curba plan

În matematică o curbă plană este o curbă care se întinde în întregime într - un (singur) plan și este identificat printr - o funcție continuă $\alpha :I\to \mathbb {R} ^{2}$ ${\ Displaystyle \ alpha: I \ la \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ Alpha: I \ la \ R ^ 2$ , unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un interval în setul de numere reale . De exemplu, o curbă pe un spațiu euclidian de dimensiune mai mare de 2 este plat dacă minciunile sale de sprijin pe un plan conținut în spațiul Euclidian în care este definit.

O curbă imagine este , de asemenea , numit un suport curbă. Uneori, termenul „curba“ este, de asemenea, utilizat pentru a indica suportul unei curbe.

primele considerente

Curbele plane sunt obiecte geometrice studiate pe scară largă, deoarece cele mai vechi timpuri, cu obiective nu numai de un anumit tip matematic. Colecția de curbe, care au fost studiate din punct de vedere matematic este foarte variată și complexă, și este demn de remarcat imediat unele deosebiri.

O curbă plan se spune ca este simplu , dacă nu se intersectează în sine, adică, în cazul în care pentru fiecare $t_{1}\neq t_{2}\in I$ ${\ Displaystyle T_ {1} \ neq T_ {2} \ în I}$ $t_1 \ n și t_2 \ în I$ da ai $\alpha (t_{1})\neq \alpha (t_{2})$ ${\ Displaystyle \ alpha (T_ {1}) \ neq \ alpha (T_ {2})}$ $\ Alpha (t_1) \ ne \ alpha (t_2)$ . În caz contrar, se spune ca are puncte duble, triple, și așa mai departe.

O altă distincție se referă la faptul că o curbă plană este mărginită, adică, are ca suport un subset al mărginite $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ , Sau este nelimitată. Curbele plane limitate sunt elipse și lemniscates , în timp ce hiperbolice și spirale sunt nelimitate.

Reprezentări

Același subiect în detaliu: Curba în spațiu .

Reprezentarea în formă explicită cartezian

Un tip de reprezentare a curbei plane este ecuația:

y=f(x)

{\ displaystyle y = f (x)}

y = f (x)

astfel încât la fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ corespunde unui punct $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și astfel încât fiecare punct $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ a planului reprezintă suportul curbei. O curbă de acest tip este numit, de asemenea, un grafic cu referire la graficul funcțiilor reale. De fapt, reprezentarea poate fi scrisă ca:

\alpha (t)=(t,f(t))

{\ Displaystyle \ alpha (t) = (t, f (t))}

\ Alpha (t) = (t, f (t))

care este, în funcție de o variabilă independentă. Această reprezentare are multe limitări geometrice care rezultă din faptul că o curbă are adesea o descriere foarte complexă în această formă, nu este potrivit pentru studiul proprietăților geometrice.

Reprezentarea cartezian Implicit

O curbă poate fi reprezentat sub forma:

F(x,y)=0

{\ Displaystyle F (x, y) = 0}

F (x, y) = 0

care este, în funcție de două variabile independente. Cu toate că această reprezentare este pentru unele scopuri mai bună decât cea explicită, problemele pot fi întâlnite atunci când este necesar să se facă o variabilă explicită în funcție de celălalt, ceea ce nu este întotdeauna posibil, fie.

Reprezentare parametrică

Cea mai bună reprezentare este cu siguranță cel parametric, cum ar fi:

\alpha :{\begin{cases}x=\phi (t)\\y=\psi (t)\end{cases}}

{\ Displaystyle \ alpha: {\ begin {cazuri} x = \ phi (t) \\ y = \ psi (t) \ end {cazuri}}}

\ Alpha: \ begin {cazuri} x = \ phi (t) \\ y = \ psi (t) \ end {cazuri}

sau:

\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t))

{\ Displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}

\ Alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))

unde este $t\in I$ ${\ displaystyle t \ in I}$ $t \ in I$ se numește parametru . Condiția de continuitate nu este suficient pentru a reprezenta și curbele de studiu destinate unidimensionale obiectelor cu caracteristicile dorite de regularitate filiform. Condiția suplimentară este ca curba plan să fie derivabila în cadrul $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ .

O curbă plană parametric $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t))$ ${\ Displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}$ $\ Alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))$ se spune să fie derivabila în orice moment în cazul în care aceasta funcționează $\phi (t)$ ${\ displaystyle \ phi (t)}$ $\ phi (t)$ Și $\psi (t)$ ${\ Displaystyle \ psi (t)}$ $\ Psi (t)$ ei au derivați continue la fiecare punct. O curbă plan diferențiabil este declarat a fi regulat la un moment dat $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ de sine $\alpha '(t_{0})=(\phi '(t_{0}),\psi '(t_{0}))\neq (0,0)$ ${\ Displaystyle \ alpha '(T_ {0}) = (\ phi' (T_ {0}), \ psi „(T_ {0})) \ neq (0,0)}$ $\ Alfa '(t_0) = (\ phi' (t_0), \ psi „(t_0)) \ ne (0,0)$ și regulate în I SE $\alpha '(t)\neq (0,0)$ ${\ Displaystyle \ alpha „(t) \ neq (0,0)}$ $\ Alfa „(t) \ ne (0,0)$ în fiecare punct de la punctul I. A în cazul în care avem $\alpha '(t_{0})=(0,0)$ ${\ Displaystyle \ alpha „(T_ {0}) = (0,0)}$ $\ Alfa „(t_0) = (0,0)$ se spune ca este un punct singular pentru curba.

Linie tangentă

Regularitatea curbei permite definirea liniei tangente la curba. Este $\alpha (t)$ ${\ Displaystyle \ alpha (t)}$ $\ Alpha (t)$ o curbă diferențiabilă e $P_{0}=\alpha (t_{0})$ ${\ P_ displaystyle {0} = \ alpha (T_ {0})}$ $P_0 = \ alpha (t_0)$ un punct regulat. Puteți defini linia tangenta la curba la acel moment ca linia prin $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ paralel cu vectorul $\alpha '(t_{0})=(\phi '(t_{0}),\psi '(t_{0}))$ ${\ Displaystyle \ alpha '(T_ {0}) = (\ phi' (T_ {0}), \ psi „(T_ {0}))}$ $\ Alfa '(t_0) = (\ phi' (t_0), \ psi „(t_0))$ .

Linia tangentă are o ecuație carteziană la punctul $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ :

\psi '(t_{0})\cdot (\phi (t_{0})-\phi )-\phi '(t_{0})\cdot (\psi (t_{0})-\psi )=0

{\ Displaystyle \ psi '(T_ {0}) \ cdot (\ phi (T_ {0}) - \ phi) - \ phi' (T_ {0}) \ cdot (\ psi (T_ {0}) - \ psi) = 0}

\ Psi '(t_0) \ cdot (\ phi (t_0) - \ phi) - \ phi' (t_0) \ cdot (\ psi (t_0) - \ psi) = 0

și ecuații parametrice:

{\begin{cases}\phi =\phi '(t_{0})(t-t_{0})+\phi (t_{0})\\\psi =\psi '(t_{0})(t-t_{0})+\psi (t_{0})\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} \ phi = \ phi '(T_ {0}) (t-T_ {0}) + \ phi (T_ {0}) \\\ psi = \ psi' (T_ {0 }) (t-T_ {0}) + \ psi (T_ {0}) \ end {cazuri}}}

\ Începe \ phi = \ phi end '(t_0) (t-t_0) + \ phi (t_0) \\ \ psi = \ psi' (t_0) (t-t_0) + \ psi (t_0) \ {cazuri} { cazuri}

În cazul unei curbe reprezentate în mod explicit printr-o ecuație $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ , Linia tangentă la punctul $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ este dat:

f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})-(y-y_{0})=0

{\ F displaystyle „(X_ {0}) \ cdot (x-X_ {0}) - (y-y_ {0}) = 0}

f „(x_0) \ cdot (x-x_0) - (y-y_0) = 0

în timp ce în cazul unei curbe reprezentată printr-o ecuație implicită $F(x,y)=0$ ${\ Displaystyle F (x, y) = 0}$ $F (x, y) = 0$ linia tangentă la punctul $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ este dat de:

F_{x}\cdot (x-x_{0})+F_{y}(y-y_{0})=0

{\ F_ displaystyle {x} \ cdot (x-X_ {0}) + F_ {y} (y-y_ {0}) = 0}

F_ {x} \ cdot (x-x_0) + F_ {y} (y-y_0) = 0

normalei

Regularitatea curbei de asemenea , vă permite să definiți linia normală la curba de la punctul $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ din ecuația carteziană:

\phi '(t_{0})\cdot (\phi (t_{0})-\phi )+\psi '(t_{0})\cdot (\psi (t_{0})-\psi )=0

{\ Displaystyle \ phi '(T_ {0}) \ cdot (\ phi (T_ {0}) - \ phi) + \ psi' (T_ {0}) \ cdot (\ psi (T_ {0}) - \ psi) = 0}

\ Phi '(t_0) \ cdot (\ phi (t_0) - \ phi) + \ psi' (t_0) \ cdot (\ psi (t_0) - \ psi) = 0

În cazul unei curbe reprezentate în mod explicit:

f'(x_{0})\cdot (y-y_{0})+(x-x_{0})=0

{\ F displaystyle „(X_ {0}) \ cdot (y-y_ {0}) + (x-X_ {0}) = 0}

f „(x_0) \ cdot (y-y_0) + (x-x_0) = 0

în timp ce pentru cazul curbei reprezentate implicit:

F_{y}\cdot (x-x_{0})-F_{x}\cdot (y-y_{0})=0

{\ F_ displaystyle {y} \ cdot (x-X_ {0}) - F_ {x} \ cdot (y-y_ {0}) = 0}

F_ {y} \ cdot (x-x_0) - F_ {x} \ cdot (y-y_0) = 0

directori cosinusului

Din însăși definiția derivatului obținem:

{\frac {\psi '(t)}{\phi '(t)}}=\tan \theta

{\ Displaystyle {\ frac {\ psi '(t)} {\ phi' (t)}} = \ tan \ theta}

{\ Displaystyle {\ frac {\ psi '(t)} {\ phi' (t)}} = \ tan \ theta}

care reprezintă geometric panta liniei tangente, adică echer tangenta unghiului pe care formele linia tangentă cu axa x orizontală. Din această relație putem extrage cosinus direcționarea tangentei:

\cos \theta =\pm {\frac {\phi '(t)}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}}}}\qquad \sin \theta =\pm {\frac {\psi '(t)}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}}}}

{\ Displaystyle \ cos \ theta = \ pm {\ frac {\ phi '(t)} {\ sqrt {\ phi' (t) ^ {2} + \ psi „(t) ^ {2}}}} \ prototipurilor \ păcat \ theta = \ pm {\ frac {\ psi '(t)} {\ sqrt {\ phi' (t) ^ {2} + \ psi „(t) ^ {2}}}}}

\ Cos \ theta = \ pm \ frac {\ phi '(t)} {\ sqrt {\ phi' (t) ^ 2 + \ psi „(t) ^ 2}} \ prototipurilor \ păcat \ theta = \ pm \ frac {\ psi '(t)} {\ sqrt {\ phi' (t) ^ 2 + \ psi „(t) ^ 2}}

Reparameterization

Dată fiind o curbă $\alpha :I\to \mathbb {R} ^{2}$ ${\ Displaystyle \ alpha: I \ la \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ Alpha: I \ la \ R ^ 2$ diferențiabile și o funcție $t=t(s)$ ${\ Displaystyle t = t (s)}$ $t = t (s)$ definite pe intervalul $S\to I$ ${\ Displaystyle S \ a I}$ $S \ la I$ apoi curba:

\beta =\alpha \circ t:S\to \mathbb {R} ^{2}

{\ Displaystyle \ beta = \ alpha \ t Circ: S \ a \ mathbb {R} ^ {2}}

\ Beta = \ alpha \ t Circ: S \ a \ R ^ 2

astfel încât pentru fiecare $s\in S$ ${\ displaystyle s \ în S}$ $s \ în S$ da ai $\beta (s)=\alpha (t(s))$ ${\ Displaystyle \ beta (s) = \ alpha (t (s))}$ $\ Beta (s) = \ alpha (t (s))$ este o reparameterization a curbei $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ . Reparameterization este regulat dacă $t(S)=I$ ${\ T displaystyle (S) = I}$ $t (S) = I$ Și $t'(s)\neq 0$ ${\ T displaystyle „(e) \ neq 0}$ $t „(e) \ n și 0$ .

Aceasta arată că, în cazul în care $\beta =\alpha \circ t$ ${\ Displaystyle \ beta = \ alpha \ t} Circ$ $\ Beta = \ alpha \ t Circ$ este o reparameterization de $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ prin $t=t(s)$ ${\ Displaystyle t = t (s)}$ $t = t (s)$ asa de:

\beta '(s)={\frac {dt}{ds}}\alpha '(t(s))

{\ Displaystyle \ beta '(s) = {\ frac {dt} {ds}} \ alfa' (t (s))}

'= \ Frac {dt} {ds} \ alfa (s)' \ beta (t (s))

De fapt, dacă $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t))$ ${\ Displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}$ $\ Alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))$ asa de $\beta (s)=(\phi (t(s)),\psi (t(s)))$ ${\ Displaystyle \ beta (s) = (\ phi (t (s)), \ psi (t (s)))}$ $\ Beta (s) = (\ phi (t (s)), \ psi (t (s)))$ și prin regula de derivare a funcțiilor compuse obținem:

{\frac {d\phi (t(s))}{ds}}={\frac {d\phi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}\qquad {\frac {d\psi (t(s))}{ds}}={\frac {d\psi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}

{\ Displaystyle {\ frac {d \ phi (t (s))} {ds}} = {\ frac {d \ phi} {dt}} \ cdot {\ frac {dt} {ds}} \ prototipurilor {\ frac {d \ psi (t (s))} {ds}} = {\ frac {d \ psi} {dt}} \ cdot {\ frac {dt} {ds}}}

\ frac {d \ phi (t (s))} {ds} = \ frac {d \ phi} {dt} \ cdot \ frac {dt} {ds} \ prototipurilor \ frac {d \ psi (t (s) )} {ds} = \ frac {d \ psi} {dt} \ cdot \ frac {dt} {ds}

și așa avem:

\beta '(s)={\frac {dt}{ds}}\left({\frac {d\phi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}}\right)={\frac {dt}{ds}}\alpha '(t(s))

{\ Displaystyle \ beta „(s) = {\ frac {dt} {ds}} \ stânga ({\ frac {d \ phi} {dt}}, {\ frac {d \ psi} {dt}} \ dreapta ) = {\ frac {dt} {ds}} \ alfa „(t (s))}

\ Beta „(s) = \ frac {dt} {ds} \ stânga (\ frac {d \ phi} {dt}, \ frac {d \ psi} {dt} \ dreapta) = \ frac {dt} {ds } \ alfa „(t (s))

Lungimea unei curbe

Lungimea în formă parametrică

Să se acorde $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t))$ ${\ Displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}$ $\ Alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))$ diferențiabilă e $[a,b]\subseteq I$ ${\ Displaystyle [a, b] \ subseteq I}$ $[A, b] \ subseteq I$ . Apoi, lungimea arcului unei curbe între $[\alpha (a),\alpha (b)]$ ${\ Displaystyle [\ alfa (a), \ alpha (b)]}$ $[\ Alfa (a), \ alpha (b)]$ este valabil:

{\mbox{Lungh}}(\alpha )=\int _{a}^{b}\|\alpha '(t)\|dt=\int _{a}^{b}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}}}\cdot dt

{\ Displaystyle {\ mbox {Lungime}} (\ alpha) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ alfa „(t) \ | dt = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ phi '(t) ^ {2} + \ psi' (t) ^ {2}}} \ cdot dt}

\ Mbox {Lungime} (\ alpha) = \ int_ {a} ^ {b} \ | \ Alfa „(t) \ | dt = \ int_ {a} ^ {b} \ sqrt {\ phi '(t) ^ 2 + \ psi' (t) ^ 2} \ cdot dt

În plus, în cazul în care $\beta (s)$ ${\ Displaystyle \ beta (s)}$ $\ beta (s)$ este o reparameterization a curbei, atunci:

{\mbox{Lungh}}(\alpha )={\mbox{Lung}}(\beta )=\int _{a}^{b}\|\alpha '(t)\|dt=\int _{a}^{b}\|\beta '(s)\|ds

{\ Displaystyle {\ mbox {Lungime}} (\ alpha) = {\ mbox {Lung}} (\ beta) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ alfa „(t) \ | dt = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ beta „(e) \ | ds}

\ Mbox {Lungime} (\ alpha) = \ mbox {Lungime} (\ beta) = \ int_ {a} ^ {b} \ | \ Alfa „(t) \ | dt = \ int_ {a} ^ {b} \ | \ Beta „(e) \ | ds

Lungimea în formă cartezian explicită

Dacă curba este reprezentată într-o formă carteziană explicită:

y=f(x)

{\ displaystyle y = f (x)}

y = f (x)

acesta este:

F(x,y)=y-f(x)=0

{\ Displaystyle F (x, y) = yf (x) = 0}

F (x, y) = y-f (x) = 0

apoi, știind că:

{\frac {\partial F}{\partial y}}=1

{\ Displaystyle {\ frac {\ F parțial} {\ y parțial}} = 1}

\ Frac {\ F parțial} {\ y parțial} = 1

este asta:

{\frac {\partial F}{\partial x}}=-{\frac {df(x)}{dx}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ F parțial} {\ x parțial}} = - {\ frac {df (x)} {dx}}}

\ Frac {\ F parțial} {\ x parțial} = - \ frac {df (x)} {dx}

aplicând teorema lui Pitagora la elemente infinitezimale, și integrarea în intervalul de variație a abscisei, lungimea curbei este dată de:

{\mbox{Lungh}}(y)=\int _{a}^{b}{{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\cdot dx}

{\ Displaystyle {\ mbox {Lungime}} (y) = \ int _ {a} ^ {b} {{\ sqrt {1+ \ stânga ({\ frac {dy} {dx}} \ dreapta) ^ {2 }}} \ cdot dx}}

\ Mbox {Lungime} (y) = \ int_ {a} ^ {b} {\ sqrt {1 + \ stânga (\ frac {dy} {dx} \ dreapta) ^ 2} \ cdot dx}

Parametrizare în coordonate polare plane

O formă de parametrizare , care presupune o importanță considerabilă în studiul matematicii, geometriei și în multe domenii de aplicare a matematicii este că , în coordonate plane polare . Având în vedere o curbă care are parametrizarea în coordonate polare plane în formă carteziană:

r=r(\theta )\qquad c\leq \theta \leq d

{\ Displaystyle r = r (\ theta) \ prototipurilor c \ leq \ theta \ leq d}

r = r (\ theta) \ prototipurilor c \ le \ theta \ le d

și în formă parametrică cu parametrul $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ :

{\begin{cases}\phi (\theta )=r(\theta )\cos \theta \\\psi (\theta )=r(\theta )\sin \theta \end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} \ phi (\ theta) = r (\ theta) \ cos \ theta \\\ psi (\ theta) = r (\ theta) \ păcatul \ theta \ end {cazuri}}}

\ Begin {cazuri} \ phi (\ theta) = r (\ theta) \ cos \ theta \\ \ psi (\ theta) = r (\ theta) \ păcatul \ theta \ end {cazuri}

apoi derivații acestuia sunt:

{\begin{cases}\phi '(\theta )=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta \\\psi '(\theta )=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta \end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} \ phi '(\ theta) = r' (\ theta) \ cos \ theta -r (\ theta) \ păcat \ theta \\\ psi '(\ theta) = r' ( \ theta) \ păcat \ theta + r (\ theta) \ cos \ theta \ end {cazuri}}}

\ Begin {cazuri} \ phi '(\ theta) = r' (\ theta) \ cos \ theta - r (\ theta) \ păcatul \ theta \\ \ psi '(\ theta) = r' (\ theta) \ păcat \ theta + r (\ theta) \ cos \ theta \ end {cazuri}

astfel încât lungimea curbei este egală cu:

{\mbox{Lungh}}=\int _{c}^{d}{\sqrt {\phi '(\theta )^{2}+\psi '(\theta )^{2}}}\cdot d\theta =\int _{c}^{d}{\sqrt {r(\theta )^{2}+r'(\theta )^{2}}}d\theta =\int _{c}^{d}{\sqrt {r(\theta )^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\cdot d\theta

{\ Displaystyle {\ mbox {Lungime}} = \ int _ {c} ^ {d} {\ sqrt {\ phi '(\ theta) ^ {2} + \ psi' (\ theta) ^ {2}}} \ cdot d \ theta = \ int _ {c} ^ {d} {\ sqrt {r (\ theta) ^ {2} + r „(\ theta) ^ {2}}} d \ theta = \ int _ { c} ^ {d} {\ sqrt {r (\ theta) ^ {2} + \ stânga ({\ frac {dr} {d \ theta}} \ dreapta) ^ {2}}} \ cdot d \ theta}

{\ Displaystyle {\ mbox {Lungime}} = \ int _ {c} ^ {d} {\ sqrt {\ phi '(\ theta) ^ {2} + \ psi' (\ theta) ^ {2}}} \ cdot d \ theta = \ int _ {c} ^ {d} {\ sqrt {r (\ theta) ^ {2} + r „(\ theta) ^ {2}}} d \ theta = \ int _ { c} ^ {d} {\ sqrt {r (\ theta) ^ {2} + \ stânga ({\ frac {dr} {d \ theta}} \ dreapta) ^ {2}}} \ cdot d \ theta}

abscisa curbilinie

Același subiect în detaliu: lungimea unui arc .

Parametrul abscisei sau lungimea arcului curbilinie este definită ca reparametrization particular obținut prin fixarea extremității inferioare a integrării $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ astfel încât integrala:

s(t)=\int _{a}^{t}\|\alpha '(u)\|du

{\ Displaystyle s (t) = \ int _ {a} ^ {t} \ | \ alpha „(u) \ | du}

s (t) = \ int_ {a} ^ {t} \ | \ Alfa „(u) \ | du

aceasta depinde numai de extremă superioară $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ intenționat ca o variabilă. Această funcție este lungimea arcului de pornire curbe dintr-un punct fix $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și poate avea un semn. Puteți reparameterize întotdeauna curba în abscisa curbilinie. În acest fel, dacă dorim să se calculeze linia tangentă într-un punct, noi știm că este paralelă cu un vector tangent unitar, adică la un versorul. Se arată că o curbă poate fi întotdeauna reparameterized prin intermediul abscisa curbilinie, după cum urmează:

de cand $s'(t)=\|\alpha '(t)\|>0$ ${\ Displaystyle s '(t) = \ | \ alfa' (t) \ |> 0}$ $s'(t) = \ | \ Alfa „(t) \ | > 0$ atunci acesta poate fi inversat $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ și dacă inversa ei este $t=t(s)$ ${\ Displaystyle t = t (s)}$ $t = t (s)$ apoi ne-am curbilinii abscisa reparametrization dat de:

\beta (s)=\alpha (t(s))

{\ Displaystyle \ beta (s) = \ alpha (t (s))}

\ Beta (s) = \ alpha (t (s))

Apoi se arată că vectorul tangent este unitar, după cum urmează:

\|\beta '(s)\|=\left|{\frac {dt}{ds}}\right|\cdot \|\alpha '(t)\|={\frac {1}{|s'(t)|}}\|\alpha '(t)\|={\frac {\|\alpha '(t)\|}{\|\alpha '(t)\|}}=1

{\ Displaystyle \ | \ beta '(e) \ | = \ left | {\ frac {dt} {ds}} \ dreapta | \ cdot \ | \ alpha' (t) \ | = {\ frac {1} { | s '(t) |}} \ | \ alfa' (t) \ | = {\ frac {\ | \ alpha '(t) \ |} {\ | \ alfa' (t) \ |}} = 1 }

{\ Displaystyle \ | \ beta '(e) \ | = \ left | {\ frac {dt} {ds}} \ dreapta | \ cdot \ | \ alpha' (t) \ | = {\ frac {1} { | s '(t) |}} \ | \ alfa' (t) \ | = {\ frac {\ | \ alpha '(t) \ |} {\ | \ alfa' (t) \ |}} = 1 }

Curbură

Același subiect în detaliu: Curbura .

Este $\beta (s)$ ${\ Displaystyle \ beta (s)}$ $\ beta (s)$ o curbă parametrizate conform cu curbiliniu abscisă e $\beta '(s)$ ${\ Displaystyle \ beta „(e)}$ $\ Beta „(e)$ versorul său tangentă. Funcția este considerată $k(s):S\to \mathbb {R}$ ${\ K displaystyle (s): S \ a \ mathbb {R}}$ $k (s): S \ a \ R$ care asociază cu fiecare $s\in S$ ${\ displaystyle s \ în S}$ $s \ în S$ valoarea $k(s)=\|\beta ''(s)\|$ ${\ K displaystyle (s) = \ | \ beta '' (e) \ |}$ $k (s) = \ | \ Beta '' (e) \ |$ . Functia $k(s)\geq 0$ ${\ K displaystyle (s) \ geq 0}$ $k (e) \ ge 0$ este curbura curbei.

În cazul în care curba este reprezentată în mod explicit, curbura sa este:

k={\frac {f''(x)}{\left(1+f'^{2}\right)^{3/2}}}

{\ Displaystyle k = {\ frac {f '' (x)} {\ stânga (1 + f „^ {2} \ dreapta) ^ {3/2}}}}

k = \ frac {f '' (x)} {\ stânga (1 + f „^ {2} \ dreapta) ^ {3/2}}

în timp ce pentru o curbă reprezentată printr-o ecuație implicită:

k={\frac {F_{y}^{2}\cdot F_{xx}-2F_{x}\cdot F_{y}\cdot F_{xy}+F_{x}^{2}\cdot F_{yy}}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{3/2}}}

{\ K displaystyle = {\ frac {F_ {y} ^ {2} \ cdot F_ {xx} -2F_ {x} \ cdot F_ {y} \ cdot F_ {xy} + F_ {x} ^ {2} \ cdot F_ {yy}} {\ stânga (F_ {x} ^ {2} + F_ {y} ^ {2} \ dreapta) ^ {3/2}}}}

k = \ frac {F_ {y} ^ {2} \ cdot F_ {xx} - 2 F_ {x} \ cdot F_ {y} \ cdot F_ {xy} + F_ {x} ^ {2} \ cdot F_ { yy}} {\ stânga (F_ {x} ^ {2} + F_ {y} ^ {2} \ dreapta) ^ {3/2}}

Frenet formule

Același subiect în detaliu: Geometria diferențială a curbelor .

A (suficient regulată) curba în spațiu are în fiecare dintre punctele sale un sistem de referință, denumit triedru Frenet lui, dat de un triplet de vectori tangente, normali și binormal. Această curbă este planul exact atunci când vectorul binormal este întotdeauna constantă.

Este $\beta (s)=(\phi (s),\psi (s))$ ${\ Displaystyle \ beta (s) = (\ phi (s), \ psi (s))}$ $\ Beta (s) = (\ phi (s), \ psi (s))$ o curbă parametrizate conform cu abscisa curbilinie. Vectorul tangent este dată de:

T(s)=\beta '(s)=(\phi '(s),\psi '(s))

{\ T displaystyle (s) = \ beta '(s) = (\ phi' (s), \ psi „(s))}

T (s) = \ beta '(s) = (\ phi' (s), \ psi „(e))

Versorul normală este dată de:

N(s)=i\cdot T(s)=(-\psi '(s),\phi '(s))

{\ Displaystyle N (s) = i \ cdot T (s) = (- \ psi '(s), \ phi' (e))}

N (s) = i \ cdot T (s) = (- \ psi '(s), \ phi' (e))

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este unitatea imaginară. Folosind definiția curburii, o altă formă poate fi administrat versorul normal:

N(s)={\frac {T'(s)}{\|T'(s)\|}}={\frac {T'(s)}{k(s)}}v

{\ Displaystyle N (s) = {\ frac {T '(e)} {\ | T' (e) \ |}} = {\ frac {T „(e)} {k (s)}} v}

N (s) = \ frac {T „(e)} {\ | T '(e) \ |} = \ frac {T' (e)} {k (s)} v

Se arată că vectorul ${T.}^{'}$ ${\ T displaystyle „}$ $T '$ este perpendiculară $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și, prin urmare, în paralel cu $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ .

În ultimă instanță, formulele Frenet și curbura unei curbe plane cu orice parametrizare $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t))$ ${\ Displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}$ $\ Alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))$ Sunt:

T(t)={\frac {\alpha '(t)}{\|\alpha '(t)\|}}\qquad N(t)={\frac {i\cdot \alpha '(t)}{\|\alpha '(t)\|}}\qquad k(t)={\frac {\alpha ''(t)\cdot (i\alpha '(t))}{\|\alpha '(t)\|^{3}}}

{\ Displaystyle T (t) = {\ frac {\ alpha '(t)} {\ | \ alfa' (t) \ |}} \ prototipurilor N (t) = {\ frac {i \ cdot \ alpha „( t)} {\ | \ alfa '(t) \ |}} \ prototipurilor k (t) = {\ frac {\ alpha' '(t) \ cdot (i \ alfa' (t))} {\ | \ alfa „(t) \ | ^ {3}}}}

T (t) = \ frac {\ alpha „(t)} {\ | \ Alfa '(t) \ |} \ prototipurilor N (t) = \ frac {i \ cdot \ alpha' (t)} {\ | \ Alfa '(t) \ |} \ prototipurilor k (t) = \ frac {\ alpha' '(t) \ cdot (i \ alfa' (t))} {\ | \ Alfa „(t) \ | ^ 3}

Bibliografie

(RO) Erwin Kreyszig, geometrie diferentiala, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9
(RO) Euclid, comentarii și trans. de TL Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
(EN) EH Lockwood O carte de Curbe (1961, Cambridge)
Luciano Cresci, binecunoscutelor curbe : O invitație la istoria matematicii prin cele mai multe curbe plane fascinante, Franco Muzzio Editore , 1998, p. 194, ISBN 88-7021-864-3 .

Elemente conexe

linkuri externe

(RO) Geometrie Center , pe geom.uiuc.edu.
Plane Curve Trasarea Machines Data arhivării 10 august 2006 la Internet Archive . de Matematică Laboratorul Modena de Istorie Naturală și Muzeul instrumentație științific al Universității din Modena și Reggio Emilia .
(RO) curbe celebre din MacTutor
(FR) 2D curbe și 3D curbe din Mathcurve, Enciclopediei des formes Mathématiques remarquables
(EN) Matematică Muzeul (Japonia) arhivării 8 august 2006 la Internet Archive . prezintă diverse figuri, generate în principal prin intermediul Mathematica sistemului de calcul.
(RO) Un dicționar vizual Famous plane Curbe prezintă diverse figuri, generate în principal de sistemul de calcul Mathematica .

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 19103 · LCCN (RO) sh85034926 · BNF (FR) cb11950676s (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică