Matricea Cartan

În matematică , termenul matrice Cartan are două semnificații, ambele putând fi urmărite până la matematicianul francez Élie Joseph Cartan (1869-1951). Acest termen este luat ca exemplu al legii eponimiei lui Stigler : de fapt matricile Cartan în contextul algebrelor Lie au fost studiate inițial de matematicianul german Wilhelm Killing , în timp ce așa-numitul model Killing se datorează lui Élie Cartan.

Algebre de minciună

O matrice Cartan generalizată este o matrice pătrată $A=(a_{ij})$ ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ cu intrări întregi astfel încât:

pentru intrări diagonale $a_{ii}=2;$ ${\ displaystyle a_ {ii} = 2;}$ ${\ displaystyle a_ {ii} = 2;}$
pentru intrări non-diagonale $a_{ij}\leq 0;$ ${\ displaystyle a_ {ij} \ leq 0;}$ ${\ displaystyle a_ {ij} \ leq 0;}$
$a_{ij}=0$ ${\ displaystyle a_ {ij} = 0}$ ${\ displaystyle a_ {ij} = 0}$ dacă și numai dacă $a_{ji}=0;$ ${\ displaystyle a_ {ji} = 0;}$ ${\ displaystyle a_ {ji} = 0;}$
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi scris ca $D. S.$ ${\ displaystyle DS}$ ${\ displaystyle DS}$ , unde este $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este o matrice diagonală și $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este o matrice simetrică .

A treia condiție nu este independentă, deoarece este o consecință a primei și a patra condiții.

Puteți alege întotdeauna o matrice $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ cu intrări diagonale pozitive. Dacă da, dacă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ în descompunerea menționată mai sus este o matrice definitivă pozitivă , atunci $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se numește matricea Cartan .

Matricea Cartan a unei algebre Lie simple este matricea ale cărei elemente sunt produsele scalare

a_{ij}={2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}

{\ displaystyle a_ {ij} = {2 (r_ {i}, r_ {j}) \ over (r_ {i}, r_ {i})}}

{\ displaystyle a_ {ij} = {2 (r_ {i}, r_ {j}) \ over (r_ {i}, r_ {i})}}

unde este $r_{i}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$ $re$ sunt rădăcinile simple ale algebrei. Elementele sunt numere întregi pentru una dintre proprietățile rădăcinilor . Prima condiție rezultă din definiție, a doua din faptul că pentru $i\neq j$ ${\ displaystyle i \ neq j}$ $i \ neq j$ , $r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}$ ${\ displaystyle r_ {j} - {2 (r_ {i}, r_ {j}) \ over (r_ {i}, r_ {i})} r_ {i}}$ ${\ displaystyle r_ {j} - {2 (r_ {i}, r_ {j}) \ over (r_ {i}, r_ {i})} r_ {i}}$ este o rădăcină care este o combinație liniară a rădăcinilor simple $r_{i}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$ $re$ Și $r_{j}$ ${\ displaystyle r_ {j}}$ ${\ displaystyle r_ {j}}$ cu un coeficient pozitiv pentru $r_{i}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$ $re$ și de aici și coeficientul pentru $r_{i}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$ $re$ trebuie să fie non-negativ. Al treilea este adevărat deoarece ortogonalitatea este o relație simetrică. Și în cele din urmă, lasă-i să fie $D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}$ ${\ displaystyle D_ {ij} = {\ delta _ {ij} \ over (r_ {i}, r_ {i})}}$ ${\ displaystyle D_ {ij} = {\ delta _ {ij} \ over (r_ {i}, r_ {i})}}$ Și $S_{ij}=2(r_{i},r_{j})$ ${\ displaystyle S_ {ij} = 2 (r_ {i}, r_ {j})}$ ${\ displaystyle S_ {ij} = 2 (r_ {i}, r_ {j})}$ . Deoarece rădăcinile simple se extind în spațiul euclidian , matricea $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este pozitiv definit .

Reprezentarea algebrelor cu dimensiuni finite

În teoria reprezentărilor modulare și mai general în teoria reprezentării algebrelor cu dimensiuni finite $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care sunt non- semisimple , o matrice Cartan este definită prin luarea în considerare a unui număr (limitat) de module care nu se descompun și scrierea unei serii de componente pentru ei în termeni de module proiective , obținându-se o matrice de numere întregi care numără numărul de evenimente ale unei proiective modul.

Bibliografie

Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
Ralph Grimaldi, Matematică discretă și combinatorie , ISBN 0-201-19912-2 .
Gunther Schmidt, 2010. Matematică relațională . Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7 .
Antonio Machì, Grupuri: O introducere la ideile și metodele Teorii de grup , Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8 .
JS Milne, Teoria grupului ( PDF ), 2012. Accesat la 22 februarie 2013 .
William Fulton , Joe Harris , Teoria reprezentării: un prim curs , Texte absolvite în matematică , vol. 129, Springer-Verlag , 1991, p. 334 , ISBN 0-387-97495-4 .
James E. Humphreys, Introducere în algebrele Lie și teoria reprezentării , Texte absolvite în matematică , vol. 9, Springer-Verlag , 1972, pp. 55 –56, ISBN 0-387-90052-7 .
Victor G. Kac, Infinite Dimensional Lie Algebras , 3rd, Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-46693-6 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, matricea Cartan , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică