}

f _ {{xy}} = 3

f_{yy}=6y

{\ displaystyle f_ {yy} = 6y}

f _ {{yy}} = 6y

f_{yx}=3

{\ displaystyle f_ {yx} = 3}

f _ {{yx}} = 3

Deci matricea Hessian a lui z va fi:

H={\begin{bmatrix}6x&3\\3&6y\end{bmatrix}}

{\ displaystyle H = {\ begin {bmatrix} 6x & 3 \\ 3 & 6y \ end {bmatrix}}}

H = {\ begin {bmatrix} 6x & 3 \\ 3 & 6y \ end {bmatrix}}

Pe baza modelului:

H={\begin{bmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle H = {\ begin {bmatrix} f_ {xx} & f_ {xy} \\ f_ {yx} & f_ {yy} \ end {bmatrix}}}

H = {\ begin {bmatrix} f _ {{xx}} & f _ {{xy}} \\ f _ {{yx}} & f _ {{yy}} \ end {bmatrix}}

Calculăm matricea Hessian în punctele critice (numite și „puncte staționare”):

H(0,0)={\begin{bmatrix}0&3\\3&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle H (0,0) = {\ begin {bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \ end {bmatrix}}}

H (0,0) = {\ begin {bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \ end {bmatrix}}

Această matrice are un determinant negativ (-9), deci este un punct de șa.

H(-1,-1)={\begin{bmatrix}-6&3\\3&-6\end{bmatrix}}

{\ displaystyle H (-1, -1) = {\ begin {bmatrix} -6 & 3 \\ 3 & -6 \ end {bmatrix}}}

H (-1, -1) = {\ begin {bmatrix} -6 & 3 \\ 3 & -6 \ end {bmatrix}}

Această a doua matrice are un determinant pozitiv (27) și un prim termen negativ (-6), deci este un punct maxim relativ.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu maximul și minimul unei funcții

linkuri externe

( EN ) Maximum și minimum al unei funcții , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy