Lema Riemann-Lebesgue

Lema Riemann-Lebesgue afirmă că integralul transformării unei funcții tinde să se anuleze pe măsură ce numărul de oscilații al funcției crește.

În matematică , în special în analiza armonică , lema Riemann-Lebesgue , al cărei nume se datorează lui Bernhard Riemann și Henri Lebesgue , este o teoremă care afirmă că transformata Fourier sau Laplace a unei funcții integrabile dispare la infinit. Datorită acestuia este posibil să demonstreze asta $\lbrace e^{int}\rbrace _{n\in \mathbb {Z} }$ ${\ displaystyle \ lbrace și ^ {int} \ rbrace _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle \ lbrace și ^ {int} \ rbrace _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ este o bază pentru spațiul Hilbert $L^{2}([0,2\pi ])$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([0,2 \ pi])}$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([0,2 \ pi])}$ .

Teorema

Este $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$ o funcție măsurabilă . De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este rezumabil atunci:

\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-izx}\,dx\rightarrow 0{\text{ per }}z\rightarrow \pm \infty

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) e ^ {- izx} \, dx \ rightarrow 0 {\ text {per}} z \ rightarrow \ pm \ infty}

\ int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} f (x) e ^ {- izx} \, dx \ rightarrow 0 \ text {per} z \ rightarrow \ pm \ infty

Transformata Fourier a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ prin urmare tinde spre valori infinite ale $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ .

Lema Riemann - Lebesgue este valabilă în mai multe situații, raportate mai jos.

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este in $L^{1}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ și definit în $(0,+\infty )$ ${\ displaystyle (0, + \ infty)}$ $(0, + \ infty)$ , atunci lema Riemann - Lebesgue este valabilă și pentru transformata Laplace $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ :

\int _{0}^{+\infty }f(t)e^{-tz}\,dt\to 0

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) e ^ {- tz} \, dt \ to 0}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) e ^ {- tz} \, dt \ to 0}

pentru

|z|\to +\infty

{\ displaystyle | z | \ to + \ infty}

{\ displaystyle | z | \ to + \ infty}

în interiorul semiplanului

\Im (z)\geq 0

{\ displaystyle \ Im (z) \ geq 0}

{\ displaystyle \ Im (z) \ geq 0}

.

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este in $L^{1}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ și definit pe un interval limitat, apoi coeficienții Fourier ai $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ tind spre $n\to \pm \infty$ ${\ displaystyle n \ to \ pm \ infty}$ ${\ displaystyle n \ to \ pm \ infty}$ . Acest fapt se realizează prin extindere $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la funcția nulă din afara intervalului și aplicând lema pe întreaga axă reală.

Lema Riemann-Lebesgue este valabilă și pentru transformata Fourier în mai multe dimensiuni. De sine $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ , asa de:

{\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ per }}|\xi |\rightarrow +\infty

{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) \ to 0 {\ text {per}} | \ xi | \ rightarrow + \ infty}

{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) \ to 0 {\ text {per}} | \ xi | \ rightarrow + \ infty}

unde este

{\hat {f}}

{\ displaystyle {\ hat {f}}}

{\ hat {f}}

este transformata Fourier:

{\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-ix\cdot \xi }f(x)\,dx

{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- ix \ cdot \ xi} f (x) \, dx}

{\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- ix \ cdot \ xi} f (x) \, dx}

Demonstrație

Luați în considerare cazul unidimensional, din care rezultă fără dificultate cazul într-o dimensiune arbitrară și așa $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție lină cu suport compact . Prin integrarea pe părți în fiecare variabilă:

\left|\int f(x)e^{-izx}dx\right|=\left|\int {\frac {1}{iz}}f'(x)e^{-izx}dx\right|\leq {\frac {1}{|z|}}\int |f'(x)|dx\rightarrow 0{\mbox{ per}}\ z\rightarrow \pm \infty

{\ displaystyle \ left | \ int f (x) e ^ {- izx} dx \ right | = \ left | \ int {\ frac {1} {iz}} f '(x) e ^ {- izx} dx \ right | \ leq {\ frac {1} {| z |}} \ int | f '(x) | dx \ rightarrow 0 {\ mbox {per}} \ z \ rightarrow \ pm \ infty}

{\ displaystyle \ left | \ int f (x) e ^ {- izx} dx \ right | = \ left | \ int {\ frac {1} {iz}} f '(x) e ^ {- izx} dx \ right | \ leq {\ frac {1} {| z |}} \ int | f '(x) | dx \ rightarrow 0 {\ mbox {per}} \ z \ rightarrow \ pm \ infty}

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este orice funcție integrabilă, poate fi aproximată în $L^{1}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ de la funcție lină la suport compact $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ astfel încât $\|f-g\|_{L^{1}}<\varepsilon$ ${\ displaystyle \ | fg \ | _ {L ^ {1}} <\ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ | f-g \ | _ {L ^ {1}} <\ varepsilon}$ . Apoi avem:

\limsup _{z\rightarrow \pm \infty }|{\hat {f}}(z)|\leq \limsup _{z\to \pm \infty }\left|\int (f(x)-g(x))e^{-ixz}dx\right|+\limsup _{z\rightarrow \pm \infty }\left|\int g(x)e^{-ixz}dx\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon

{\ displaystyle \ limsup _ {z \ rightarrow \ pm \ infty} | {\ hat {f}} (z) | \ leq \ limsup _ {z \ to \ pm \ infty} \ left | \ int (f (x ) -g (x)) e ^ {- ixz} dx \ right | + \ limsup _ {z \ rightarrow \ pm \ infty} \ left | \ int g (x) e ^ {- ixz} dx \ right | \ leq \ varepsilon + 0 = \ varepsilon}

{\ displaystyle \ limsup _ {z \ rightarrow \ pm \ infty} | {\ hat {f}} (z) | \ leq \ limsup _ {z \ to \ pm \ infty} \ left | \ int (f (x ) -g (x)) e ^ {- ixz} dx \ right | + \ limsup _ {z \ rightarrow \ pm \ infty} \ left | \ int g (x) e ^ {- ixz} dx \ right | \ leq \ varepsilon + 0 = \ varepsilon}

și întrucât acest lucru se aplică tuturor $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ urmează teza.

În cazul în care $t\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {C}}$ , Asuma ca $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ambele montate compact $(0,+\infty )$ ${\ displaystyle (0, + \ infty)}$ $(0, + \ infty)$ și că este continuu diferențiat. Spus $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ transformatele (lui Fourier sau Laplace) respectiv ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ , pentru proprietățile transformării pe care o avem $F(t)=G(t)/t$ ${\ displaystyle F (t) = G (t) / t}$ ${\ displaystyle F (t) = G (t) / t}$ , de la care $F(z)\rightarrow 0$ ${\ displaystyle F (z) \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle F (z) \ rightarrow 0}$ pentru $|t|\rightarrow +\infty$ ${\ displaystyle | t | \ rightarrow + \ infty}$ ${\ displaystyle | t | \ rightarrow + \ infty}$ . Deoarece funcția în această formă este densă în $L^{1}(0,+\infty )$ ${\ displaystyle L ^ {1} (0, + \ infty)}$ ${\ displaystyle L ^ {1} (0, + \ infty)}$ , acest lucru se aplică oricărei alegeri de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Bibliografie

(EN) S Bochner, Chandrasekharan K., Transformate Fourier, Princeton University Press, 1949.
( RO ) Gradshteyn, IS și Ryzhik, IM Tables of Integrals, Series și Products, ediția a VI-a. San Diego, CA: Academic Press, p. 1101, 2000.

Elemente conexe

linkuri externe

Weisstein, Eric W. Riemann-Lebesgue Lemma . De la MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică