Teoria lui Hodge

În matematică , teoria lui Hodge , numită după William Hodge , este un mod de a studia formele diferențiale pe o varietate netedă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . În termeni mai specifici, încercați să înțelegeți consecințele asupra grupurilor de cohomologie ale $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , cu coeficienți reali, urmând o teorie a ecuațiilor diferențiale parțiale pe operatori Laplacieni generalizați asociați cu o metrică Riemanniană pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .

Teoria a fost dezvoltată de Hodge în anii 1930 ca o extensie a cohomologiei lui de Rham și își găsește aplicarea în principal în trei domenii:

Soiuri riemanniene ;
soiuri kähleriene ;
geometria algebrică a soiurilor proiective complexe și, mai general, teoria motivelor .

Inițial, se cerea ca. $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Era o varietate compactă fără margini . În toate cele trei domenii, teoria lui Hodge s-a dovedit foarte fructuoasă, perfecționată și îmbogățită de Kunihiko Kodaira (atât în Japonia, cât și la Institutul pentru Studii Avansate din Princeton , sub influența lui Hermann Weyl ) și de mulți alții după aceea.

Aplicații și exemple

Cohomologia lui de Rham

Același subiect în detaliu: cohomologie de Rham .

Formularea originală a teoriei lui Hodge se referea la complexul de Rham. De sine $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este un soi compact orientabil, cu o metrică netedă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ Și $\Omega ^{k}(M)$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M)}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M)}$ este snopul unor forme de grad diferențiale netede $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , complexul de Rham este secvența operatorilor diferențiali

0\rightarrow \Omega ^{0}(M){\xrightarrow {\mathrm {d} _{0}}}\Omega ^{1}(M){\xrightarrow {\mathrm {d} _{1}}}\cdots {\xrightarrow {\mathrm {d} _{n-1}}}\Omega ^{n}(M){\xrightarrow {\mathrm {d} _{n}}}0

{\ displaystyle 0 \ rightarrow \ Omega ^ {0} (M) {\ xrightarrow {\ mathrm {d} _ {0}}} \ Omega ^ {1} (M) {\ xrightarrow {\ mathrm {d} _ { 1}}} \ cdots {\ xrightarrow {\ mathrm {d} _ {n-1}}} \ Omega ^ {n} (M) {\ xrightarrow {\ mathrm {d} _ {n}}} 0}

{\ displaystyle 0 \ rightarrow \ Omega ^ {0} (M) {\ xrightarrow {\ mathrm {d} _ {0}}} \ Omega ^ {1} (M) {\ xrightarrow {\ mathrm {d} _ { 1}}} \ cdots {\ xrightarrow {\ mathrm {d} _ {n-1}}} \ Omega ^ {n} (M) {\ xrightarrow {\ mathrm {d} _ {n}}} 0}

unde este $\mathrm {d} _{k}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} _ {k}}$ denotă derivatul extern pe $\Omega ^{k}(M)$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M)}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M)}$ . Cohomologia lui Rham este deci succesiunea spațiilor vectoriale

H^{k}(M)={\frac {\ker(\mathrm {d} _{k})}{\mathrm {im} \,(\mathrm {d} _{k-1})}}.

{\ displaystyle H ^ {k} (M) = {\ frac {\ ker (\ mathrm {d} _ {k})} {\ mathrm {im} \, (\ mathrm {d} _ {k-1} )}}.}

{\ displaystyle H ^ {k} (M) = {\ frac {\ ker (\ mathrm {d} _ {k})} {\ mathrm {im} \, (\ mathrm {d} _ {k-1} )}}.}

Adjunctul formal poate fi de asemenea definit $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ operator $\mathrm {d}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d}}$ ${\ mathrm {d}}$ , numit codifferențial , după cum urmează. Pentru toți $\alpha \in \Omega ^{k}(M),\beta \in \Omega ^{k+1}(M)$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ Omega ^ {k} (M), \ beta \ in \ Omega ^ {k + 1} (M)}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ Omega ^ {k} (M), \ beta \ in \ Omega ^ {k + 1} (M)}$ necesită asta

\int _{M}\langle \mathrm {d} \alpha ,\beta \rangle _{k+1}\,dV=\int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle _{k}\,dV

{\ displaystyle \ int _ {M} \ langle \ mathrm {d} \ alpha, \ beta \ rangle _ {k + 1} \, dV = \ int _ {M} \ langle \ alpha, \ delta \ beta \ rangle _ {k} \, dV}

{\ displaystyle \ int _ {M} \ langle \ mathrm {d} \ alpha, \ beta \ rangle _ {k + 1} \, dV = \ int _ {M} \ langle \ alpha, \ delta \ beta \ rangle _ {k} \, dV}

unde este $\langle -,-\rangle _{k}$ ${\ displaystyle \ langle -, - \ rangle _ {k}}$ ${\ displaystyle \ langle -, - \ rangle _ {k}}$ este metrica indusă pe $\Omega ^{k}(M)$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M)}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M)}$ . Laplacianul lui Hodge este, prin urmare, definit ca $\Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d}$ ${\ displaystyle \ Delta = \ mathrm {d} \ delta + \ delta \ mathrm {d}}$ ${\ displaystyle \ Delta = \ mathrm {d} \ delta + \ delta \ mathrm {d}}$ ; prin urmare, este legitim să se definească spațiul formelor armonice

{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M) = \ {\ alpha \ in \ Omega ^ {k} (M) \ mid \ Delta \ alpha = 0 \}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M) = \ {\ alpha \ in \ Omega ^ {k} (M) \ mid \ Delta \ alpha = 0 \}.}

De cand $\mathrm {d} {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=0$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M) = 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M) = 0}$ , există o aplicație liniară canonică $\varphi :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\rightarrow H^{k}(M)$ ${\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M) \ rightarrow H ^ {k} (M)}$ ${\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {H}} _ {\ Delta} ^ {k} (M) \ rightarrow H ^ {k} (M)}$ , care conform teoremei lui Hodge în versiunea clasică este un izomorfism al spațiilor vectoriale. Cu alte cuvinte, pentru fiecare clasă de cohomologie a lui de Rham su $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , există un singur reprezentant armonic.

Una dintre cele mai importante consecințe ale acestei afirmații este că grupurile de cohomologie de de Rham pe o varietate compactă au dimensiuni finite; acest lucru rezultă din faptul că operatorii laplacieni sunt doar eliptici , iar nucleul unui operator eliptic pe un distribuitor compact este întotdeauna finit-dimensional.

Teoria lui Hodge asupra complexelor eliptice

În general, teoria lui Hodge se aplică oricărui complex eliptic pe un distribuitor compact.

Lasa-i sa fie $E_{0},E_{1},\dots ,E_{N}$ ${\ displaystyle E_ {0}, E_ {1}, \ dots, E_ {N}}$ ${\ displaystyle E_ {0}, E_ {1}, \ dots, E_ {N}}$ pachete de vectori , cu valori, definite pe un distribuitor compact $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ cu forma volumului $d\theta$ ${\ displaystyle d \ theta}$ ${\ displaystyle d \ theta}$ .

să presupunem că

L_{i}:\Gamma (E_{i})\rightarrow \Gamma (E_{i+1})

{\ displaystyle L_ {i}: \ Gamma (E_ {i}) \ rightarrow \ Gamma (E_ {i + 1})}

{\ displaystyle L_ {i}: \ Gamma (E_ {i}) \ rightarrow \ Gamma (E_ {i + 1})}

sunt operatori diferențiali pe secțiuni $\Gamma (-)$ ${\ displaystyle \ Gamma (-)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (-)}$ dintre aceste pachete de vectori, care au indus succesiunea

\Gamma (E_{0})\rightarrow \Gamma (E_{1})\rightarrow \cdots \rightarrow \Gamma (E_{N})

{\ displaystyle \ Gamma (E_ {0}) \ rightarrow \ Gamma (E_ {1}) \ rightarrow \ cdots \ rightarrow \ Gamma (E_ {N})}

{\ displaystyle \ Gamma (E_ {0}) \ rightarrow \ Gamma (E_ {1}) \ rightarrow \ cdots \ rightarrow \ Gamma (E_ {N})}

este un complex eliptic. Apoi introducem sumele directe

{\mathcal {E}}^{\bullet }=\bigoplus _{i=1}^{N}\Gamma (E_{i})

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {N} \ Gamma (E_ {i})}

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {N} \ Gamma (E_ {i})}

{\mathcal {L}}=\bigoplus _{i=1}^{N}L_{i}:{\mathcal {E}}^{\bullet }\rightarrow {\mathcal {E}}^{\bullet }

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {N} L_ {i}: {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ rightarrow {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {N} L_ {i}: {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ rightarrow {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet}}

și fie ${\mathcal {L}}^{*}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {*}}$ adăugarea de ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ . Definim operatorul eliptic $\Delta ={\mathcal {LL}}^{*}+{\mathcal {L}}^{*}{\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle \ Delta = {\ mathcal {LL}} ^ {*} + {\ mathcal {L}} ^ {*} {\ mathcal {L}}}$ ${\ displaystyle \ Delta = {\ mathcal {LL}} ^ {*} + {\ mathcal {L}} ^ {*} {\ mathcal {L}}}$ ; ca și în cazul clasic, această definiție permite luarea în considerare a spațiului secțiunilor armonice

{\mathcal {H}}=\{e\in {\mathcal {E}}^{\bullet }\mid \Delta e=0\}.

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ {e \ in {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ mid \ Delta e = 0 \}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ {e \ in {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ mid \ Delta e = 0 \}.}

Să sunăm atunci $H:{\mathcal {E}}^{\bullet }\rightarrow {\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle H: {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ rightarrow {\ mathcal {H}}}$ ${\ displaystyle H: {\ mathcal {E}} ^ {\ bullet} \ rightarrow {\ mathcal {H}}}$ proiecția ortogonală e $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Funcția lui Green în raport cu $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ .

Prin urmare, teorema lui Hodge afirmă că:

$H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ sunt bine definite.
$\mathrm {id} =H+\Delta G=H+G\Delta$ ${\ displaystyle \ mathrm {id} = H + \ Delta G = H + G \ Delta}$ ${\ displaystyle \ mathrm {id} = H + \ Delta G = H + G \ Delta}$
${\mathcal {L}}G=G{\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} G = G {\ mathcal {L}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} G = G {\ mathcal {L}}}$ , ${\mathcal {L}}^{*}G=G{\mathcal {L}}^{*}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {*} G = G {\ mathcal {L}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {*} G = G {\ mathcal {L}} ^ {*}}$
Cohomologia complexului eliptic este canomic izomorfă pentru spațiul vectorial al secțiunilor armonice, adică $H(E_{j})\cong {\mathcal {H}}(E_{j})$ ${\ displaystyle H (E_ {j}) \ cong {\ mathcal {H}} (E_ {j})}$ ${\ displaystyle H (E_ {j}) \ cong {\ mathcal {H}} (E_ {j})}$ , în sensul că fiecare clasă de cohomologie are un singur reprezentant armonic.

Facilități Hodge

Este posibil să se dea o definiție abstractă pentru o structură Hodge reală: dacă $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este un spațiu vectorial real, o structură de greutate Hodge $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ pe $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este o descompunere sumă directă a $W^{\mathbf {C} }=W\otimes \mathbf {C}$ ${\ displaystyle W ^ {\ mathbf {C}} = W \ otimes \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle W ^ {\ mathbf {C}} = W \ otimes \ mathbf {C}}$ ( complexificarea $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ ) în plus $W^{p,q}$ ${\ displaystyle W ^ {p, q}}$ ${\ displaystyle W ^ {p, q}}$ cu $k=p+q$ ${\ displaystyle k = p + q}$ ${\ displaystyle k = p + q}$ , astfel încât conjugarea complexă pe $W^{\mathbf {C} }$ ${\ displaystyle W ^ {\ mathbf {C}}}$ ${\ displaystyle W ^ {\ mathbf {C}}}$ schimbi acest subspatiu pentru însumare $W^{q,p}$ ${\ displaystyle W ^ {q, p}}$ ${\ displaystyle W ^ {q, p}}$ .

Rezultatul fundamental al geometriei algebrice demonstrează că grupurile de cohomologie singulară cu coeficienți reali ai unei varietăți proiective complexe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ au o structură similară Hodge, având $H^{k}(V)$ ${\ displaystyle H ^ {k} (V)}$ ${\ displaystyle H ^ {k} (V)}$ descompunerea necesară în sub spații complexe $H^{p,q}$ ${\ displaystyle H ^ {p, q}}$ ${\ displaystyle H ^ {p, q}}$ . Trecând la dimensiuni și luând în considerare numerele lui Betti $b_{k}$ ${\ displaystyle b_ {k}}$ $b_ {k}$

b_{k}=\dim H^{k}(V)=\sum _{p+q=k}h^{p,q},\,

{\ displaystyle b_ {k} = \ dim H ^ {k} (V) = \ sum _ {p + q = k} h ^ {p, q}, \,}

{\ displaystyle b_ {k} = \ dim H ^ {k} (V) = \ sum _ {p + q = k} h ^ {p, q}, \,}

unde este $h^{p,q}=\dim H^{p,q}.\,$ ${\ displaystyle h ^ {p, q} = \ dim H ^ {p, q}. \,}$ ${\ displaystyle h ^ {p, q} = \ dim H ^ {p, q}. \,}$

Succesiunea $b_{k}$ ${\ displaystyle b_ {k}}$ $b_ {k}$ de numere Betti devine apoi un diamant Hodge de numere Hodge crescând în două direcții.

Această absolvire cu dublu indice derivă inițial din teoria formelor armonice, care sunt reprezentanți privilegiați într-o cohomologie de Rham (generalizarea funcțiilor armonice , care trebuie să fie constante local într-o varietate compactă, în virtutea principiului maxim ). În lucrările ulterioare (Dolbeault) s-a arătat că descompunerea Hodge ilustrată mai sus poate fi revizuită în funcție de grupele de cohomologie ale grinzilor $H^{q}(V,\Omega ^{p})$ ${\ displaystyle H ^ {q} (V, \ Omega ^ {p})}$ ${\ displaystyle H ^ {q} (V, \ Omega ^ {p})}$ in care $\Omega ^{p}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {p}}$ este pachetul de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ - Forme holomorfe. Cu această procedură se oferă o interpretare mai algebrică a descompunerii Hodge, fără a se folosi Laplacianul Hodge.

În cazul în care colectorul nu este compact sau are singularități, structura Hodge trebuie rectificată prin intermediul unei structuri mixte Hodge , unde suma directă bigraded este înlocuită cu o pereche de filtrări . O procedură similară este de obicei utilizată, de exemplu, în probleme de monodromie.

Bibliografie

Phillip Griffiths , Joe Harris , Principles of Algebraic Geometry , Wiley Classics Library, Wiley Interscience, 1994, p. 117, ISBN 0-471-05059-8 .
WVD Hodge , Theory and Applications of Harmonic Integrals , Cambridge University Press , 1941, ISBN 978-0-521-35881-1 .
Ofer Gabber , Lorenzo Ramero (2009). Fundamente pentru teoria aproape inelară .

Elemente conexe

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85061345 · GND (DE) 4135967-7 · BNF (FR) cb12219653d (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică