Ecuația Helmholtz

În analiza matematică , ecuația valorii proprii a Laplacianului se numește ecuația Helmholtz .

Este o ecuație diferențială parțială eliptică de ordinul doi la care, în unele cazuri, poate fi urmărită înapoi, de exemplu, ecuația undei : în acest caz permite derivarea rapidă a relației de dispersie . Alte cazuri notabile în care ecuația valorii proprii Laplacian este un instrument util sunt ecuația de difuzie și ecuațiile eliptice de ordinul doi. De asemenea, teoria fasciculului elastic și, în special, problemele de flambaj conform lui Euler , pot fi urmărite înapoi la cazuri practice ale ecuației Helmholtz. ^[1]

Multe funcții speciale sunt obținute prin căutarea soluțiilor ecuației Helmholtz cu metoda separării variabilelor în coordonate curvilinee. Câteva exemple sunt armonicele cilindrice , funcțiile cilindrului parabolic și armonicele sferice .

Eisenhardt a arătat în 1934 că există doar unsprezece sisteme de coordonate curvilinee care permit găsirea soluțiilor ecuației Helmholtz cu metoda de separare a variabilelor .

Definiție

Începem prin a ne întreba care sunt valorile proprii ale Laplacianului. Cu viclenie este convenabil să replicăm al doilea caracter de putere al laplacianului și sub forma căutată pentru valoarea proprie:

-\nabla ^{2}f=\lambda ^{2}f

{\ displaystyle - \ nabla ^ {2} f = \ lambda ^ {2} f}

{\ displaystyle - \ nabla ^ {2} f = \ lambda ^ {2} f}

,

unde este $\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ {2}$ este operatorul Laplace și, din păcate, un nume diferit este dat valorilor proprii λ în funcție de contextele fizice inițiale: dacă ecuația valorii proprii este separată de ecuația undei, valoarea proprie este de obicei numită vector de undă și indicată cu litera k . De exemplu, dacă în schimb ecuația valorii proprii este izolată de ecuația liniei elastice sau a difuziei, valoarea proprie poate fi numită curbură ( îndoire ) și indicată cu litera b . Aceasta este ecuația Helmholtz, în forma sa canonică. Se poate vedea ecuația Helmholtz ca o ecuație a valorii proprii a Laplacianului, iar soluțiile ecuației Helmholtz ca funcții proprii ale Laplacianului.

Exemplu notabil: valuri

Același subiect în detaliu: ecuația undelor .

Utilitatea ideii lui Helmholtz este de a înlocui laplacianul cu un scalar simplu (să zicem, un set de scalari) într-o ecuație mai complexă, astfel încât să îl împărțim în două părți mai simple. Ecuația de propagare a undelor este de obicei primul caz notabil:

\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)f(\mathbf {r} ,t)=0

{\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial {t} ^ {2}}} \ dreapta) f (\ mathbf {r}, t) = 0}

\ left (\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial {t} ^ {2}}} \ right) f ({\ mathbf {r}}, t) = 0

unde Laplacianul pentru unde fizice reprezintă o derivată în dimensiunile spațiale. În acest fel, ecuația devine pur și simplu:

\left(k^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)f(\mathbf {r} ,t)=0

{\ displaystyle \ left (k ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial {t} ^ {2}}} \ dreapta) f (\ mathbf {r}, t) = 0}

{\ displaystyle \ left (k ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial {t} ^ {2}}} \ dreapta) f (\ mathbf {r}, t) = 0}

În acest caz al undelor, vedem imediat că în ecuația reziduală la separarea variabilelor: de fapt, nu mai apare nici un termen de derivare spațială. Atunci ne putem gândi să împărțim funcția în două componente, precum și ecuația:

f(\mathbf {r} ,t)=R(\mathbf {r} )\,T(t)

{\ displaystyle f (\ mathbf {r}, t) = R (\ mathbf {r}) \, T (t)}

{\ displaystyle f (\ mathbf {r}, t) = R (\ mathbf {r}) \, T (t)}

În acest fel, componenta spațială a funcției este legată de ecuația Helmholtz, în timp ce componenta de timp rămâne legată de ecuația reziduală, care este pur și simplu o ecuație diferențială obișnuită :

{\begin{cases}\left(k^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {d^{2}}{d{t}^{2}}}\right)T(t)=0\\\nabla ^{2}R(\mathbf {r} )=k^{2}R(\mathbf {r} )\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ left (k ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {d ^ {2}} {d {t} ^ {2 }}} \ right) T (t) = 0 \\\ nabla ^ {2} R (\ mathbf {r}) = k ^ {2} R (\ mathbf {r}) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ left (k ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {d ^ {2}} {d {t} ^ {2 }}} \ right) T (t) = 0 \\\ nabla ^ {2} R (\ mathbf {r}) = k ^ {2} R (\ mathbf {r}) \ end {cases}}}

Prin separarea valorilor proprii „de tip Helmholtz” și ale operatorului derivat în timp, numit pulsație , ecuația reziduală este la rândul ei separată în două componente: o ecuație Helmholtz într-o singură variabilă (cea din timp), pe care nu o explicăm din motive de concizie și rezidual, care este relația de dispersie asociată cu ecuația undei:

k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0

{\ displaystyle k ^ {2} - {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle k ^ {2} - {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} = 0}

sau relația dintre vectorul de undă și pulsație:

k={\frac {\omega }{c}}

{\ displaystyle k = {\ frac {\ omega} {c}}}

{\ displaystyle k = {\ frac {\ omega} {c}}}

Pe scurt, metoda de separare a ecuației Helmholtz este echivalentă în acest caz cu înlocuirea fiecărui operator de derivată secundară cu un scalar corespunzător pătratului.

Soluții armonice

Soluțiile ecuației Helmholtz au forma:

A(\mathbf {r} )=C_{1}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+C_{2}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }

{\ displaystyle A (\ mathbf {r}) = C_ {1} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} + C_ {2} e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}

A ({\ mathbf {r}}) = C_ {1} e ^ {{i {\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {r}}}} + C_ {2} e ^ {{- i { \ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {r}}}}

Această expresie corespunde soluției armonice:

T(t)=D_{1}e^{i\omega t}+D_{2}e^{-i\omega t}

{\ displaystyle T (t) = D_ {1} e ^ {i \ omega t} + D_ {2} e ^ {- i \ omega t}}

T (t) = D_ {1} e ^ {{i \ omega t}} + D_ {2} e ^ {{- i \ omega t}}

unde este $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Și $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ sunt constante complexe arbitrare care depind de limitele și condițiile inițiale. Egalitatea este, de asemenea, supusă relației de dispersie:

k=|\mathbf {k} |={\omega  \over c}

{\ displaystyle k = | \ mathbf {k} | = {\ omega \ peste c}}

k = | {\ mathbf {k}} | = {\ omega \ peste c}

Soluția temporală este deci o combinație liniară de sinusuri și cosinus, în timp ce cea spațială depinde de condițiile limită.

Notă

^ pentru flambaj , o explicație interesantă este dată în limba engleză de site-ul web Efunda, intrare flambaj

Bibliografie

Luther Pfahler Eisenhart Sisteme separate în Euclidean 3-Space Phys. Rev. 45 , 427 - 428 (1934).
PA Morse și H. Feshbach Methods of Theoretical Physics (McGraw-Hill, New York, 1953).
CP Boyer, EG Kalnins și W. Miller Simetria și separarea variabilelor pentru ecuațiile Helmholtz și Laplace Nagoya Mathematical Journal 60 , 35-80 (1976),
Separarea variabilelor EG Kalnins pentru spațiile riemanniene de curbură constantă (Pitman, Essex, Marea Britanie, 1986)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Sh.A. AlimovV.A. Il'in, ecuația Helmholtz , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
C. Van Der Mee, Universitatea din Cagliari , Instituții de fizică matematică pentru diploma de specialist
MathWorld , ecuația diferențială Helmholtz
EqWorld, ecuație neomogenă a lui Helmholtz

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85060070 · GND (DE) 4159528-2 · BNF (FR) cb122894221 (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] tru flambaj , o explicație interesantă este dată în limba engleză de site-ul web Efunda, intrare flambaj

[1]