Soi algebric

O varietate algebrică este ansamblul de zerouri ale unei familii de polinoame și este obiectul principal de studiu al geometriei algebrice . Prin conceptul de varietate algebrică este posibil să se stabilească o legătură între algebră și geometrie , care permite reformularea problemelor geometrice în termeni algebrici și invers. Această legătură se bazează în principal pe faptul că un polinom complex într-o variabilă este complet determinat de zerourile sale: teorema zero a lui Hilbert permite de fapt să stabilească o corespondență între soiurile algebrice și ideale ale inelelor polinomiale .

Definiție

Este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ un câmp închis algebric , $K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]$ ${\ displaystyle K [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle K [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}]}$ inelul polinomial pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile, e $\{f_{i}\}_{i=1,2,\ldots ,m}$ ${\ displaystyle \ {f_ {i} \} _ {i = 1,2, \ ldots, m}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {i} \} _ {i = 1,2, \ ldots, m}}$ o familie de polinoame inelare. Subsetul de $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ format din punctele care anulează toate polinoamele de $\{f_{i}\}_{i=1,2,\ldots ,m}$ ${\ displaystyle \ {f_ {i} \} _ {i = 1,2, \ ldots, m}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {i} \} _ {i = 1,2, \ ldots, m}}$ este o varietate algebrică:

V=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mid f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,\,\forall i=1,2,\ldots ,m\}\subseteq K^{n}

{\ displaystyle V = \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ mid f_ {i} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} ) = 0, \, \ forall i = 1,2, \ ldots, m \} \ subseteq K ^ {n}}

{\ displaystyle V = \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ mid f_ {i} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} ) = 0, \, \ forall i = 1,2, \ ldots, m \} \ subseteq K ^ {n}}

.

Soiuri înrudite

Același subiect în detaliu: varietate afină .

Dat fiind câmpul închis algebric $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și un spațiu conex $\mathbb {A} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}}$ in marime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , polinoamele inelului $K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]$ ${\ displaystyle K [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle K [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}]}$ sunt funcții cu valori în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ definit pe $\mathbb {A} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}}$ .

Luați o familie de polinoame $S\subseteq K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]$ ${\ displaystyle S \ subseteq K [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle S \ subseteq K [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}]}$ , setul de puncte de $\mathbb {A} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}}$ deci funcțiile de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ toate sunt nule

Z(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0\,\forall f\in S\}

{\ displaystyle Z (S) = \ {x \ in \ mathbb {A} ^ {n} \ mid f (x) = 0 \, \ forall f \ in S \}}

{\ displaystyle Z (S) = \ {x \ in \ mathbb {A} ^ {n} \ mid f (x) = 0 \, \ forall f \ in S \}}

împreună se spune afine algebrică . De sine $Z(S)$ ${\ displaystyle Z (S)}$ ${\ displaystyle Z (S)}$ nu poate fi scris ca uniunea corectă a două mulțimi algebrice afine, se numește varietate afină .

Proprietate

Pe varietățile afine este posibil să se definească o topologie naturală definind toate mulțimile algebrice ca mulțimi închise ( topologia Zariski ).
Dat $V\subseteq \mathbb {A} ^{n}$ ${\ displaystyle V \ subseteq \ mathbb {A} ^ {n}}$ ${\ displaystyle V \ subseteq \ mathbb {A} ^ {n}}$ , $I(V)$ ${\ displaystyle I (V)}$ $Eu (V)$ este idealul format de toate funcțiile care se anulează $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ :

I(V)=\{f\in K[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}]\mid f(x)=0\,\forall x\in V\}

{\ displaystyle I (V) = \ {f \ în K [x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}] \ mid f (x) = 0 \, \ forall x \ in V \ }}

{\ displaystyle I (V) = \ {f \ în K [x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}] \ mid f (x) = 0 \, \ forall x \ in V \ }}

.

Se numește inel de coordonate

K[V]

{\ displaystyle K [V]}

{\ displaystyle K [V]}

din

V.

{\ displaystyle V}

V.

inelul coeficient

{\frac {K[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}]}{I(V)}}

{\ displaystyle {\ frac {K [x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}]} {I (V)}}}

{\ displaystyle {\ frac {K [x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}]} {I (V)}}}

. Gradul de transcendență al câmpului fracțiunilor de

K[V]

{\ displaystyle K [V]}

{\ displaystyle K [V]}

pe

K.

{\ displaystyle K}

K.

se numește mărimea lui

V.

{\ displaystyle V}

V.

.

Un set algebric afin $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este dacă și numai dacă varietate $I(V)$ ${\ displaystyle I (V)}$ $Eu (V)$ este un ideal prim , adică dacă și numai dacă inelul de coordonate al lui $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un domeniu al integrității .
Fiecare set algebric afin poate fi scris unic ca o uniune de soiuri algebrice.

Soiuri proiective

Același subiect în detaliu: varietate proiectivă .

Este posibil să modificați ușor definiția varietății afine pentru ao extinde la cazul unui spațiu proiectiv $\mathbb {P} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ : în acest caz este considerat un set $S\subseteq K[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}]$ ${\ displaystyle S \ subseteq K [x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle S \ subseteq K [x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}]}$ , formată din polinoame omogene (adică ale căror monomii au toate același grad). Cu aceleași notații obținem apoi definițiile setului algebric proiectiv, varietății proiective, topologiei Zariski și inelului coordonat al unui soi.

Izomorfisme ale soiurilor algebrice

Un izomorfism între două soiuri algebrice $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ Și $V_{2}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ este un morfism al soiurilor algebrice care este de asemenea bijectiv și a cărui funcție inversă este și un morfism al soiurilor algebrice. Bijectivitatea singură nu este suficientă, de fapt există morfisme bijective care nu sunt izomorfisme.

Două soiuri algebrice $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ Și $V_{2}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ se numesc izomorfe dacă există izomorfism $\phi \colon V_{1}\to V_{2}$ ${\ displaystyle \ phi \ colon V_ {1} \ to V_ {2}}$ ${\ displaystyle \ phi \ colon V_ {1} \ to V_ {2}}$ printre ei. Pentru a indica asta $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ Și $V_{2}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ sunt izomorfe se scrie $V_{1}\cong V_{2}$ ${\ displaystyle V_ {1} \ cong V_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {1} \ cong V_ {2}}$ .

Izomorfismul dintre soiurile algebrice este o relație de echivalență : toate soiurile algebrice izomorfe dintre ele pot fi considerate echivalente în raport cu multe caracteristici și sunt grupate într-o singură clasă de echivalență numită varietate algebrică abstractă .

Soiuri algebrice diferențiabile

De sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este câmpul numerelor complexe , o varietate algebrică izomorfă local a $K^{m}$ ${\ displaystyle K ^ {m}}$ ${\ displaystyle K ^ {m}}$ este, de asemenea, dotat cu o structură diferențială m-dimensională diferențiată ; varietatea în acest caz este lipsită de puncte singulare. De asemenea, se arată că o varietate algebrică diferențiată este echivalentă cu setul de zerouri ale unei familii de funcții algebrice analitice.

Generalizări

Geometria algebrică modernă a revizuit complet definiția varietății algebrice, făcând-o considerabil mai abstractă, cu scopul de a-și extinde utilizarea dincolo de limitele teoriei clasice, de exemplu pentru a putea defini soiurile algebrice pe câmpuri închise non-algebric.

Un colector este definit ca un model , adică un spațiu topologic cu un pachet de inele locale , care au și proprietatea de a fi algebre K generate finit. În acest fel, fiecare punct al varietății are un vecinătate înzestrat cu o structură inelară locală și izomorfă în spectrul unui inel; se impune de obicei condiția ca este posibil să se acopere întreaga varietate cu un număr finit de vecinătăți.

Extensii suplimentare pot fi realizate utilizând pachete de inele care nu sunt domenii de integritate sau care posedă elemente nilpotente .

Bibliografie

(EN) Robin Hartshorne . Geometrie algebrică . Springer-Verlag, 1997. ISBN 0387902449
(RO) David Cox, John Little, Don O'Shea. Ideale, soiuri și algoritmi . Springer-Verlag, 1997. ISBN 0387946802

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Rowland, Todd și Weisstein, Eric W. „Algebraic Variety”. De la MathWorld - A Wolfram Web Resource , la mathworld.wolfram.com .
( RO ) Introducere în soiurile algebrice , pe mathreference.com .

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 27889 · LCCN (RO) sh85003439 · BNF (FR) cb119337453 (data) · NDL (RO, JA) 00576342

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică