Curba în spațiu

Element principal: Curbă (matematică) .

În matematică , o curbă în spațiu sau o curbă înclinată este o curbă ale cărei puncte nu sunt toate conținute în același plan. Se mai numește și o curbă tridimensională sau in $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ .

Două moduri utilizate pentru a reprezenta o curbă de înclinare sunt forma carteziană și forma parametrică.

Reprezentare cartesiană implicită

Este posibil să se reprezinte o curbă sub formă implicită prin identificarea suportului acesteia cu locusul zerourilor unui câmp vector $\Phi :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ Phi: \ mathbb {R} ^ {3} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ Phi: {\ mathbb R} ^ {3} \ rightarrow {\ mathbb R} ^ {2}$ , adică punctele de coordonate $(x,y,z)$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ $(x, y, z)$ care verifică sistemul:

C:{\begin{cases}f(x,y,z)=0\\g(x,y,z)=0\end{cases}}

{\ displaystyle C: {\ begin {cases} f (x, y, z) = 0 \\ g (x, y, z) = 0 \ end {cases}}}

C: {\ begin {cases} f (x, y, z) = 0 \\ g (x, y, z) = 0 \ end {cases}}

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt cel puțin funcții de clasă $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ la valori reale. O astfel de reprezentare poate fi gândită ca o curbă de intersecție a două suprafețe sub formă implicită.

Condiție suficientă pentru regularitatea locală a unei curbe astfel reprezentată în vecinătatea unuia dintre punctele sale $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ $P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})$ este că Jacobianul :

J={\frac {\partial \Phi (x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial (x,y,z)}}

{\ displaystyle J = {\ frac {\ partial \ Phi (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})} {\ partial (x, y, z)}}}

J = {\ frac {\ partial \ Phi (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})} {\ partial (x, y, z)}}

are rang maxim, adică:

\det {\begin{pmatrix}f_{y}&f_{z}\\g_{y}&g_{z}\\\end{pmatrix}}\neq 0

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} f_ {y} & f_ {z} \\ g_ {y} & g_ {z} \\\ end {pmatrix}} \ neq 0}

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} f_ {y} & f_ {z} \\ g_ {y} & g_ {z} \\\ end {pmatrix}} \ neq 0}

Pentru teorema funcției implicite există cartiere $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ respectiv de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , $y_{0}$ ${\ displaystyle y_ {0}}$ $y_ {0}$ Și $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ ; și există funcții $\alpha :A\to B$ ${\ displaystyle \ alpha: A \ to B}$ ${\ displaystyle \ alpha: A \ to B}$ Și $\beta :A\to C$ ${\ displaystyle \ beta: A \ to C}$ ${\ displaystyle \ beta: A \ to C}$ clasa cel putin $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ astfel încât merită:

{\begin{cases}f(x,\alpha (x),\beta (x))=0\\g(x,\alpha (x),\beta (x))=0\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} f (x, \ alpha (x), \ beta (x)) = 0 \\ g (x, \ alpha (x), \ beta (x)) = 0 \ end { cazuri}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} f (x, \ alpha (x), \ beta (x)) = 0 \\ g (x, \ alpha (x), \ beta (x)) = 0 \ end { cazuri}}}

pentru $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ ${\ displaystyle x \ în A}$ . Functia $P:A\rightarrow A\times B\times C\subset \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle P: A \ rightarrow A \ times B \ times C \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle P: A \ rightarrow A \ times B \ times C \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ definit de:

P(t)=(t,\alpha (t),\beta (t))

{\ displaystyle P (t) = (t, \ alpha (t), \ beta (t))}

{\ displaystyle P (t) = (t, \ alpha (t), \ beta (t))}

este o parametrizare locală pentru curbă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ . Intr-adevar, ${\mbox{Im }}P\subseteq C$ ${\ displaystyle {\ mbox {Im}} P \ subseteq C}$ ${\ displaystyle {\ mbox {Im}} P \ subseteq C}$ și este obișnuit în asta $P'(t)=(1,*,*)\neq (0,0,0)$ ${\ displaystyle P '(t) = (1, *, *) \ neq (0,0,0)}$ ${\ displaystyle P '(t) = (1, *, *) \ neq (0,0,0)}$ .

Reprezentare parametrică

O curbă în formă parametrică este o funcție vectorială a unei singure variabile $\alpha (t):I=[a,b]\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ alpha (t): I = [a, b] \ subseteq \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ alpha (t): I = [a, b] \ subseteq {\ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}} ^ {3}$ de tipul: ^[1]

\alpha (t)=(\alpha _{1}(t),\alpha _{2}(t),\alpha _{3}(t))\

{\ displaystyle \ alpha (t) = (\ alpha _ {1} (t), \ alpha _ {2} (t), \ alpha _ {3} (t)) \}

\ alpha (t) = (\ alpha _ {1} (t), \ alpha _ {2} (t), \ alpha _ {3} (t)) \

De asemenea, puteți scrie:

\alpha (t):{\begin{cases}x=\alpha _{1}(t)\\y=\alpha _{2}(t)\\z=\alpha _{3}(t)\end{cases}}

{\ displaystyle \ alpha (t): {\ begin {cases} x = \ alpha _ {1} (t) \\ y = \ alpha _ {2} (t) \\ z = \ alpha _ {3} ( t) \ end {cases}}}

\ alpha (t): {\ begin {cases} x = \ alpha _ {1} (t) \\ y = \ alpha _ {2} (t) \\ z = \ alpha _ {3} (t) \ sfârșit {cazuri}}

Variabila $t\in I$ ${\ displaystyle t \ in I}$ $t \ in I$ se numește parametru . O curbă este o funcție de clasă $C^{1}\$ ${\ displaystyle C ^ {1} \}$ $C ^ {1} \$ într-un interval dacă funcționează $\alpha _{1}(t)\$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1} (t) \}$ $\ alpha _ {1} (t) \$ , $\alpha _{2}(t)\$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2} (t) \}$ $\ alpha _ {2} (t) \$ Și $\alpha _{3}(t)\$ ${\ displaystyle \ alpha _ {3} (t) \}$ $\ alpha _ {3} (t) \$ au derivate continue în acel interval. O curbă $C^{1}\$ ${\ displaystyle C ^ {1} \}$ $C ^ {1} \$ se spune că este regulat într-un punct $t_{0}\$ ${\ displaystyle t_ {0} \}$ $t_ {0} \$ de sine:

\alpha '(t_{0})=(\alpha _{1}^{'}(t_{0}),\alpha _{2}^{'}(t_{0}),\alpha _{3}^{'}(t_{0}))\neq (0,0,0)

{\ displaystyle \ alpha '(t_ {0}) = (\ alpha _ {1} ^ {'} (t_ {0}), \ alpha _ {2} ^ {'} (t_ {0}), \ alpha _ {3} ^ {'} (t_ {0})) \ neq (0,0,0)}

{\ displaystyle \ alpha '(t_ {0}) = (\ alpha _ {1} ^ {'} (t_ {0}), \ alpha _ {2} ^ {'} (t_ {0}), \ alpha _ {3} ^ {'} (t_ {0})) \ neq (0,0,0)}

și ajustați-vă $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ dacă acest lucru este adevărat în orice moment al $I\$ ${\ displaystyle I \}$ $\$ . Un punct în care ai $\alpha '(t_{0})=(0,0,0)\$ ${\ displaystyle \ alpha '(t_ {0}) = (0,0,0) \}$ $\ alpha '(t_ {0}) = (0,0,0) \$ spunem punct singular pentru curbă.

Se spune că o curbă în spațiu este simplă dacă nu se intersectează cu ea însăși, adică dacă este pentru fiecare $t_{1}\neq t_{2}\in I$ ${\ displaystyle t_ {1} \ neq t_ {2} \ în I}$ ${\ displaystyle t_ {1} \ neq t_ {2} \ în I}$ da ai $\alpha (t_{1})\neq \alpha (t_{2})$ ${\ displaystyle \ alpha (t_ {1}) \ neq \ alpha (t_ {2})}$ ${\ displaystyle \ alpha (t_ {1}) \ neq \ alpha (t_ {2})}$ . Regularitatea curbei permite definirea liniei tangente la curbă, care este linia paralelă cu vectorul:

\alpha '(t_{0})=(\alpha _{1}'(t_{0}),\alpha _{2}^{'}(t_{0}),\alpha _{3}^{'}(t_{0}))

{\ displaystyle \ alpha '(t_ {0}) = (\ alpha _ {1}' (t_ {0}), \ alpha _ {2} ^ {'} (t_ {0}), \ alpha _ {3 } ^ {'} (t_ {0}))}

{\ displaystyle \ alpha '(t_ {0}) = (\ alpha _ {1}' (t_ {0}), \ alpha _ {2} ^ {'} (t_ {0}), \ alpha _ {3 } ^ {'} (t_ {0}))}

Acest vector se numește vectorul tangent al lungimii $||\alpha '(t_{0})||\$ ${\ displaystyle || \ alpha '(t_ {0}) || \}$ ${\ displaystyle || \ alpha '(t_ {0}) || \}$ , și este, de asemenea, indicat cu ${\vec {T}}(t_{0})\$ ${\ displaystyle {\ vec {T}} (t_ {0}) \}$ ${\ displaystyle {\ vec {T}} (t_ {0}) \}$ . Unitatea vectorială tangentă este, de asemenea, vectorul lungimii unității:

{\hat {T}}(t_{0})={\frac {\alpha '(t_{0})}{||\alpha '(t_{0})||}}

{\ displaystyle {\ hat {T}} (t_ {0}) = {\ frac {\ alpha '(t_ {0})} {|| \ alpha' (t_ {0}) ||}}}

{\ displaystyle {\ hat {T}} (t_ {0}) = {\ frac {\ alpha '(t_ {0})} {|| \ alpha' (t_ {0}) ||}}}

Reparameterizare

Având în vedere o curbă $\alpha :I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ alpha: I \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ alpha: I \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}$ diferențiat și o funcție $t=t(s)$ ${\ displaystyle t = t (s)}$ $t = t (s)$ definit pe interval $S\longrightarrow I$ ${\ displaystyle S \ longrightarrow I}$ ${\ displaystyle S \ longrightarrow I}$ apoi curba:

\beta =\alpha \circ t:S\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle \ beta = \ alpha \ circ t: S \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}

{\ displaystyle \ beta = \ alpha \ circ t: S \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}

astfel încât pentru fiecare $s\in S\longrightarrow \beta (s)=\alpha (t(s)),$ ${\ displaystyle s \ in S \ longrightarrow \ beta (s) = \ alpha (t (s)),}$ ${\ displaystyle s \ in S \ longrightarrow \ beta (s) = \ alpha (t (s)),}$ este o reparameterizare a curbei $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ . Reparameterizarea este regulată dacă: $t(S)=I$ ${\ displaystyle t (S) = I}$ $t (S) = I$ si daca $t'(s)\neq 0$ ${\ displaystyle t '(s) \ neq 0}$ $t '(s) \ n și 0$ .

De asemenea, dacă $\beta =\alpha \circ t$ ${\ displaystyle \ beta = \ alpha \ circ t}$ $\ beta = \ alpha \ circ t$ este o reparameterizare a $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ prin $t=t(s)$ ${\ displaystyle t = t (s)}$ $t = t (s)$ asa de:

\beta '(s)={\frac {dt}{ds}}\alpha '(t(s))

{\ displaystyle \ beta '(s) = {\ frac {dt} {ds}} \ alpha' (t (s))}

\ beta '(s) = \ frac {dt} {ds} \ alpha' (t (s))

De fapt, dacă:

\alpha (t)=\left(\phi (t),\psi (t),\chi (t)\right)

{\ displaystyle \ alpha (t) = \ left (\ phi (t), \ psi (t), \ chi (t) \ right)}

{\ displaystyle \ alpha (t) = \ left (\ phi (t), \ psi (t), \ chi (t) \ right)}

asa de:

\beta (s)=\left(\phi (t(s)),\psi (t(s)),\chi (t(s))\right)

{\ displaystyle \ beta (s) = \ left (\ phi (t (s)), \ psi (t (s)), \ chi (t (s)) \ right)}

{\ displaystyle \ beta (s) = \ left (\ phi (t (s)), \ psi (t (s)), \ chi (t (s)) \ right)}

și prin regula de derivare a funcțiilor compuse obținem:

{\frac {d\phi \left(t(s)\right)}{ds}}={\frac {d\phi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ phi \ left (t (s) \ right)} {ds}} = {\ frac {d \ phi} {dt}} \ cdot {\ frac {dt} {ds}} }

{\ displaystyle {\ frac {d \ phi \ left (t (s) \ right)} {ds}} = {\ frac {d \ phi} {dt}} \ cdot {\ frac {dt} {ds}} }

{\frac {d\psi \left(t(s)\right)}{ds}}={\frac {d\psi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ psi \ left (t (s) \ right)} {ds}} = {\ frac {d \ psi} {dt}} \ cdot {\ frac {dt} {ds}} }

{\ displaystyle {\ frac {d \ psi \ left (t (s) \ right)} {ds}} = {\ frac {d \ psi} {dt}} \ cdot {\ frac {dt} {ds}} }

{\frac {d\chi \left(t(s)\right)}{ds}}={\frac {d\chi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ chi \ left (t (s) \ right)} {ds}} = {\ frac {d \ chi} {dt}} \ cdot {\ frac {dt} {ds}} }

{\ displaystyle {\ frac {d \ chi \ left (t (s) \ right)} {ds}} = {\ frac {d \ chi} {dt}} \ cdot {\ frac {dt} {ds}} }

și astfel obținem:

\beta '(s)={\frac {dt}{ds}}\left({\frac {d\phi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}},{\frac {d\chi }{dt}}\right)={\frac {dt}{ds}}\alpha '(t(s))

{\ displaystyle \ beta '(s) = {\ frac {dt} {ds}} \ left ({\ frac {d \ phi} {dt}}, {\ frac {d \ psi} {dt}}, { \ frac {d \ chi} {dt}} \ right) = {\ frac {dt} {ds}} \ alpha '(t (s))}

{\ displaystyle \ beta '(s) = {\ frac {dt} {ds}} \ left ({\ frac {d \ phi} {dt}}, {\ frac {d \ psi} {dt}}, { \ frac {d \ chi} {dt}} \ right) = {\ frac {dt} {ds}} \ alpha '(t (s))}

Lungimea în formă parametrică

Să se acorde $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t),\chi (t))$ ${\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t), \ chi (t))}$ ${\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t), \ chi (t))}$ diferențiat e $[a,b]\subseteq I$ ${\ displaystyle [a, b] \ subseteq I}$ $[a, b] \ subseteq I$ . Apoi lungimea arcului unei curbe între $\alpha (a)$ ${\ displaystyle \ alpha (a)}$ ${\ displaystyle \ alpha (a)}$ și $\alpha (b)$ ${\ displaystyle \ alpha (b)}$ ${\ displaystyle \ alpha (b)}$ este valabil:

{\mbox{Lungh}}(\alpha )=\int _{a}^{b}\|\alpha '(t)\|dt=\int _{a}^{b}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}+\chi '(t)^{2}}}dt

{\ displaystyle {\ mbox {Length}} (\ alpha) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ alpha '(t) \ | dt = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ phi '(t) ^ {2} + \ psi' (t) ^ {2} + \ chi '(t) ^ {2}}} dt}

{\ displaystyle {\ mbox {Length}} (\ alpha) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ alpha '(t) \ | dt = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ phi '(t) ^ {2} + \ psi' (t) ^ {2} + \ chi '(t) ^ {2}}} dt}

.

În plus, dacă $\beta (s)$ ${\ displaystyle \ beta (s)}$ $\ beta (s)$ este o reparameterizare a curbei, apoi:

{\mbox{Lungh}}(\alpha )={\mbox{Lung}}(\beta )=\int _{a}^{b}\|\alpha '(t)\|dt=\int _{t^{-1}(a)}^{t^{-1}(b)}\|\beta '(s)\|ds

{\ displaystyle {\ mbox {Length}} (\ alpha) = {\ mbox {Lung}} (\ beta) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ alpha '(t) \ | dt = \ int _ {t ^ {- 1} (a)} ^ {t ^ {- 1} (b)} \ | \ beta '(s) \ | ds}

{\ displaystyle {\ mbox {Length}} (\ alpha) = {\ mbox {Lung}} (\ beta) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ alpha '(t) \ | dt = \ int _ {t ^ {- 1} (a)} ^ {t ^ {- 1} (b)} \ | \ beta '(s) \ | ds}

.

Abscisa curbiliniară

Generalizând penultima formulă pe care o definim, în funcție de $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , abscisa curbiliniară (sau parametrul lungimii arcului ) $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ ca

s(t)=\int _{a}^{t}\|\alpha '(u)\|du=\int _{a}^{t}{\sqrt {\phi '^{2}+\psi '^{2}+\chi '^{2}}}du

{\ displaystyle s (t) = \ int _ {a} ^ {t} \ | \ alpha '(u) \ | du = \ int _ {a} ^ {t} {\ sqrt {\ phi' ^ {2 } + \ psi '^ {2} + \ chi' ^ {2}}} du}

{\ displaystyle s (t) = \ int _ {a} ^ {t} \ | \ alpha '(u) \ | du = \ int _ {a} ^ {t} {\ sqrt {\ phi' ^ {2 } + \ psi '^ {2} + \ chi' ^ {2}}} du}

;

aceasta, cu excepția semnului, este lungimea arcului curbei dintre punctul fix $\alpha (a)$ ${\ displaystyle \ alpha (a)}$ ${\ displaystyle \ alpha (a)}$ și punctul actual $\alpha (t)$ ${\ displaystyle \ alpha (t)}$ $\ alfa (t)$ . Prin abscisa curbiliniară $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ curba poate fi re-parametrizată astfel: întrucât $s'(t)=\|\alpha '(t)\|>0$ ${\ displaystyle s '(t) = \ | \ alpha' (t) \ |> 0}$ $s '(t) = \ | \ alpha '(t) \ | > 0$ avem asta $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ este în creștere și, prin urmare, inversabil, așa se spune $t(s)$ ${\ displaystyle t (s)}$ ${\ displaystyle t (s)}$ inversul său, apare

\beta (s)=\alpha (t(s))

{\ displaystyle \ beta (s) = \ alpha (t (s))}

\ beta (s) = \ alpha (t (s))

,

care este cunoscută sub numele de parametrizare a curbei naturale .

Curbură

Având în vedere o parametrizare abscisă curbiliniară a curbei $\alpha (s)$ ${\ displaystyle \ alpha (s)}$ ${\ displaystyle \ alpha (s)}$ , curbura este vectorul:

{\vec {k}}(s)={\vec {T}}'(s)

{\ displaystyle {\ vec {k}} (s) = {\ vec {T}} '(s)}

{\ displaystyle {\ vec {k}} (s) = {\ vec {T}} '(s)}

iar curbura scalară modulul său.

Formule Frenet

Același subiect în detaliu: Geometria diferențială a curbelor .

O curbă suficient de regulată în spațiu are în fiecare punct un sistem de referință numit triedrul lui Frenet , dat de o ternă de versori tangenți, normali și binormali. Trebuie remarcat faptul că posibilitatea de a defini triedrul Frenet în fiecare punct al curbei este subordonată faptului că curba are versant tangent și normal în fiecare punct al curbei: din acest motiv vom vorbi de acum înainte despre câmpul tangentei versori și versori normali de câmp. În plus, curba trebuie să fie de două ori diferențiată și aceasta este o condiție suplimentară neprevăzută în definiția anterioară.

Este $\alpha (s)=\left(\phi (s),\psi (s),\chi (s)\right)$ ${\ displaystyle \ alpha (s) = \ left (\ phi (s), \ psi (s), \ chi (s) \ right)}$ ${\ displaystyle \ alpha (s) = \ left (\ phi (s), \ psi (s), \ chi (s) \ right)}$ o curbă parametrizată în funcție de abscisa curbiliniară. Câmpul tangențelor vectoriale la curbă este dat de:

{\overrightarrow {T(s)}}={\frac {\alpha '(s)}{\|\alpha '(s)\|}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {T (s)}} = {\ frac {\ alpha '(s)} {\ | \ alpha' (s) \ |}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {T (s)}} = {\ frac {\ alpha '(s)} {\ | \ alpha' (s) \ |}}}

Câmpul unităților vectoriale normale este dat de:

{\overrightarrow {N(s)}}={\frac {T'(s)}{\|T'(s)\|}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {N (s)}} = {\ frac {T '(s)} {\ | T' (s) \ |}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {N (s)}} = {\ frac {T '(s)} {\ | T' (s) \ |}}}

Prin exploatarea definiției curburii, o altă formă poate fi dată câmpului versorilor normali:

{\overrightarrow {N(s)}}={\frac {T'(s)}{k(s)}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {N (s)}} = {\ frac {T '(s)} {k (s)}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {N (s)}} = {\ frac {T '(s)} {k (s)}}}

Atâta timp cât $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ are o normă constantă, chiar și cantitatea $\|T\|^{2}$ ${\ displaystyle \ | T \ | ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ | T \ | ^ {2}}$ va fi constant, adică

\left(\left\|T\right\|^{2}\right)'=0

{\ displaystyle \ left (\ left \ | T \ right \ | ^ {2} \ right) '= 0}

{\ displaystyle \ left (\ left \ | T \ right \ | ^ {2} \ right) '= 0}

rescriere:

\left(T\cdot T\right)'=0

{\ displaystyle \ left (T \ cdot T \ right) '= 0}

{\ displaystyle \ left (T \ cdot T \ right) '= 0}

Prin dezvoltare obțineți:

2T\cdot T'=0

{\ displaystyle 2T \ cdot T '= 0}

{\ displaystyle 2T \ cdot T '= 0}

Acesta este vectorul ${T.}^{'}$ ${\ displaystyle T '}$ $T '$ este ortogonală la $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și deci paralel cu $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ .

Încă definim câmpul vectorial binormal:

{\overrightarrow {B(s)}}={\overrightarrow {T(s)}}\times {\overrightarrow {N(s)}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {B (s)}} = {\ overrightarrow {T (s)}} \ times {\ overrightarrow {N (s)}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {B (s)}} = {\ overrightarrow {T (s)}} \ times {\ overrightarrow {N (s)}}}

Importanța triedrului Frenet este că este un sistem de referință ortonormal „mobil”, adică atunci când punctul se mișcă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ de-a lungul curbei $\alpha (s)$ ${\ displaystyle \ alpha (s)}$ ${\ displaystyle \ alpha (s)}$ , triedrul Frenet se mișcă în solidaritate cu $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și rămâne întotdeauna un sistem ortonormal. Cu alte cuvinte, triedrul Frenet este o bază ortonormală și, prin urmare, avem formulele Frenet :

{\begin{cases}{\overrightarrow {T'(s)}}=a_{1}\cdot {\overrightarrow {T(s)}}+b_{1}\cdot {\overrightarrow {N(s)}}+c_{1}\cdot {\overrightarrow {B(s)}}\\{\overrightarrow {N'(s)}}=a_{2}\cdot {\overrightarrow {T(s)}}+b_{2}\cdot {\overrightarrow {N(s)}}+c_{2}\cdot {\overrightarrow {B(s)}}\\{\overrightarrow {B'(s)}}=a_{3}\cdot {\overrightarrow {T(s)}}+b_{3}\cdot {\overrightarrow {N(s)}}+c_{3}\cdot {\overrightarrow {B(s)}}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ overrightarrow {T '(s)}} = a_ {1} \ cdot {\ overrightarrow {T (s)}} + b_ {1} \ cdot {\ overrightarrow {N ( s)}} + c_ {1} \ cdot {\ overrightarrow {B (s)}} \\ {\ overrightarrow {N '(s)}} = a_ {2} \ cdot {\ overrightarrow {T (s)} } + b_ {2} \ cdot {\ overrightarrow {N (s)}} + c_ {2} \ cdot {\ overrightarrow {B (s)}} \\ {\ overrightarrow {B '(s)}} = a_ {3} \ cdot {\ overrightarrow {T (s)}} + b_ {3} \ cdot {\ overrightarrow {N (s)}} + c_ {3} \ cdot {\ overrightarrow {B (s)}} \ sfârșit {cazuri}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ overrightarrow {T '(s)}} = a_ {1} \ cdot {\ overrightarrow {T (s)}} + b_ {1} \ cdot {\ overrightarrow {N ( s)}} + c_ {1} \ cdot {\ overrightarrow {B (s)}} \\ {\ overrightarrow {N '(s)}} = a_ {2} \ cdot {\ overrightarrow {T (s)} } + b_ {2} \ cdot {\ overrightarrow {N (s)}} + c_ {2} \ cdot {\ overrightarrow {B (s)}} \\ {\ overrightarrow {B '(s)}} = a_ {3} \ cdot {\ overrightarrow {T (s)}} + b_ {3} \ cdot {\ overrightarrow {N (s)}} + c_ {3} \ cdot {\ overrightarrow {B (s)}} \ sfârșit {cazuri}}}

Matricea:

C={\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle C = {\ begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ { 3} & c_ {3} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle C = {\ begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ { 3} & c_ {3} \ end {bmatrix}}}

se numește matricea Cartan a bazei triedrului. Coeficienții săi sunt în mod clar zero pe diagonala principală, deoarece produsul lor scalar este zero pentru ortonormalitatea bazei. Folosind definiția curburii și introducând definiția torsiunii ca funcția respectivă:

\tau (s)=-B'(s)\cdot {\overrightarrow {N(s)}}

{\ displaystyle \ tau (s) = - B '(s) \ cdot {\ overrightarrow {N (s)}}}

{\ displaystyle \ tau (s) = - B '(s) \ cdot {\ overrightarrow {N (s)}}}

.

Avem astfel formulele Frenet pentru parametrizarea absciselor curvilinee:

{\begin{cases}{\overrightarrow {T'}}=k(s)\cdot {\overrightarrow {N(s)}}\\{\overrightarrow {N'(s)}}=-k(s)\cdot {\overrightarrow {T(s)}}+\tau (s)\cdot {\overrightarrow {B(s)}}\\{\overrightarrow {B'(s)}}=-\tau (s)\cdot {\overrightarrow {N(s)}}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ overrightarrow {T '}} = k (s) \ cdot {\ overrightarrow {N (s)}} \\ {\ overrightarrow {N' (s)}} = - k (s) \ cdot {\ overrightarrow {T (s)}} + \ tau (s) \ cdot {\ overrightarrow {B (s)}} \\ {\ overrightarrow {B '(s)}} = - \ tau (s) \ cdot {\ overrightarrow {N (s)}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ overrightarrow {T '}} = k (s) \ cdot {\ overrightarrow {N (s)}} \\ {\ overrightarrow {N' (s)}} = - k (s) \ cdot {\ overrightarrow {T (s)}} + \ tau (s) \ cdot {\ overrightarrow {B (s)}} \\ {\ overrightarrow {B '(s)}} = - \ tau (s) \ cdot {\ overrightarrow {N (s)}} \ end {cases}}}

adică matricea Cartan este antisimetrică:

C={\begin{bmatrix}0&k(s)&0\\-k(s)&0&\tau (s)\\0&-\tau (s)&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle C = {\ begin {bmatrix} 0 & k (s) & 0 \\ - k (s) & 0 & \ tau (s) \\ 0 & - \ tau (s) & 0 \ end {bmatrix }}}

{\ displaystyle C = {\ begin {bmatrix} 0 & k (s) & 0 \\ - k (s) & 0 & \ tau (s) \\ 0 & - \ tau (s) & 0 \ end {bmatrix }}}

Dacă avem orice parametrizare a curbei: $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t),\chi (t))$ ${\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t), \ chi (t))}$ ${\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t), \ chi (t))}$ , în mod formal, triedrul Frenet este același și poate fi calculat după cum urmează:

{\overrightarrow {T(t)}}={\frac {\alpha '(t)}{\|\alpha '(t)\|}},

{\ displaystyle {\ overrightarrow {T (t)}} = {\ frac {\ alpha '(t)} {\ | \ alpha' (t) \ |}},}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {T (t)}} = {\ frac {\ alpha '(t)} {\ | \ alpha' (t) \ |}},}

{\overrightarrow {B(t)}}={\frac {\alpha '(t)\times \alpha ''(t)}{\|\alpha '(t)\times \alpha ''(t)\|}},

{\ displaystyle {\ overrightarrow {B (t)}} = {\ frac {\ alpha '(t) \ times \ alpha' '(t)} {\ | \ alpha' (t) \ times \ alpha '' ( t) \ |}},}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {B (t)}} = {\ frac {\ alpha '(t) \ times \ alpha' '(t)} {\ | \ alpha' (t) \ times \ alpha '' ( t) \ |}},}

{\overrightarrow {N(t)}}={\overrightarrow {B(t)}}\times {\overrightarrow {T(t)}}.

{\ displaystyle {\ overrightarrow {N (t)}} = {\ overrightarrow {B (t)}} \ times {\ overrightarrow {T (t)}}.}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {N (t)}} = {\ overrightarrow {B (t)}} \ times {\ overrightarrow {T (t)}}.}

Mai mult, avem formulele Frenet:

{\begin{cases}{\overrightarrow {T'(t)}}=k(t)\cdot \|\alpha '(t)\|\cdot {\overrightarrow {N(t)}}\\{\overrightarrow {N'(t)}}=-k(t)\cdot \|\alpha '(t)\|\cdot {\overrightarrow {T(t)}}+\tau (t)\cdot \|\alpha '(t)\|\cdot {\overrightarrow {B(t)}}\\{\overrightarrow {B'(t)}}=-\tau (t)\cdot \|\alpha '(t)\|\cdot {\overrightarrow {N(t)}}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ overrightarrow {T '(t)}} = k (t) \ cdot \ | \ alpha' (t) \ | \ cdot {\ overrightarrow {N (t)}} \ \ {\ overrightarrow {N '(t)}} = - k (t) \ cdot \ | \ alpha' (t) \ | \ cdot {\ overrightarrow {T (t)}} + \ tau (t) \ cdot \ | \ alpha '(t) \ | \ cdot {\ overrightarrow {B (t)}} \\ {\ overrightarrow {B' (t)}} = - \ tau (t) \ cdot \ | \ alpha '( t) \ | \ cdot {\ overrightarrow {N (t)}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ overrightarrow {T '(t)}} = k (t) \ cdot \ | \ alpha' (t) \ | \ cdot {\ overrightarrow {N (t)}} \ \ {\ overrightarrow {N '(t)}} = - k (t) \ cdot \ | \ alpha' (t) \ | \ cdot {\ overrightarrow {T (t)}} + \ tau (t) \ cdot \ | \ alpha '(t) \ | \ cdot {\ overrightarrow {B (t)}} \\ {\ overrightarrow {B' (t)}} = - \ tau (t) \ cdot \ | \ alpha '( t) \ | \ cdot {\ overrightarrow {N (t)}} \ end {cases}}}

asta pentru că dacă de exemplu ${\vec {T}}(s(t))$ ${\ displaystyle {\ vec {T}} (s (t))}$ ${\ displaystyle {\ vec {T}} (s (t))}$ este câmpul tangent al oricărei parametrizări, apoi derivatul său în raport cu $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ :

{\frac {\overrightarrow {T'(s(t))}}{ds}}\cdot {\frac {ds(t))}{dt}}=k(s(t))\cdot {\overrightarrow {N(s(t))}}\cdot \|\alpha '(t)\|

{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {T '(s (t))}} {ds}} \ cdot {\ frac {ds (t))} {dt}} = k (s (t)) \ cdot {\ overrightarrow {N (s (t))}} \ cdot \ | \ alpha '(t) \ |}

{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {T '(s (t))}} {ds}} \ cdot {\ frac {ds (t))} {dt}} = k (s (t)) \ cdot {\ overrightarrow {N (s (t))}} \ cdot \ | \ alpha '(t) \ |}

și așa mai departe pentru celelalte două formule Frenet.

Curbură și torsiune

Prin urmare, o curbă în spațiu este complet definită de cei doi parametri curbura și torsiunea. În acest moment, calculul lor explicit este fundamental atât în parametrizarea abscisei curvilinei, cât și în orice parametrizare.

Curbură și torsiune în parametrizarea naturală

Este $\alpha (s)=\left(\phi (s),\psi (s),\chi (s)\right)$ ${\ displaystyle \ alpha (s) = \ left (\ phi (s), \ psi (s), \ chi (s) \ right)}$ ${\ displaystyle \ alpha (s) = \ left (\ phi (s), \ psi (s), \ chi (s) \ right)}$ parametrizarea naturală a unei curbe de trei ori diferențiate. Apoi pentru fiecare punct este definit triedrul Frenet

{\overrightarrow {T(s)}}={\frac {\alpha '(s)}{\|\alpha '(s)\|}}\qquad {\overrightarrow {N(s)}}={\frac {T'(s)}{\|T'(s)\|}}={\frac {T'(s)}{k(s)}}\qquad {\overrightarrow {B(s)}}={\overrightarrow {T(s)}}\times {\overrightarrow {N(s)}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {T (s)}} = {\ frac {\ alpha '(s)} {\ | \ alpha' (s) \ |}} \ qquad {\ overrightarrow {N (s)}} = {\ frac {T '(s)} {\ | T' (s) \ |}} = {\ frac {T '(s)} {k (s)}} \ qquad {\ overrightarrow {B (s )}} = {\ overrightarrow {T (s)}} \ times {\ overrightarrow {N (s)}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {T (s)}} = {\ frac {\ alpha '(s)} {\ | \ alpha' (s) \ |}} \ qquad {\ overrightarrow {N (s)}} = {\ frac {T '(s)} {\ | T' (s) \ |}} = {\ frac {T '(s)} {k (s)}} \ qquad {\ overrightarrow {B (s )}} = {\ overrightarrow {T (s)}} \ times {\ overrightarrow {N (s)}}}

Să calculăm curbura și torsiunea:

k(s)=\|\alpha ''(s)\|=\|\alpha '(s)\times \alpha ''(s)\|

{\ displaystyle k (s) = \ | \ alpha '' (s) \ | = \ | \ alpha '(s) \ times \ alpha' '(s) \ |}

{\ displaystyle k (s) = \ | \ alpha '' (s) \ | = \ | \ alpha '(s) \ times \ alpha' '(s) \ |}

\tau (s)={\frac {\alpha '(s)\cdot \alpha ''(s)\times \alpha '''(s)}{k^{2}(s)}}

{\ displaystyle \ tau (s) = {\ frac {\ alpha '(s) \ cdot \ alpha' '(s) \ times \ alpha' '' (s)} {k ^ {2} (s)}} }

{\ displaystyle \ tau (s) = {\ frac {\ alpha '(s) \ cdot \ alpha' '(s) \ times \ alpha' '' (s)} {k ^ {2} (s)}} }

Curbură și torsiune în orice parametrizare

Este $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t),\chi (t))$ ${\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t), \ chi (t))}$ ${\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t), \ chi (t))}$ orice parametrizare a unei curbe de trei ori diferențiate. Apoi, din curbură și torsiune sunt:

k(t)={\frac {\|\alpha '(t)\times \alpha ''(t)\|}{\|\alpha '(t)\|^{3}}}

{\ displaystyle k (t) = {\ frac {\ | \ alpha '(t) \ times \ alpha' '(t) \ |} {\ | \ alpha' (t) \ | ^ {3}}}}

{\ displaystyle k (t) = {\ frac {\ | \ alpha '(t) \ times \ alpha' '(t) \ |} {\ | \ alpha' (t) \ | ^ {3}}}}

\tau (t)={\frac {\alpha '(t)\times \alpha ''(t)\cdot \alpha '''(t)}{\|\alpha '(t)\times \alpha ''(t)\|^{2}}}={\frac {\det(\alpha '(t),\alpha ''(t),\alpha '''(t))}{\|\alpha '(t)\times \alpha ''(t)\|^{2}}}

{\ displaystyle \ tau (t) = {\ frac {\ alpha '(t) \ times \ alpha' '(t) \ cdot \ alpha' '' (t)} {\ | \ alpha '(t) \ times \ alpha '' (t) \ | ^ {2}}} = {\ frac {\ det (\ alpha '(t), \ alpha' '(t), \ alpha' '' (t))} {\ | \ alpha '(t) \ times \ alpha' '(t) \ | ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ tau (t) = {\ frac {\ alpha '(t) \ times \ alpha' '(t) \ cdot \ alpha' '' (t)} {\ | \ alpha '(t) \ times \ alpha '' (t) \ | ^ {2}}} = {\ frac {\ det (\ alpha '(t), \ alpha' '(t), \ alpha' '' (t))} {\ | \ alpha '(t) \ times \ alpha' '(t) \ | ^ {2}}}}

Notă

^ Matt Insall și Eric Weisstein, MathWorld - Curve , la mathworld.wolfram.com , 2012.

Bibliografie

Erwin Kreyszig, Geometrie diferențială , Publicații Dover, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9 . Capitolul II este un tratament clasic al teoriei curbelor în 3 dimensiuni.
Euclid , comentariu și trad. de TL Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
EH Lockwood O carte a curbelor (1961 Cambridge)

Elemente conexe

linkuri externe

Indexul curbelor tridimensionale de pe site-ul Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables , adică mathcurve.com
Indicele curbelor celebre , Școala de matematică și statistică, Universitatea din St Andrews, Scoția
Curbe matematice O colecție de 874 curbe matematice bidimensionale
Galeria curbelor spațiale realizate din cercuri, include animații de Peter Moses , pe facultate.evansville.edu .
Galeria curbelor episcopale și a altor curbe sferice, include animații de Peter Moses , pe facultate.evansville.edu .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[mathworld-1] Matt Insall și Eric Weisstein, MathWorld - Curve , la mathworld.wolfram.com , 2012.

[1]