Criteriul Weierstrass

În analiza matematică , criteriul Weierstrass , cunoscut și sub numele de M-test , este un rezultat important privind convergența totală (și, prin urmare, convergența uniformă ) a seriilor de funcții ale variabilelor complexe sau reale.

Criteriul

Este $f_{n}:A\subseteq \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f_ {n}: A \ subseteq \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f_ {n}: A \ subseteq \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ o succesiune de funcții cu valoare complexă. Dacă pentru fiecare $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ există $M_{n}\geq 0$ ${\ displaystyle M_ {n} \ geq 0}$ ${\ displaystyle M_ {n} \ geq 0}$ astfel încât:

|f_{n}(z)|\leq M_{n}\qquad \forall z\in A

{\ displaystyle | f_ {n} (z) | \ leq M_ {n} \ qquad \ forall z \ in A}

{\ displaystyle | f_ {n} (z) | \ leq M_ {n} \ qquad \ forall z \ in A}

și avem:

\sum _{n=1}^{+\infty }M_{n}<+\infty

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} M_ {n} <+ \ infty}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} M_ {n} <+ \ infty}

apoi seria:

\sum _{n=1}^{+\infty }f_{n}(z)

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} f_ {n} (z)}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} f_ {n} (z)}

converge total și uniform în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Acest rezultat este adesea utilizat împreună cu teorema limită uniformă , care afirmă că limita (relativă la convergența uniformă) a oricărei secvențe de funcții continue este continuă. Împreună, cele două afirmații stabilesc că dacă, pe lângă condițiile anterioare, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un spațiu și funcții topologice $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ sunt continue pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , apoi seria converge la o funcție continuă.

Generalizare

Dacă codomainul $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ este un spațiu Banach obținem o generalizare a teoremei, în care inegalitatea:

|f_{n}(z)|\leq M_{n}

{\ displaystyle | f_ {n} (z) | \ leq M_ {n}}

{\ displaystyle | f_ {n} (z) | \ leq M_ {n}}

poate fi înlocuit cu:

\|f_{n}\|\leq M_{n}

{\ displaystyle \ | f_ {n} \ | \ leq M_ {n}}

{\ displaystyle \ | f_ {n} \ | \ leq M_ {n}}

unde este $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ este norma pe spațiul Banach.

Demonstrație

Este $S_{n}(z)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(z)$ ${\ displaystyle S_ {n} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} (z)}$ ${\ displaystyle S_ {n} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} (z)}$ . Luat $n,m\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n, m \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle n, m \ in \ mathbb {N}}$ cu $m>n$ ${\ displaystyle m> n}$ $m> n$ , având în vedere ipotezele teoremei pe care le avem:

|S_{m}(z)-S_{n}(z)|=|\sum _{k=n+1}^{k=m}f_{k}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=m}|f_{k}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=m}M_{k}\qquad \forall z\in A

{\ displaystyle | S_ {m} (z) -S_ {n} (z) | = | \ sum _ {k = n + 1} ^ {k = m} f_ {k} (z) | \ leq \ sum _ {k = n + 1} ^ {k = m} | f_ {k} (z) | \ leq \ sum _ {k = n + 1} ^ {k = m} M_ {k} \ qquad \ forall z \ în A}

{\ displaystyle | S_ {m} (z) -S_ {n} (z) | = | \ sum _ {k = n + 1} ^ {k = m} f_ {k} (z) | \ leq \ sum _ {k = n + 1} ^ {k = m} | f_ {k} (z) | \ leq \ sum _ {k = n + 1} ^ {k = m} M_ {k} \ qquad \ forall z \ în A}

Seria cu termeni non-negativi $\sum _{k=1}^{+\infty }M_{k}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} M_ {k}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} M_ {k}}$ converge, prin urmare, pentru fiecare $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ există $n_{0}$ ${\ displaystyle n_ {0}}$ $n_ {0}$ astfel încât pentru fiecare $n>n_{0}$ ${\ displaystyle n> n_ {0}}$ ${\ displaystyle n> n_ {0}}$ apare:

\sum _{k=n}^{k=+\infty }M_{k}<\epsilon

{\ displaystyle \ sum _ {k = n} ^ {k = + \ infty} M_ {k} <\ epsilon}

{\ displaystyle \ sum _ {k = n} ^ {k = + \ infty} M_ {k} <\ epsilon}

Prin alegere $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ suficient de mari avem, prin urmare:

|S_{m}(z)-S_{n}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=m}M_{k}\leq \sum _{k=n}^{k=+\infty }M_{k}<\epsilon \qquad \forall z\in A

{\ displaystyle | S_ {m} (z) -S_ {n} (z) | \ leq \ sum _ {k = n + 1} ^ {k = m} M_ {k} \ leq \ sum _ {k = n} ^ {k = + \ infty} M_ {k} <\ epsilon \ qquad \ forall z \ in A}

{\ displaystyle | S_ {m} (z) -S_ {n} (z) | \ leq \ sum _ {k = n + 1} ^ {k = m} M_ {k} \ leq \ sum _ {k = n} ^ {k = + \ infty} M_ {k} <\ epsilon \ qquad \ forall z \ in A}

Pentru fiecare $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ succesiunea $S_{n}(z)$ ${\ displaystyle S_ {n} (z)}$ ${\ displaystyle S_ {n} (z)}$ este Cauchy în spațiul metric complet $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ , prin urmare converge la $l_{z}$ ${\ displaystyle l_ {z}}$ ${\ displaystyle l_ {z}}$ . Prin definirea funcției $S(z)=l_{z}$ ${\ displaystyle S (z) = l_ {z}}$ ${\ displaystyle S (z) = l_ {z}}$ și încordându-se $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ la $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ în relația anterioară avem:

|S(z)-S_{n}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=+\infty }M_{k}<\epsilon \ \qquad \forall z\in A\quad \forall n>n_{0}

{\ displaystyle | S (z) -S_ {n} (z) | \ leq \ sum _ {k = n + 1} ^ {k = + \ infty} M_ {k} <\ epsilon \ \ qquad \ forall z \ în A \ quad \ forall n> n_ {0}}

{\ displaystyle | S (z) -S_ {n} (z) | \ leq \ sum _ {k = n + 1} ^ {k = + \ infty} M_ {k} <\ epsilon \ \ qquad \ forall z \ în A \ quad \ forall n> n_ {0}}

adică $S_{n}(z)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(z)$ ${\ displaystyle S_ {n} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} (z)}$ ${\ displaystyle S_ {n} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} (z)}$ converge lin către $S(z)$ ${\ displaystyle S (z)}$ $S (z)$ .

Bibliografie

(EN) Walter Rudin,Analiza funcțională , McGraw-Hill Science / Engineering / Math, ianuarie 1991, ISBN 0-07-054236-8 .
(EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Science / Engineering / Math, mai 1986, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Walter Rudin, Principiile analizei matematice , McGraw-Hill Science / Engineering / Math, 1976.
( EN ) ET Whittaker; GN Watson, Un curs de analiză modernă , ediția a patra. Cambridge University Press, 1927.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Criteriul Weierstrass , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică