Coordonate generalizate

În mecanica rațională, un sistem de coordonate generalizat este un sistem de coordonate , egal în număr cu gradele de libertate ale sistemului, care determină în mod unic toate configurațiile unui sistem.

Definiție

Dat fiind un sistem mecanic cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de libertate și orice sistem de coordonate, de exemplu cartezian , în care starea sistemului este indicată de vector $\mathbf {r} =(r_{j})_{j=1,\dots ,m}\in \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = (r_ {j}) _ {j = 1, \ dots, m} \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = (r_ {j}) _ {j = 1, \ dots, m} \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ , cu $m\geq n$ ${\ displaystyle m \ geq n}$ ${\ displaystyle m \ geq n}$ , este posibil să se exprime orice variabilă $r_{j}$ ${\ displaystyle r_ {j}}$ ${\ displaystyle r_ {j}}$ în ceea ce privește vectorul $\mathbf {q} =(q_{i})_{i=1,\dots ,n}\in A\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n} \ în A \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n} \ în A \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ printr-o funcție regulată $\Phi \colon A\to \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ Phi \ colon A \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ Phi \ colon A \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ . Fiecare $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ se numește variabilă generală sau coordonată :

{\begin{cases}r_{1}=\Phi (q_{1},\dots ,q_{n})\\\vdots \\r_{m}=\Phi (q_{1},\dots ,q_{n})\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} r_ {1} = \ Phi (q_ {1}, \ dots, q_ {n}) \\\ vdots \\ r_ {m} = \ Phi (q_ {1}, \ puncte, q_ {n}) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} r_ {1} = \ Phi (q_ {1}, \ dots, q_ {n}) \\\ vdots \\ r_ {m} = \ Phi (q_ {1}, \ puncte, q_ {n}) \ end {cases}}}

Coordonatele $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ constituie un set de generatori ai unui spațiu vectorial $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional, care ia numele de spațiu de configurare a sistemului, dar nu este necesar ca acestea să fie liniar independente . De exemplu, în prezența constrângerilor care leagă unele dintre $r_{j},$ ${\ displaystyle r_ {j},}$ ${\ displaystyle r_ {j},}$ coordonatele $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ acestea ar putea fi liniar dependente.

Coordonatele ciclice

Dat fiind un sistem mecanic cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de libertate cu $\{q_{1},\ldots ,q_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {q_ {1}, \ ldots, q_ {n} \}}$ $\ {q_ {1}, \ ldots, q_ {n} \}$ coordonate generalizate, dacă o funcție a mișcării nu depinde de $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -a coordonata generalizata $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ , coordonata se numește ciclică pentru funcția.

Exemple

Un sistem de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ particule în spațiu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ -dimensional poate avea până la $N\times D$ ${\ displaystyle N \ times D}$ ${\ displaystyle N \ times D}$ grade de libertate și, prin urmare, coordonate generalizate, câte una pentru fiecare dimensiune a mișcării fiecărei particule. Un sistem de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ corpurile rigide din spațiul tridimensional pot avea până la $6N$ ${\ displaystyle 6N}$ ${\ displaystyle 6N}$ coordonate generalizate, inclusiv trei axe de rotație pentru fiecare corp. Numărul de grade efective de libertate este redus în urma introducerii unor constrângeri între poziții (constrângeri holonomice) și viteze ale particulelor (constrângeri nonholonomice).

De exemplu, un sistem format din două particule punctuale în spațiul tridimensional are 6 grade de libertate, trei pentru fiecare coordonată cartesiană a fiecărei particule, dar cu introducerea unei constrângeri, cum ar fi condiția ca particulele să rămână la o distanță fixă una de alta. cealaltă reduce gradele de libertate la 5 (6 coordonate - 1 grad de constrângere). O alegere convenabilă a variabilelor generalizate constă, în acest caz, în utilizarea a trei dintre ele pentru a localiza centrul de masă al sistemului și a celor două rămase pentru a determina orientarea în spațiu a liniei care unește cele două particule. În acest fel, există 5 coordonate independente între ele.

Un punct forțat să se deplaseze de-a lungul unei constrângeri unidimensionale, cum ar fi o curbă netedă $\varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3},\ t\mapsto \mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ varphi \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}, \ t \ mapsto \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ varphi \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}, \ t \ mapsto \ mathbf {x}}$ , are un singur grad de libertate, iar coordonata generalizată cea mai des utilizată pentru a-i descrie mișcarea este abscisa curbiliniară $q=t$ ${\ displaystyle q = t}$ ${\ displaystyle q = t}$ , aceasta este variabila care parametrează curba. Mișcarea în trei dimensiuni a fost redusă la o singură dimensiune.

În mod similar, un corp constrâns la o suprafață , chiar dacă mișcarea sa este încă blocată la cele trei dimensiuni, are două grade de libertate, astfel încât o alegere convenabilă de coordonate poate fi $\{x,y,z\}=\{\theta ,A\}$ ${\ displaystyle \ {x, y, z \} = \ {\ theta, A \}}$ ${\ displaystyle \ {x, y, z \} = \ {\ theta, A \}}$ , unde este $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt, respectiv, unghiul și suprafața măturate de vectorul de poziție. Dacă suprafața este o sferă, o bună alegere a coordonatelor este $\{r_{1},r_{2}\}=\{\theta ,\phi \}$ ${\ displaystyle \ {r_ {1}, r_ {2} \} = \ {\ theta, \ phi \}}$ ${\ displaystyle \ {r_ {1}, r_ {2} \} = \ {\ theta, \ phi \}}$ , unde este $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ sunt coordonatele unghiulare care provin din coordonatele sferice ; de asemenea, coordonata $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ a fost suprimată deoarece o particulă care se mișcă pe o sferă se află la o distanță constantă de centrul sferei.

Un pendul dublu forțat să se deplaseze pe un plan poate fi descris, într-un sistem de axe cartesiene $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ , cu axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ vertical descendent, din patru coordonate carteziene $\{x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {1}, y_ {1}, x_ {2}, y_ {2} \}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {1}, y_ {1}, x_ {2}, y_ {2} \}}$ , dar sistemul are doar două grade de libertate , iar un sistem mai eficient ar fi să considerăm unghiul pe care fiecare pendul îl face cu verticala ca variabile generalizate. Prin plasare $\{r_{1},r_{2}\}=\{\theta _{1},\theta _{2}\}$ ${\ displaystyle \ {r_ {1}, r_ {2} \} = \ {\ theta _ {1}, \ theta _ {2} \}}$ ${\ displaystyle \ {r_ {1}, r_ {2} \} = \ {\ theta _ {1}, \ theta _ {2} \}}$ obținem următoarele relații:

\{x_{1},y_{1}\}=\{l_{1}\sin \theta _{1},l_{1}\cos \theta _{1}\}

{\ displaystyle \ {x_ {1}, y_ {1} \} = \ {l_ {1} \ sin \ theta _ {1}, l_ {1} \ cos \ theta _ {1} \}}

{\ displaystyle \ {x_ {1}, y_ {1} \} = \ {l_ {1} \ sin \ theta _ {1}, l_ {1} \ cos \ theta _ {1} \}}

\{x_{2},y_{2}\}=\{l_{1}\sin \theta _{1}+l_{2}\sin \theta _{2},l_{1}\cos \theta _{1}+l_{2}\cos \theta _{2}\}

{\ displaystyle \ {x_ {2}, y_ {2} \} = \ {l_ {1} \ sin \ theta _ {1} + l_ {2} \ sin \ theta _ {2}, l_ {1} \ cos \ theta _ {1} + l_ {2} \ cos \ theta _ {2} \}}

{\ displaystyle \ {x_ {2}, y_ {2} \} = \ {l_ {1} \ sin \ theta _ {1} + l_ {2} \ sin \ theta _ {2}, l_ {1} \ cos \ theta _ {1} + l_ {2} \ cos \ theta _ {2} \}}

unde este $l_{1}$ ${\ displaystyle l_ {1}}$ ${\ displaystyle l_ {1}}$ este lungimea pendulului constrânsă la originea e $l_{2}$ ${\ displaystyle l_ {2}}$ $l_ {2}$ este lungimea pendulului constrânsă la capătul liber al celuilalt.

Coordonate generalizate și spațiu de fază

Același subiect în detaliu: spațiul de fază .

Deoarece spațiul de configurare are o dimensiune egală cu numărul de grade de libertate a sistemului, numai poziția fiecărui punct poate fi descrisă în cadrul acestuia. Pentru a descrie mișcarea fiecărui punct, care este echivalent cu definirea stării sistemului, este necesar să adăugați câte variabile există coordonate generalizate, astfel încât spațiul de fază să fie de două ori mai mare decât spațiul de configurare. Cu toate acestea, nu există o modalitate unică de a defini generatoarele de spațiu de fază.

Fiecarei coordonate generalizate $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ se asociază o viteză generalizată ${\dot {q}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ dot q} _ {i}$ definit astfel:

{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial q_{i}}{\partial t}}.

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {\ partial q_ {i}} {\ partial t}}.}

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {\ partial q_ {i}} {\ partial t}}.}

În ipoteza că coordonatele sunt liniar independente una de cealaltă, ele depind doar de timp:

{\dot {q}}_{i}={\frac {dq_{i}}{dt}},

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {dq_ {i}} {dt}},}

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {dq_ {i}} {dt}},}

în cele din urmă se definește pe sine ${\dot {\mathbf {q} }}=({\dot {q}}_{i})_{i=1,\dots ,n}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = ({\ dot {q}} _ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = ({\ dot {q}} _ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ . Funcția este definită Lagrangian :

{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} )=T({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} )-U(\mathbf {q} ),

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}) -U (\ mathbf {q}),}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}) -U (\ mathbf {q}),}

unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este energia cinetică e $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este energia potențială. Momentul conjugat cu coordonata $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ este definit ca:

p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}.}

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}.}

De asemenea, se definește pe sine $\mathbf {p} =(p_{i})_{i=1,\dots ,n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = (p_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = (p_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ . Conform formulării lagrangiene a mecanicii raționale, perechea de coordonate lagrangiene este utilizată ca generatoare ale spațiului de fază $(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}})}$ , în timp ce conform formulării hamiltoniene , se folosește perechea de coordonate hamiltoniene $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ .

Viteza și accelerația generalizate

Un sistem de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ particule din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ dimensiuni , deci cu cel mult $N\times D$ ${\ displaystyle N \ times D}$ ${\ displaystyle N \ times D}$ grade de libertate. L ' $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -a particula are coordonata a-a $(X_{nd})$ ${\ displaystyle (X_ {nd})}$ ${\ displaystyle (X_ {nd})}$ , și, prin urmare, pozițiile sistemului pot fi reprezentate cu matricea ${\underline {\underline {X}}}\in \mathbb {R} ^{N\times D}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ underline {X}}} \ in \ mathbb {R} ^ {N \ times D}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ underline {X}}} \ in \ mathbb {R} ^ {N \ times D}}$ . Puteți trece la un sistem de referință format din $N\times D$ ${\ displaystyle N \ times D}$ ${\ displaystyle N \ times D}$ coordonate generalizate dacă există $D+1$ ${\ displaystyle D + 1}$ ${\ displaystyle D + 1}$ ecuații de transformare între $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ Coordonatele carteziene și generalizate:

x_{d}=x_{d}\left(q_{n},t\right).

{\ displaystyle x_ {d} = x_ {d} \ left (q_ {n}, t \ right).}

{\ displaystyle x_ {d} = x_ {d} \ left (q_ {n}, t \ right).}

Folosind relația văzută mai sus, aceste ecuații pot fi derivate în raport cu timpul, obținând viteze :

{\dot {x}}_{d}={\frac {d}{dt}}x_{d}={\frac {\partial x_{d}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{ND}{\frac {\partial x_{d}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial x_{d}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{ND}{\frac {\partial x_{d}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}

{\ displaystyle {\ dot {x}} _ {d} = {\ frac {d} {dt}} x_ {d} = {\ frac {\ partial x_ {d}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {ND} {\ frac {\ partial x_ {d}} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ partial q_ {i}} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial x_ {d}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {ND} {\ frac {\ partial x_ {d}} {\ partial q_ {i}}} {\ punct {q}} _ {i}}

{\ displaystyle {\ dot {x}} _ {d} = {\ frac {d} {dt}} x_ {d} = {\ frac {\ partial x_ {d}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {ND} {\ frac {\ partial x_ {d}} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ partial q_ {i}} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial x_ {d}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {ND} {\ frac {\ partial x_ {d}} {\ partial q_ {i}}} {\ punct {q}} _ {i}}

și deci vectorul $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ -viteza dimensională este dată de:

{\dot {\mathbf {x} }}_{(\mathbf {q} )}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}+\nabla \mathbf {x} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}.

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {(\ mathbf {q})} = {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t}} + \ nabla \ mathbf {x } \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}}.}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {(\ mathbf {q})} = {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t}} + \ nabla \ mathbf {x } \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}}.}

În mod similar, aplicând din nou regula lanțului, este posibil să se deriveze accelerațiile:

{\ddot {x}}_{d}={\frac {d}{dt}}{\dot {x}}_{d}={\frac {\partial ^{2}x_{d}}{\partial t^{2}}}+\sum _{i=1}^{ND}\left[{\frac {\partial x_{d}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial ^{2}q_{i}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}x_{d}}{\partial q_{i}^{2}}}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial t}}\right)^{2}\right]={\frac {\partial ^{2}x_{d}}{\partial t^{2}}}+\sum _{i=1}^{ND}\left({\frac {\partial x_{d}}{\partial q_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial ^{2}x_{d}}{\partial q_{i}^{2}}}{\dot {q}}_{i}^{2}\right).

{\ displaystyle {\ ddot {x}} _ {d} = {\ frac {d} {dt}} {\ dot {x}} _ {d} = {\ frac {\ partial ^ {2} x_ {d }} {\ partial t ^ {2}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {ND} \ left [{\ frac {\ partial x_ {d}} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ partial ^ {2} q_ {i}} {\ partial t ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} x_ {d}} {\ partial q_ {i} ^ {2} }} \ left ({\ frac {\ partial q_ {i}} {\ partial t}} \ right) ^ {2} \ right] = {\ frac {\ partial ^ {2} x_ {d}} {\ partial t ^ {2}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {ND} \ left ({\ frac {\ partial x_ {d}} {\ partial q_ {i}}} {\ ddot {q} } _ {i} + {\ frac {\ partial ^ {2} x_ {d}} {\ partial q_ {i} ^ {2}}} {\ dot {q}} _ {i} ^ {2} \ dreapta).}

{\ displaystyle {\ ddot {x}} _ {d} = {\ frac {d} {dt}} {\ dot {x}} _ {d} = {\ frac {\ partial ^ {2} x_ {d }} {\ partial t ^ {2}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {ND} \ left [{\ frac {\ partial x_ {d}} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ partial ^ {2} q_ {i}} {\ partial t ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} x_ {d}} {\ partial q_ {i} ^ {2} }} \ left ({\ frac {\ partial q_ {i}} {\ partial t}} \ right) ^ {2} \ right] = {\ frac {\ partial ^ {2} x_ {d}} {\ partial t ^ {2}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {ND} \ left ({\ frac {\ partial x_ {d}} {\ partial q_ {i}}} {\ ddot {q} } _ {i} + {\ frac {\ partial ^ {2} x_ {d}} {\ partial q_ {i} ^ {2}}} {\ dot {q}} _ {i} ^ {2} \ dreapta).}

Prin urmare, transportatorul $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ -accelerația dimensională este egală cu:

{\ddot {\mathbf {x} }}_{(\mathbf {q} )}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {x} }{\partial t^{2}}}+\nabla \mathbf {x} \cdot {\ddot {\mathbf {q} }}+{\overline {\nabla }}^{2}\mathbf {x} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}^{2}.

{\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {x}}} _ {(\ mathbf {q})} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {x}} {\ partial t ^ {2}} } + \ nabla \ mathbf {x} \ cdot {\ ddot {\ mathbf {q}}} + {\ overline {\ nabla}} ^ {2} \ mathbf {x} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q }}} ^ {2}.}

{\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {x}}} _ {(\ mathbf {q})} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {x}} {\ partial t ^ {2}} } + \ nabla \ mathbf {x} \ cdot {\ ddot {\ mathbf {q}}} + {\ overline {\ nabla}} ^ {2} \ mathbf {x} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q }}} ^ {2}.}

Energia cinetică în coordonate generalizate

Energia cinetică a $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ particulele sunt date în mecanica newtoniană $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ -dimensionale precum:

T\colon \mathbb {R} ^{N\times D}\to \mathbb {R}

{\ displaystyle T \ colon \ mathbb {R} ^ {N \ times D} \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle T \ colon \ mathbb {R} ^ {N \ times D} \ to \ mathbb {R}}

T_{(\mathbf {x} )}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}({\dot {\mathbf {x} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {x} }}_{k}).

{\ displaystyle T _ {(\ mathbf {x})} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} ({\ dot {\ mathbf {x }}} _ {k} \ cdot {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {k}).}

{\ displaystyle T _ {(\ mathbf {x})} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} ({\ dot {\ mathbf {x }}} _ {k} \ cdot {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {k}).}

Exprimând $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ Vectorii de poziție newtonieni $\mathbf {x} _{(\mathbf {q} )}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {(\ mathbf {q})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {(\ mathbf {q})}}$ , de particule în raport cu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ Axele carteziene, în funcție de $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ coordonate generalizate $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ :

T_{(\mathbf {q} )}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left({\frac {\partial \mathbb {x} _{k}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{I}{\frac {\partial \mathbf {x} _{k}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {x} _{k}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{I}{\frac {\partial \mathbf {x} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right).

{\ displaystyle T _ {(\ mathbf {q})} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbb {x} _ {k}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {I} {\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial q_ { i}}} {\ dot {q}} _ {i} \ right) \ cdot \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial t}} + \ sum _ { j = 1} ^ {I} {\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} \ right).}

{\ displaystyle T _ {(\ mathbf {q})} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbb {x} _ {k}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {I} {\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial q_ { i}}} {\ dot {q}} _ {i} \ right) \ cdot \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial t}} + \ sum _ { j = 1} ^ {I} {\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} \ right).}

Derularea și colectarea la viteze generalizate ${\dot {q}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ dot q} _ {i}$ :

T_{(\mathbf {q} )}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{m_{k}}\left({\frac {\partial \mathbf {x} _{k}}{\partial t}}\right)^{2}+\sum _{i=1}^{I}\sum _{k=1}^{N}{m_{k}}{\frac {(\partial \mathbf {x} _{k})^{2}}{\partial t\,\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{I}\sum _{k=1}^{N}{m_{k}}{\frac {(\partial \mathbf {x} _{n})^{2}}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}.

{\ displaystyle T _ {(\ mathbf {q})} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {m_ {k}} \ left ({\ frac { \ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial t}} \ right) ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {I} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {m_ {k}} {\ frac {(\ partial \ mathbf {x} _ {k}) ^ {2}} {\ partial t \, \ partial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i, j = 1} ^ {I} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {m_ {k}} {\ frac { (\ partial \ mathbf {x} _ {n}) ^ {2}} {\ partial q_ {i} \ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {i} {\ dot {q} } _ {j}.}

{\ displaystyle T _ {(\ mathbf {q})} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {m_ {k}} \ left ({\ frac { \ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial t}} \ right) ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {I} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {m_ {k}} {\ frac {(\ partial \ mathbf {x} _ {k}) ^ {2}} {\ partial t \, \ partial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i, j = 1} ^ {I} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {m_ {k}} {\ frac { (\ partial \ mathbf {x} _ {n}) ^ {2}} {\ partial q_ {i} \ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {i} {\ dot {q} } _ {j}.}

De sine

T_{({\bar {0}})}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{m_{k}}\left({\frac {\partial \mathbf {x} _{k}}{\partial t}}\right)^{2};

{\ displaystyle T _ {({\ bar {0}})} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {m_ {k}} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial t}} \ right) ^ {2};}

{\ displaystyle T _ {({\ bar {0}})} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {m_ {k}} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial t}} \ right) ^ {2};}

\nabla _{i}T_{({\bar {0}})}={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {x} _{k}{\frac {\partial \mathbf {x} _{k}}{\partial t}}=\sum _{k=1}^{N}{m_{k}}{\frac {(\partial \mathbf {x} _{k})^{2}}{\partial q_{i}\partial t}},\,

{\ displaystyle \ nabla _ {i} T _ {({\ bar {0}})} = {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} \ sum _ {k = 1} ^ {N } m_ {k} \ mathbf {x} _ {k} {\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial t}} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} { m_ {k}} {\ frac {(\ partial \ mathbf {x} _ {k}) ^ {2}} {\ partial q_ {i} \ partial t}}, \,}

{\ displaystyle \ nabla _ {i} T _ {({\ bar {0}})} = {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} \ sum _ {k = 1} ^ {N } m_ {k} \ mathbf {x} _ {k} {\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial t}} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} { m_ {k}} {\ frac {(\ partial \ mathbf {x} _ {k}) ^ {2}} {\ partial q_ {i} \ partial t}}, \,}

pentru sistemele clasice în care masa nu depinde de coordonatele generalizate:

\nabla m_{k}={\bar {0}},

{\ displaystyle \ nabla m_ {k} = {\ bar {0}},}

{\ displaystyle \ nabla m_ {k} = {\ bar {0}},}

H_{ij}T_{({\bar {0}})}={\frac {{\partial }^{2}}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}(\mathbf {x} _{k})^{2}=\sum _{k=1}^{N}{m_{k}}{\frac {(\partial \mathbf {x} _{k})^{2}}{\partial q_{i}\partial q_{j}}},\,

{\ displaystyle H_ {ij} T _ {({\ bar {0}})} = {\ frac {{\ partial} ^ {2}} {\ partial q_ {i} \ partial q_ {j}}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} (\ mathbf {x} _ {k}) ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} {m_ {k}} { \ frac {(\ partial \ mathbf {x} _ {k}) ^ {2}} {\ partial q_ {i} \ partial q_ {j}}}, \,}

{\ displaystyle H_ {ij} T _ {({\ bar {0}})} = {\ frac {{\ partial} ^ {2}} {\ partial q_ {i} \ partial q_ {j}}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} (\ mathbf {x} _ {k}) ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} {m_ {k}} { \ frac {(\ partial \ mathbf {x} _ {k}) ^ {2}} {\ partial q_ {i} \ partial q_ {j}}}, \,}

pentru sistemele clasice în care masa nu depinde de coordonatele generalizate:

{\underline {\underline {H}}}m_{k}={\bar {0}}.

{\ displaystyle {\ underline {\ underline {H}}} m_ {k} = {\ bar {0}}.}

{\ displaystyle {\ underline {\ underline {H}}} m_ {k} = {\ bar {0}}.}

Deci, rezumând vectorial identitatea scalară:

T_{(\mathbf {q} )}=T_{({\bar {0}})}+\sum _{i=1}^{I}\nabla _{i}T_{({\bar {0}})}{\dot {q}}_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{I}H_{ij}T_{({\bar {0}})}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}.

{\ displaystyle T _ {(\ mathbf {q})} = T _ {({\ bar {0}})} + \ sum _ {i = 1} ^ {I} \ nabla _ {i} T _ { ({\ bar {0}})} {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i, j = 1} ^ {I} H_ {ij} T _ {({\ bar {0}})} {\ dot {q}} _ {i} {\ dot {q}} _ {j}.}

{\ displaystyle T _ {(\ mathbf {q})} = T _ {({\ bar {0}})} + \ sum _ {i = 1} ^ {I} \ nabla _ {i} T _ { ({\ bar {0}})} {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i, j = 1} ^ {I} H_ {ij} T _ {({\ bar {0}})} {\ dot {q}} _ {i} {\ dot {q}} _ {j}.}

În cele din urmă, obținem:

T_{(\mathbf {q} )}=T_{({\bar {0}})}+\nabla T_{({\bar {0}})}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}\cdot {\underline {\underline {H}}}T_{({\bar {0}})}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}

{\ displaystyle T _ {(\ mathbf {q})} = T _ {({\ bar {0}})} + \ nabla T _ {({\ bar {0}})} \ cdot {\ dot { \ mathbf {q}}} + {\ frac {1} {2}} {\ dot {\ mathbf {q}}} \ cdot {\ underline {\ underline {H}}} T _ {({\ bar { 0}})} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}}}

{\ displaystyle T _ {(\ mathbf {q})} = T _ {({\ bar {0}})} + \ nabla T _ {({\ bar {0}})} \ cdot {\ dot { \ mathbf {q}}} + {\ frac {1} {2}} {\ dot {\ mathbf {q}}} \ cdot {\ underline {\ underline {H}}} T _ {({\ bar { 0}})} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}}}

T\colon \mathbb {R} ^{I}\to \mathbb {R}

{\ displaystyle T \ colon \ mathbb {R} ^ {I} \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle T \ colon \ mathbb {R} ^ {I} \ to \ mathbb {R}}

Energia cinetică în coordonatele generalizate este în concluzie o serie Taylor în variabilele I de ordinul doi în vectorul viteză ${\dot {\mathbf {q} }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$ , pozitiv definit deoarece Hessianul este pozitiv $H_{ij}$ ${\ displaystyle H_ {ij}}$ ${\ displaystyle H_ {ij}}$ care apare acolo. Plus cei doi termeni liniari $\nabla T_{({\bar {0}})}$ ${\ displaystyle \ nabla T _ {({\ bar {0}})}}$ ${\ displaystyle \ nabla T _ {({\ bar {0}})}}$ și constantă $T_{({\bar {0}})}$ ${\ displaystyle T _ {({\ bar {0}})}}$ ${\ displaystyle T _ {({\ bar {0}})}}$ în general, acestea depind de timp: în cazul unui sistem holonomic energia cinetică este redusă la

T|_{\left({\frac {\partial \mathbf {x} _{k}}{\partial t}}=0\right)}={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}\cdot {\underline {\underline {H}}}_{(\mathbf {q} )}T_{({\bar {0}})}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}.

{\ displaystyle T | _ {\ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial t}} = 0 \ right)} = {\ frac {1} {2}} { \ dot {\ mathbf {q}}} \ cdot {\ underline {\ underline {H}}} _ {(\ mathbf {q})} T _ {({\ bar {0}})} \ cdot {\ punct {\ mathbf {q}}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}}.}

{\ displaystyle T | _ {\ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial t}} = 0 \ right)} = {\ frac {1} {2}} { \ dot {\ mathbf {q}}} \ cdot {\ underline {\ underline {H}}} _ {(\ mathbf {q})} T _ {({\ bar {0}})} \ cdot {\ punct {\ mathbf {q}}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}}.}

Este important să ne amintim că coordonatele generalizate cu privire la care se determină energia cinetică au avantajul suplimentar că nu trebuie neapărat să fie inerțiale , spre deosebire de cele carteziene.

Puterea generalizată

Forțele generalizate sunt definite ca număr de $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ cantități scalare , cu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ gradul de libertate al sistemului:

Q_{i}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} _{k}}{\partial q_{i}}},

{\ displaystyle Q_ {i} = {\ frac {\ partial W} {\ partial q_ {i}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot { \ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial q_ {i}}},}

{\ displaystyle Q_ {i} = {\ frac {\ partial W} {\ partial q_ {i}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot { \ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial q_ {i}}},}

unde este $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este opera rezultatului activ $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ acționând asupra sistemului. Prin urmare, în termeni newtonieni pentru variabilele de lungime și unghi, respectiv, forța și cantitățile de moment mecanice luate de-a lungul variabilei, în cazul mai general al unei combinații a celor două.

În cazul constrângerilor bilaterale, acestea permit să ignore reacțiile de constrângere (rezultante $\mathbf {R}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ mathbf R}$ ), de asemenea, pentru sistemele scleronomice : având o deplasare virtuală $\delta x_{k}$ ${\ displaystyle \ delta x_ {k}}$ ${\ displaystyle \ delta x_ {k}}$ , obținută luând în considerare doar deplasările admisibile cu constrângerile considerate ca fiind fixe la momentul de referință, lucrarea virtuală care acționează asupra particulei a n-a a sistemului este:

\delta W_{k}=(\mathbf {F} _{k}+\mathbf {R} _{k})\cdot \mathbf {\delta x} _{k}

{\ displaystyle \ delta W_ {k} = (\ mathbf {F} _ {k} + \ mathbf {R} _ {k}) \ cdot \ mathbf {\ delta x} _ {k}}

{\ displaystyle \ delta W_ {k} = (\ mathbf {F} _ {k} + \ mathbf {R} _ {k}) \ cdot \ mathbf {\ delta x} _ {k}}

Dacă constrângerile sistemului sunt bilaterale, pentru principiul reacțiilor de constrângere, constrângerile virtuale funcționează sunt nule, adică reacțiile sunt ortogonale la deplasările virtuale:

\delta W_{i}=\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {x} _{i}.

{\ displaystyle \ delta W_ {i} = \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ delta \ mathbf {x} _ {i}.}

{\ displaystyle \ delta W_ {i} = \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ delta \ mathbf {x} _ {i}.}

Exprimând $\mathbf {\delta x} _{k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ delta x} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ delta x} _ {k}}$ în funcție de coordonate generalizate $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ , și amintindu-mi asta ${\frac {\partial \mathbf {x} _{k}}{\partial t}}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial t}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial t}} = 0}$ prin definiție a deplasării virtuale:

\delta W_{k}=\sum _{i=1}^{I}\mathbf {F} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} _{k}}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=\sum _{i=1}^{I}F_{k,i}\cdot \delta q_{i}.

{\ displaystyle \ delta W_ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {I} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} { \ partial q_ {i}}} \ delta q_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {I} F_ {k, i} \ cdot \ delta q_ {i}.}

{\ displaystyle \ delta W_ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {I} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} { \ partial q_ {i}}} \ delta q_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {I} F_ {k, i} \ cdot \ delta q_ {i}.}

Lucrarea virtuală asupra particulei supuse constrângerilor bilaterale este în întregime calculabilă prin forțele generalizate care acționează asupra ei. Abordarea lagrangiană este, prin urmare, deosebit de utilă la nivel de inginerie , unde este necesar să se urmărească efortul care ar trebui depus de toate forțele neconstrângătoare dacă sistemul ar suferi o deplasare virtuală. $\delta q_{i}$ ${\ displaystyle \ delta q_ {i}}$ ${\ displaystyle \ delta q_ {i}}$ sau la solicitările externe impuse efectiv de constrângeri.

Pe baza ecuațiilor Lagrange de tip I și sub forma Nielsen , forța generalizată poate fi legată de energia cinetică a sistemului:

Q_{i}={\partial {T} \over \partial {{\dot {q}}_{i}}}-2{\partial {T} \over \partial q_{i}},

{\ displaystyle Q_ {i} = {\ partial {T} \ over \ partial {{\ dot {q}} _ {i}}} - 2 {\ partial {T} \ over \ partial q_ {i}}, }

{\ displaystyle Q_ {i} = {\ partial {T} \ over \ partial {{\ dot {q}} _ {i}}} - 2 {\ partial {T} \ over \ partial q_ {i}}, }

Puterea generalizată diferă în general pentru al doilea termen $-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {i}}}}$ $- {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {i}}}$ din derivata temporală a impulsului ${\dot {P}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ dot {P}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ dot {P}} _ {i}}$ , la care am ajunge eronat inducând o generalizare dintr-o definiție a forței bazată pe al doilea principiu al dinamicii , valabil doar pentru dinamica newtoniană.

Moment generalizat și moment conjugat

Momentul generalizat este definit ca o mărime corespunzătoare impulsului newtonian:

P_{i}=\sum _{k=1}^{N}p_{k}{\frac {\partial \mathbf {x} _{k}}{\partial q_{i}}}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\dot {\mathbb {x} }}_{k}{\frac {\partial {\dot {\mathbb {x} }}_{n}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}{\dot {\mathbf {x} }}_{k}^{2}}.

{\ displaystyle P_ {i} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} p_ {k} {\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial q_ {i}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} {\ dot {\ mathbb {x}}} _ {k} {\ frac {\ partial {\ dot {\ mathbb {x}}} _ { n}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {1} {2}} m_ {k} {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {k} ^ {2}}.}

{\ displaystyle P_ {i} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} p_ {k} {\ frac {\ partial \ mathbf {x} _ {k}} {\ partial q_ {i}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} {\ dot {\ mathbb {x}}} _ {k} {\ frac {\ partial {\ dot {\ mathbb {x}}} _ { n}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {1} {2}} m_ {k} {\ dot {\ mathbf {x}}} _ {k} ^ {2}}.}

Se pare ca:

P_{i}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{j=1}^{I}H_{ij}T_{({\bar {0}})}{\dot {q}}_{j}+\nabla _{i}T_{({\bar {0}})}.

{\ displaystyle P_ {i} = {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = \ sum _ {j = 1} ^ {I} H_ {ij} T_ {({\ bar {0}})} {\ dot {q}} _ {j} + \ nabla _ {i} T _ {({\ bar {0}})}.}

{\ displaystyle P_ {i} = {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = \ sum _ {j = 1} ^ {I} H_ {ij} T_ {({\ bar {0}})} {\ dot {q}} _ {j} + \ nabla _ {i} T _ {({\ bar {0}})}.}

Această din urmă echivalență poate fi dovedită folosind dovada ecuațiilor Lagrange . Prin urmare, impulsul generalizat deține:

\mathbf {P} _{(\mathbf {q} )}={\underline {\underline {H}}}\,T_{({\bar {0}})}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+\nabla T_{({\bar {0}})}.

{\ displaystyle \ mathbf {P} _ {(\ mathbf {q})} = {\ underline {\ underline {H}}} \, T _ {({\ bar {0}})} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} + \ nabla T _ {({\ bar {0}})}.}

{\ displaystyle \ mathbf {P} _ {(\ mathbf {q})} = {\ underline {\ underline {H}}} \, T _ {({\ bar {0}})} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}} + \ nabla T _ {({\ bar {0}})}.}

Este o formă liniară de energie cinetică la viteze generalizate. Pentru un sistem holonomic, în special, rezultă:

\mathbf {P} _{(\mathbf {q} )}={\underline {\underline {H}}}\,T_{({\bar {0}})}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}.

{\ displaystyle \ mathbf {P} _ {(\ mathbf {q})} = {\ underline {\ underline {H}}} \, T _ {({\ bar {0}})} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}}.}

{\ displaystyle \ mathbf {P} _ {(\ mathbf {q})} = {\ underline {\ underline {H}}} \, T _ {({\ bar {0}})} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}}.}

Trebuie avut grijă în legarea impulsului generalizat și a forțelor generalizate, deoarece impulsul Lagrangian se bazează pe ecuațiile Lagrange de tip I:

P_{i}=\int F_{i}-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}dt=p_{i}-\int {\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}dt

{\ displaystyle P_ {i} = \ int F_ {i} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {i}}} dt = p_ {i} - \ int {\ frac {\ partial T} { \ partial q_ {i}}} dt}

{\ displaystyle P_ {i} = \ int F_ {i} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {i}}} dt = p_ {i} - \ int {\ frac {\ partial T} { \ partial q_ {i}}} dt}

și, prin urmare, diferă de la momentul conjugat (la coordonata poziției $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ ) $p_{i}=\int F_{i}dt$ ${\ displaystyle p_ {i} = \ int F_ {i} dt}$ ${\ displaystyle p_ {i} = \ int F_ {i} dt}$ pentru al doilea termen $-\int {\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}dt$ ${\ displaystyle - \ int {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {i}}} dt}$ ${\ displaystyle - \ int {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {i}}} dt}$ , la care am ajunge să încercăm să generalizăm definiția newtoniană a forței ca derivată temporală totală a impulsului, adică a doua lege a dinamicii .

În mod clar în coordonatele carteziene , impulsul generalizat revine la impulsul simplu, în timp ce în coordonatele sferice devine impulsul unghiular . Cu toate acestea, în general, nu este întotdeauna posibil să se dea o interpretare intuitivă.

Bibliografie

Wells, DA, Schaum's Outline of Lagrangian Dynamics ; McGraw-Hill, Inc. New York, 1967.

Elemente conexe

linkuri externe

Pendul dublu (plugin Java) , pe physics.northwestern.edu (arhivat din original la 14 februarie 2007) .

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică