Matrice pozitivă definită

În matematică și mai precis în algebră liniară , o matrice definită pozitivă este o matrice pătrată $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât, a spus $\mathbf {x} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$ ${\ mathbf x} ^ {*}$ conjugatul complex transpune $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ , se întâmplă că partea reală a $\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} A \ mathbf {x}}$ ${\ mathbf x} ^ {*} A {\ mathbf x}$ este pozitiv pentru orice vector complex $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ neq \ mathbf {0}}$ ${\ mathbf x} \ neq {\ mathbf 0}$ .

Definiție

Deși definiția este de obicei utilizată în cazul matricilor hermitiene reale și simetrice , în general o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pătrat (în mărime $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ ) se spune că este pozitiv definit atunci când: ^[1]

\Re (\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x} )>0\qquad \forall \mathbf {x} \neq \mathbf {0} \in \mathbb {C} ^{n}

{\ displaystyle \ Re (\ mathbf {x} ^ {*} A \ mathbf {x})> 0 \ qquad \ forall \ mathbf {x} \ neq \ mathbf {0} \ in \ mathbb {C} ^ {n }}

\ Re ({\ mathbf x} ^ {*} A {\ mathbf x})> 0 \ qquad \ forall {\ mathbf x} \ neq {\ mathbf 0} \ in {\ mathbb {C}} ^ {n}

atunci produsul $\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} A \ mathbf {x}}$ ${\ mathbf x} ^ {*} A {\ mathbf x}$ , care este întotdeauna un număr complex , are o parte reală strict pozitivă pentru fiecare vector diferit de zero $\mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ mathbf x} \ în {\ mathbb {C}} ^ {n}$ (indicând cu $\mathbf {x} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$ ${\ mathbf x} ^ {*}$ vectorul conjugat complex transpus al vectorului $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ ).

În mod echivalent, o matrice pătrată generică complexă este pozitivă definită dacă partea sa hermitiană :

A_{H}={\frac {(A+A^{*})}{2}}

{\ displaystyle A_ {H} = {\ frac {(A + A ^ {*})} {2}}}

A_ {H} = {\ frac {(A + A ^ {*})} {2}}

este pozitiv definit, adică $\Re (\mathbf {x} ^{*}A_{H}\mathbf {x} )>0$ ${\ displaystyle \ Re (\ mathbf {x} ^ {*} A_ {H} \ mathbf {x})> 0}$ $\ Re ({\ mathbf x} ^ {*} A_ {H} {\ mathbf x})> 0$ pentru $\mathbf {x} \neq \mathbf {0} \in \mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ neq \ mathbf {0} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ mathbf x} \ neq {\ mathbf 0} \ in {\ mathbb {C}} ^ {n}$ .

O altă definiție este următoarea: o matrice pătrată complexă generică este pozitivă definită dacă toate valorile proprii ale părții sale hermitiene $A_{H}$ ${\ displaystyle A_ {H}}$ $A_ {H}$ sunt strict pozitive. ^[1]

Matrici hermitiene

O matrice simetrică reală este, de asemenea, Hermitian și o matrice Hermitian $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ in marime $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ este o matrice definitivă pozitivă dacă are una dintre următoarele proprietăți echivalente (și, prin urmare, le are pe toate):

Pentru toți vectorii non-nul $\mathbf {z}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z}}$ ${\ mathbf z}$ în $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ da ai $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} ^ {*} M \ mathbf {z}> 0}$ ${\ mathbf z} ^ {*} M {\ mathbf z}> 0$ , unde este $\mathbf {z}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z}}$ ${\ mathbf z}$ este văzut ca un vector coloană cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ componente complexe e $\mathbf {z} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} ^ {*}}$ ${\ mathbf z} ^ {*}$ ca conjugat complex al transpunerii sale . De sine $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este Hermitian, $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} ^ {*} M \ mathbf {z}}$ ${\ mathbf z} ^ {*} M {\ mathbf z}$ este întotdeauna real și, prin urmare, are sens să ceri ca acesta să fie pozitiv.
Pentru toți vectorii non-nul $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ da ai $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {T} M \ mathbf {x}> 0}$ ${\ mathbf x} ^ {T} M {\ mathbf x}> 0$ , unde este $\mathbf {x} ^{T}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {T}}$ ${\ mathbf x} ^ {T}$ denotă transpunerea vectorului coloanei $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ .
Pentru toți vectorii non-nul $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ în $\mathbb {Z} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$ ${\ mathbb {Z}} ^ {n}$ (toate componentele sunt întregi ), avem $\mathbf {u} ^{T}M\mathbf {u} >0$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} ^ {T} M \ mathbf {u}> 0}$ ${\ mathbf u} ^ {T} M {\ mathbf u}> 0$ .
Toate valorile proprii ale $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ sunt numere reale pozitive.
Forma hermitiană $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} ^{*}M\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = \ mathbf {x} ^ {*} M \ mathbf {y}}$ ${\ displaystyle \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = \ mathbf {x} ^ {*} M \ mathbf {y}}$ definește un produs Hermitian pozitiv definit pe $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ .
Criteriul Sylvester : toate submatrixele pătrate din stânga sus au determinant pozitiv ( principalii minori în ordinea de la 1 la n ). Altfel spus, toți determinanții matricilor nord-vestice sunt pozitive, nu nule.

Proprietate

Matricile definitive pozitive au un comportament similar cu numerele reale pozitive.

Fiecare matrice simetrică pozitivă definită are toate valorile proprii strict pozitive.
Fiecare matrice simetrică semidefinită pozitivă are toate valorile proprii non-negative.
Fiecare matrice simetrică definită negativă are toate valorile proprii strict negative.
Fiecare matrice simetrică semidefinită negativă are toate valorile proprii nepozitive.
Fiecare matrice pozitivă definită este inversabilă, iar inversul său este, de asemenea, pozitiv definit.
De sine $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este pozitiv definit și $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ este un număr real atunci $r M.$ ${\ displaystyle rM}$ $rM$ este pozitiv definit.
De sine $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ atunci sunt categoric pozitive $M+N$ ${\ displaystyle M + N}$ $M + N$ este, de asemenea, pozitiv definit; dacă și $MN=NM$ ${\ displaystyle MN = NM}$ $MN = NM$ , adică matricele fac naveta , atunci $M. Nu.$ ${\ displaystyle MN}$ $MN$ este, de asemenea, pozitiv definit.
Orice matrice pozitivă definită $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ are o rădăcină pătrată , adică o matrice $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $N^{T}N=M$ ${\ displaystyle N ^ {T} N = M}$ $N ^ {T} N = M$ . O matrice pozitivă definită poate avea un număr mare de rădăcini pătrate, dar una și o singură rădăcină pătrată definitivă pozitivă.
Dacă matricea pe care o considerăm este reală simetrică, este pozitiv definit dacă semnătura sa este $(n.0)$ ${\ displaystyle (n.0)}$ $(n.0)$ unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este rangul matricei.
După criteriul lui Sylvester , o matrice simetrică este pozitivă definită dacă și numai dacă principalii săi minori de conducere sunt toți pozitivi.

Matrici definitive negative, semidefinite și nedeterminate

Matricea Hermitiană $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ spunem negativ definit dacă:

\mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} <0

{\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} M \ mathbf {x} <0}

{\ mathbf x} ^ {*} M {\ mathbf x} <0

pentru toate elementele nenule $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ (sau, echivalent, toate elementele nenule $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ în $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ).

Matricea $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ se numește semidefinit pozitiv dacă:

\mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} \geq 0

{\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} M \ mathbf {x} \ geq 0}

{\ mathbf x} ^ {*} M {\ mathbf x} \ geq 0

Pentru toți $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ (sau $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ) spunem semidefinit negativ dacă:

\mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} \leq 0

{\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} M \ mathbf {x} \ leq 0}

{\ mathbf x} ^ {*} M {\ mathbf x} \ leq 0

pentru toți $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ (sau $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ ). Ca mai sus, $\mathbf {x} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$ ${\ mathbf x} ^ {*}$ indică conjugatul complex al transpunerii sale . În cazul în care $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ este un vector în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , această operație coincide cu transpunerea și poate fi scrisă $\mathbf {x} ^{T}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {T}}$ ${\ mathbf x} ^ {T}$ in loc de $\mathbf {x} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$ ${\ mathbf x} ^ {*}$ .

O matrice hermitiană care nu este nici pozitivă, nici negativă se numește nedefinită . În mod echivalent, o matrice se numește nedefinită dacă are două valori proprii de semn opus.

Produse scalare și forme hermitiene

Același subiect în detaliu: produs scalar și formă sesquiliniară .

Matricile definitive pozitive sunt utile pentru definirea geometriei pe un spațiu vectorial , care poate utiliza conceptele de unghi și lungime . Este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ un câmp $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ , $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , Și $B\colon V\times V\to K$ ${\ displaystyle B \ colon V \ times V \ to K}$ $B \ colon V \ times V \ to K$ o formă hermitiană dacă $K=\mathbb {C}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$ $K = {\ mathbb {C}}$ sau un produs scalar dacă $K=\mathbb {R}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {R}}$ $K = \ R$ . Formă $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ se numește pozitiv definit dacă $B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )>0$ ${\ displaystyle B (\ mathbf {x}, \ mathbf {x})> 0}$ ${\ displaystyle B (\ mathbf {x}, \ mathbf {x})> 0}$ pentru fiecare $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ vector diferit de zero: această proprietate garantează că vectorii au „lungime pozitivă” și dau un $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ o structură similară cu cea a spațiului euclidian .

Forme cadratice

Același subiect în detaliu: formă quadratică .

Forma pătratică asociată cu o matrice reală $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este funcția $Q:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle Q: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ $Î: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}$ astfel încât $Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x}$ ${\ displaystyle Q (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} ^ {T} M \ mathbf {x}}$ $Q ({\ mathbf x}) = {\ mathbf x} ^ {T} M {\ mathbf x}$ pentru toți $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ . Matricea $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este pozitiv definit dacă și numai dacă este simetric și forma sa pătratică este o funcție strict convexă .

Mai general, orice polinom de gradul doi $P:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle P: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ $P: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}$ poate fi scris ca $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} +\mathbf {x} ^{T}\mathbf {b} +c$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {T} M \ mathbf {x} + \ mathbf {x} ^ {T} \ mathbf {b} + c}$ ${\ mathbf x} ^ {T} M {\ mathbf x} + {\ mathbf x} ^ {T} {\ mathbf b} + c$ , unde este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este o matrice simetrică $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ , $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ este un vector real și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ o constantă. Functia $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este strict convex dacă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este pozitiv definit.

Diagonalizare simultană

O matrice simetrică și o matrice simetrică pozitivă definită pot fi diagonalizate simultan , deși nu neapărat prin intermediul unei transformări de similaritate , iar rezultatul nu se extinde la cazul a trei sau mai multe matrice. Mai exact, dacă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este simetrică și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este simetric și pozitiv definit, ecuația generică a valorii proprii este:

(M-\lambda N)\mathbf {x} =\mathbf {0}

{\ displaystyle (M- \ lambda N) \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}

(M- \ lambda N) {\ mathbf x} = {\ mathbf 0}

unde dictează asta $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ este normalizat, adică $\mathbf {x} ^{T}N\mathbf {x} =1$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {T} N \ mathbf {x} = 1}$ ${\ mathbf x} ^ {T} N {\ mathbf x} = 1$ . Prin descompunerea Cholesky este posibil să se scrie inversul lui $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ ca $Q^{T}Q$ ${\ displaystyle Q ^ {T} Q}$ $Q ^ {T} Q$ . Înmulțind cu $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ Și $Q^{T}$ ${\ displaystyle Q ^ {T}}$ $Q ^ {T}$ primesti:

Q(M-\lambda N)Q^{T}\mathbf {x} =\mathbf {0}

{\ displaystyle Q (M- \ lambda N) Q ^ {T} \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}

Q (M- \ lambda N) Q ^ T \ mathbf x = \ mathbf 0

care poate fi rescris ca:

(QMQ^{T})\mathbf {y} =\lambda \mathbf {y}

{\ displaystyle (QMQ ^ {T}) \ mathbf {y} = \ lambda \ mathbf {y}}

(QMQ ^ {T}) {\ mathbf y} = \ lambda {\ mathbf y}

unde este $\mathbf {y} ^{T}\mathbf {y} =1$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {T} \ mathbf {y} = 1}$ ${\ mathbf y} ^ {T} {\ mathbf y} = 1$ . Prin unele manipulări obținem:

MX=NX\Lambda

{\ displaystyle MX = NX \ Lambda}

MX = NX \ Lambda

unde este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o matrice având ca coloane vectorii proprii generalizați și $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ este o matrice diagonală ale cărei elemente sunt valorile proprii generalizate. Apoi înmulțind cu $X^{T}$ ${\ displaystyle X ^ {T}}$ $X ^ {T}$ avem:

X^{T}MX=\Lambda \qquad X^{T}NX=I

{\ displaystyle X ^ {T} MX = \ Lambda \ qquad X ^ {T} NX = I}

X ^ {T} MX = \ Lambda \ qquad X ^ {T} NX = I

chiar dacă nu mai este o diagonalizare ortogonală .

Notă

^ ^A ^b (EN) Eric W. Weisstein, matrice pozitivă definită , în MathWorld , Wolfram Research.

Bibliografie

Marius Stoka, Curs de geometrie , CEDAM, 1995, ISBN 88-13-19192-8 .
(EN) Rajendra Bhatia. Matrici definitive pozitive . Seria Princeton în matematică aplicată, 2007. ISBN 978-0-691-12918-1 .
(EN) Ayres, F. Jr. Schaum of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 134, 1962.
(EN) Golub, GH și Van Loan, CF „Sisteme definitive pozitive”. §4.2 în Matrix Computations, ediția a III-a . Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, pp. 140-141, 1996.
( RO ) Gradshteyn, IS și Ryzhik, IM Tables of Integrals, Series și Products, ediția a VI-a . San Diego, CA: Academic Press, p. 1106, 2000.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AA. VV., Forma pozitiv-definită , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) VS Shul'man, kernel pozitiv-definit , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[matworks-1] A ^b (EN) Eric W. Weisstein, matrice pozitivă definită , în MathWorld , Wolfram Research.

[1]