Henri Lebesgue

Henri Léon Lebesgue

Henri Léon Lebesgue (pronunția franceză [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ] ^[1] ) ( Beauvais , 28 iunie 1875 - Paris , 26 iulie 1941 ) a fost un matematician francez , cel mai faimos pentru contribuțiile sale la teoria integrării moderne.

Teoria integrării lui Lebesgue a fost publicată pentru prima dată în teza sa, Intégrale, longueur, aire ("Integral, length, area"), la Universitatea din Nancy în 1902 .

Biografie

Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions primitives , 1904

Tatăl lui Lebesgue, tipograf , a murit de tuberculoză când fiul său era încă foarte mic, iar Lebesgue însuși a suferit de-a lungul vieții de o sănătate foarte slabă. După moartea tatălui său, mama sa a muncit din greu pentru a-și întreține fiul. Henri și-a început studiile la Colegiul de Beauvais, unde s-a dovedit a fi un student strălucit, ulterior s-a mutat la Paris unde a studiat mai întâi la liceul Saint Louis și apoi la liceul Louis-le-Grand . Pentru studii superioare, în 1894, a intrat la École norma supérieure din Paris, unde a obținut o diplomă ca profesor de matematică în 1897. În următorii doi ani a studiat în biblioteca sa privată; apoi a fost chemat ca profesor la Liceul Central din Nancy unde a predat din 1899 până în 1902. La 3 decembrie 1903 Lebesgue s-a căsătorit cu Louise Marguerite Vallet, sora unuia dintre colegii săi; împreună au avut doi copii, Suzanne și Jacques, dar căsătoria lor a durat până în 1916, anul divorțului lor.

Cariera matematică

Lebesgue a lucrat la teza sa în timp ce preda la Nancy, dar primul său articol, intitulat Surapproximation des fonctions , a fost publicat în 1898. Conținutul acestui articol a fost strâns legat de teorema lui Weierstraß privind aproximarea funcțiilor continue de către polinoame . Între martie 1899 și aprilie 1901 Lebesgue a publicat șase note în Comptes Rendus . Prima dintre acestea, care nu are legătură cu studiul său al teoriei integrării, se referea la o extindere a teoremei lui Baire la funcții cu două variabile. Unele dintre celelalte au fost inerente determinării ariilor poligoanelor neregulate, a suprafețelor integrale ale ariei minime cu o graniță atribuită, iar al cincilea a dat definiția integralei Lebesgue a oricărei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ . Teza lui Lebesgue, Intégrale, longueur, aire , prezentată Facultății de Științe din Paris în 1903, a fost publicată în același an în Annals of Mathematics din Milano. Primul capitol s-a ocupat de teoria măsurii (vezi și măsura lui Borel ); în al doilea capitol integralul este definit atât geometric cât și analitic. Capitolul final este inerent, mai presus de toate, problemei Platoului . Teza este adesea considerată una dintre cele mai bune lucrări scrise vreodată de un matematician.

Lecțiile sale din 1902 până în 1903 au fost colectate într-un scurt tratat de Émile Borel Leçons sur intégration et la recherche des fonctions primitives . Problema integrării, considerată drept căutarea unei primitive a unei funcții, este ideea cheie a cărții. ^[2] Lebesgue prezintă problema integrării în contextul său istoric, referindu-se la Cauchy , Dirichlet și Riemann . Lebesgue ilustrează șase condiții pe care ar trebui să le îndeplinească integralul, dintre care ultima afirmă că „Dacă succesiunea $f_{n}(x)$ ${\ displaystyle f_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {n} (x)}$ tinde la limită $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ , integralul lui $f_{n}(x)$ ${\ displaystyle f_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {n} (x)}$ va tinde spre integralul $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ De asemenea, arată modul în care condițiile sale duc la teoria măsurii , la conceptul de funcții măsurabile și la definițiile geometrice și analitice ale integralei.

Mai târziu s-a concentrat din nou asupra funcțiilor trigonometrice cu articolul său (1903) Sur les séries trigonométriques . În această lucrare a prezentat cele trei teoreme principale: că o serie trigonometrică care reprezintă o funcție mărginită este o serie Fourier , că al n-lea coeficient Fourier tinde la zero ( lema Riemann-Lebesgue ) și că o serie Fourier este un termen integrabil la termen . În anii 1904-1905, Lebesgue a ținut din nou prelegeri la Collège de France, de data aceasta însă despre seria trigonometrică și a publicat prelegerile sale despre un alt mic tratat al lui Borel . În acest text, el abordează încă o dată problema, având în vedere contextul istoric în care este plasată. Explicați seria Fourier, teoria Cantor- Riemann, integrala Poisson și problema Dirichlet .

Într-un articol din 1910, „Representation trigonométrique approchée des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz”, Lebesgue tratează seria Fourier de funcții care satisfac condiția Lipschitz ; apoi demonstrează că lema Riemann-Lebesgue este cel mai bun rezultat posibil în cazul funcțiilor continue.

În ramura analizei care se ocupă cu teoria măsurătorilor și în toate celelalte discipline matematice legate de aceasta, integrala Lebesgue-Stieltjes generalizează teoria integrării Riemann-Stieltjes și cea a Lebesgue, menținând numeroasele avantaje ale acesteia într-un cadru teoretic mai general. . Pe parcursul carierei sale, Lebesgue a încercat, de asemenea, să se stabilească în domeniul analizei și topologiei complexe . Cu toate acestea, aceste încercări își pierd importanța în comparație cu contribuțiile sale în domeniul analizei reale ; astfel de contribuții au avut un impact decisiv asupra formei și structurii actuale a analizei reale, iar metoda sa a devenit o parte integrantă a analizei moderne.

Teoria integrării Lebesgue

Același subiect în detaliu: integral Lebesgue .

Integrarea este o operație matematică care corespunde ideii informale de identificare a zonei delimitate de axa abscisei și de graficul unei funcții . Prima teorie a integrării a fost dezvoltată de Arhimede în secolul al III-lea î.Hr .; această teorie a folosit metoda cvadraturii, dar aceasta a putut fi aplicată numai în anumite condiții, în prezența unui grad ridicat de simetrie geometrică. După lucrarea lui Pietro Mengoli , în secolul al XVII-lea , Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibniz au specificat independent ideea că integrarea a fost în esență operația inversă a derivării , adică un mod de a măsura cât de repede se schimbă o funcție în diferite puncte din graficul său. . Acest lucru le-a permis matematicienilor să calculeze o categorie largă de integrale pentru prima dată. Cu toate acestea, spre deosebire de metoda lui Arhimede, care s-a bazat riguros pe geometria euclidiană , calculul integral al lui Leibniz și Newton nu a avut inițial o bază riguroasă.

În prima parte a secolului al XIX-lea , Augustin Cauchy a dezvoltat o teorie riguroasă a limitelor (dar care se baza doar pe o noțiune destul de intuitivă a numărului real); mai târziu, pe la jumătatea secolului al XIX-lea, Bernhard Riemann a continuat în această direcție formalizând ceea ce se numește acum integrala Riemann . Pentru a defini această integrală, aria graficului dreptunghiurilor mici este trasată sub grafic și se calculează limita sumelor suprafețelor acestor dreptunghiuri. Cu toate acestea, pentru unele funcții, suprafața totală a acestor dreptunghiuri nu se apropie de un singur număr. Se spune că funcțiile de acest tip nu au integrală Riemann.

Lebesgue a propus o nouă metodă de integrare pentru a rezolva această problemă. În loc să vizualizeze zone de dreptunghiuri, care pun accentul pe domeniul funcției, Lebesgue a studiat codomainul funcției. Ideea lui Lebesgue a fost prima de a dezvolta integralul pentru ceea ce el a numit funcții simple , funcții măsurabile care iau un număr finit de valori. Ulterior l-a definit pentru funcții mai complicate ca limita superioară a tuturor integralelor celor mai mici funcții simple ale funcției în cauză.

Integrarea Lebesgue se bucură de proprietatea remarcabilă că fiecare funcție integrabilă conform lui Riemann este, de asemenea, integrabilă conform lui Lebesgue, iar pentru aceste funcții cele două integrale coincid. Dar există numeroase funcții integrabile Lebesgue care nu posedă integralul Riemann.

Ca o completare a studiilor de integrare, Lebesgue a definit conceptul de măsură al lui Lebesgue care extinde ideea de lungime de la intervale la seturi mult mai generale numite seturi măsurabile: mai exact, funcțiile simple sunt funcții care iau un număr limitat de valori și fiecare dintre acestea valorile sunt asumate într-un set măsurabil al domeniului. Tehnica lui Lebesgue de transformare a unei integrale într-o măsură este ușor de generalizat în multe alte situații și duce la conceptul modern al teoriei măsurii .

Integrala Lebesgue are unele deficiențe. Integrala Riemann a fost generalizată la integrala necorespunzătoare Riemann pentru a putea măsura funcții al căror domeniu de definiție nu a fost un interval închis . Integrala Lebesgue ar putea fi utilizată pentru mai multe dintre aceste funcții, oferind întotdeauna același rezultat, dar nu pentru toate. Integrala Henstock este un concept și mai simplu (se bazează mai degrabă pe teoria lui Riemann decât pe cea a lui Lebesgue) și include atât integrarea Lebesgue, cât și integrarea Riemann. Cu toate acestea, integralul Henstock depinde de caracteristicile specifice ale liniei reale și această dependență nu îi permite să constituie o adevărată generalizare, așa cum se întâmplă integralului Lebesgue.

Alte activități ale Lebesgue

Pe lângă disertație și numeroase articole (vezi mai jos), Lebesgue a scris două cărți, Leçons sur intégration et la recherche des fonctions primitives (1904) și Leçons sur les séries trigonométriques (1906).

Deși integralul Lebesgue ar fi putut fi generalizat în continuare, Lebesgue însuși nu a încercat să îmbunătățească acest aspect, ci și-a petrecut restul vieții analizând cazuri specifice, în special probleme de analiză matematică . A scris odată: „Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contiu” (redusă la teorii generale, matematica ar fi o formă frumoasă fără conținut).

Notă

^ Léon Warnant, Dictionnaire de la prononciacion française , ediția a II-a, Gembloux, Duculot, 1968.
^ JC Burkill, Obituary Notices of Fellows of the Royal Society, Vol. 4, No. 13. (Nov., 1944), pp. 483-490.

Bibliografie

Lucrări de Lebesgue (în franceză)

Biografii

( EN ) Biografie în MacTutor
( FR ) Henri Léon Lebesgue (28 iunie 1875, Rennes - 26 iulie 1941, Paris) , pe mathweb.free.fr .

Elemente conexe

Integrala Lebesgue

Alte proiecte

Wikisource conține o pagină în franceză dedicată lui Henri Lebesgue
Wikicitatul conține citate de la sau despre Henri Lebesgue
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Henri Lebesgue

linkuri externe

Henri Lebesgue , pe Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene .
Henri Lebesgue , pe Sapienza.it , De Agostini .
( EN ) Henri Lebesgue , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Henri Lebesgue , pe MacTutor , Universitatea din St Andrews, Scoția.
( EN ) Henri Lebesgue , la Mathematics Genealogia Project , North Dakota State University.
Lucrări de Henri Lebesgue , pe openMLOL , Horizons Unlimited srl.
( RO ) Lucrări de Henri Lebesgue / Henri Lebesgue (altă versiune) , pe Biblioteca deschisă , Internet Archive .

Controlul autorității	VIAF (EN) 7392947 · ISNI (EN) 0000 0001 0866 4934 · SBN IT \ ICCU \ Cubv \ 088 582 · LCCN (EN) n50042567 · GND (DE) 118 779 117 · BNF (FR) cb119118653 (dată) · NLA ( EN) 35.322.256 · CERL cnp01497355 · NDL (EN, JA) 00.447.139 · WorldCat Identities (EN) lccn-n50042567

Portal Biografii

Portalul de matematică

[1] Léon Warnant, Dictionnaire de la prononciacion française , ediția a II-a, Gembloux, Duculot, 1968.

[2] JC Burkill, Obituary Notices of Fellows of the Royal Society, Vol. 4, No. 13. (Nov., 1944), pp. 483-490.

[1]

[2]