Coordonatele euleriană și lagrangiană

În mecanica continuumului , mai precis în dinamica fluidelor , pot fi utilizate două tipuri de coordonate sau două sisteme de referință pentru a descrie mișcarea unui fluid. Nu este corect să afirmăm, în sens absolut, că una dintre cele două descrieri ale mișcării este mai bună decât cealaltă; în schimb, este corect să observăm că fiecare poate fi mai eficient într-un context decât în altul. Descrierea euleriană este mai utilă pentru descrierea câmpului de mișcare ( ecuațiile Navier-Stokes sunt de obicei exprimate în acest cadru de referință), în schimb referința Lagrangiană poate ajuta la scrierea ecuațiilor de echilibru a forței pe o singură particulă (cum ar fi Maxey și Riley ecuație ).

Punct de vedere eulerian

Acest tip de specificație de mișcare folosește conceptul matematic de câmp , în sensul că proprietățile fluxului (viteza, densitatea, presiunea) sunt definite ca funcții ale spațiului - adică ale vectorului de poziție ${\textbf {x}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}}}$ ${\ textbf {x}}$ - si timpul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . De exemplu. viteza fluidului va fi exprimată ca $\langle {\bar {v}}\rangle =\langle {\bar {v}}\rangle ({\textbf {x}},t)$ ${\ displaystyle \ langle {\ bar {v}} \ rangle = \ langle {\ bar {v}} \ rangle ({\ textbf {x}}, t)}$ $\ langle {\ bar v} \ rangle = \ langle {\ bar v} \ rangle ({\ textbf {x}}, t)$ . Observatorul este parte integrantă a unei referințe fixe sau inerțiale și „fotografiază” câmpul de viteză (sau densitate sau presiune ...) în fiecare moment în timp, fără a avea informații referitoare la mișcarea particulelor de fluid unice.

Punct de vedere lagrangian

Specificația mișcării lagrangiene concentrează atenția nu asupra unui anumit volum de control, ci asupra particulelor de fluid unice. Proprietățile fluxului vor fi, prin urmare, funcții ale elementului fluid particular, precum și ale timpului $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Alegerea identificării particulelor de fluid după vectorul de poziție ${\textbf {x}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}} _ {0}}$ ${\ textbf {x}} _ {0}$ a centrului său de masă în momentul inițial $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , viteza sa instantaneu $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ va fi exprimabil ca $\langle {\bar {v}}\rangle =\langle {\bar {v}}\rangle ({\textbf {x}}_{0},t)$ ${\ displaystyle \ langle {\ bar {v}} \ rangle = \ langle {\ bar {v}} \ rangle ({\ textbf {x}} _ {0}, t)}$ $\ langle {\ bar v} \ rangle = \ langle {\ bar v} \ rangle ({\ textbf {x}} _ {0}, t)$ .

Legătură

Același subiect în detaliu: derivat lagrangian .

Relația dintre derivații Lagrangian și Eulerian este:

{\frac {Df}{Dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\langle \mathbf {v} \rangle \cdot \nabla f

{\ displaystyle {\ frac {Df} {Dt}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + \ langle \ mathbf {v} \ rangle \ cdot \ nabla f}

{\ frac {Df} {Dt}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + \ langle {\ mathbf v} \ rangle \ cdot \ nabla f

unde <v> este viteza macroscopică , derivata parțială a timpului $\partial f/\partial t$ ${\ displaystyle \ partial f / \ partial t}$ $\ partial f / \ partial t$ este numit derivatul eulerian , $\nabla f$ ${\ displaystyle \ nabla f}$ $\ nabla f$ este gradientul funcției, $\langle \mathbf {v} \rangle \cdot \nabla f$ ${\ displaystyle \ langle \ mathbf {v} \ rangle \ cdot \ nabla f}$ $\ langle {\ mathbf v} \ rangle \ cdot \ nabla f$ se numește derivat adjectiv .

Prin urmare, de exemplu, în cazul descrierii lagrangiene a mișcării, accelerația macroscopică a unei particule de fluid date este pur și simplu:

{\textbf {a}}={\frac {\partial \langle {\bar {v}}\rangle ({\textbf {x}}_{0},t)}{\partial t}}={\frac {\operatorname {d} \langle {\bar {v}}\rangle ({\textbf {x}}_{0},t)}{\operatorname {d} t}}\ \ .

{\ displaystyle {\ textbf {a}} = {\ frac {\ partial \ langle {\ bar {v}} \ rangle ({\ textbf {x}} _ {0}, t)} {\ partial t}} = {\ frac {\ operatorname {d} \ langle {\ bar {v}} \ rangle ({\ textbf {x}} _ {0}, t)} {\ operatorname {d} t}} \ \.}

{\ textbf {a}} = {\ frac {\ partial \ langle {\ bar v} \ rangle ({\ textbf {x}} _ {0}, t)} {\ partial t}} = {\ frac { \ operatorname d \ langle {\ bar v} \ rangle ({\ textbf {x}} _ {0}, t)} {\ operatorname dt}} \ \.

Pe de altă parte, într-o descriere euleriană derivatul (parțial) în raport cu (derivatul eulerian) al $\langle {\bar {v}}\rangle ({\textbf {x}},t)$ ${\ displaystyle \ langle {\ bar {v}} \ rangle ({\ textbf {x}}, t)}$ $\ langle {\ bar v} \ rangle ({\ textbf {x}}, t)$ nu indică accelerația particulei de fluid, ci variația pe unitate de timp a vectorului vitezei la un punct fix din spațiu. În schimb, accelerația poate fi exprimată ca:

{\textbf {a}}={\frac {D\langle {\bar {v}}\rangle ({\textbf {x}},t)}{Dt}}={\frac {\partial \langle {\bar {v}}\rangle }{\partial t}}+\langle v_{x}\rangle {\frac {\partial \langle {\bar {v}}\rangle }{\partial x}}+\langle v_{y}\rangle {\frac {\partial \langle {\bar {v}}\rangle }{\partial y}}+\langle v_{z}\rangle {\frac {\partial \langle {\bar {v}}\rangle }{\partial z}}={\frac {\partial \langle {\bar {v}}\rangle }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla (\langle v\rangle ^{2})\ .

{\ displaystyle {\ textbf {a}} = {\ frac {D \ langle {\ bar {v}} \ rangle ({\ textbf {x}}, t)} {Dt}} = {\ frac {\ partial \ langle {\ bar {v}} \ rangle} {\ partial t}} + \ langle v_ {x} \ rangle {\ frac {\ partial \ langle {\ bar {v}} \ rangle} {\ partial x} } + \ langle v_ {y} \ rangle {\ frac {\ partial \ langle {\ bar {v}} \ rangle} {\ partial y}} + \ langle v_ {z} \ rangle {\ frac {\ partial \ langle {\ bar {v}} \ rangle} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial \ langle {\ bar {v}} \ rangle} {\ partial t}} + {\ frac {1} { 2}} \ nabla (\ langle v \ rangle ^ {2}) \.}

{\ displaystyle {\ textbf {a}} = {\ frac {D \ langle {\ bar {v}} \ rangle ({\ textbf {x}}, t)} {Dt}} = {\ frac {\ partial \ langle {\ bar {v}} \ rangle} {\ partial t}} + \ langle v_ {x} \ rangle {\ frac {\ partial \ langle {\ bar {v}} \ rangle} {\ partial x} } + \ langle v_ {y} \ rangle {\ frac {\ partial \ langle {\ bar {v}} \ rangle} {\ partial y}} + \ langle v_ {z} \ rangle {\ frac {\ partial \ langle {\ bar {v}} \ rangle} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial \ langle {\ bar {v}} \ rangle} {\ partial t}} + {\ frac {1} { 2}} \ nabla (\ langle v \ rangle ^ {2}) \.}

Bibliografie

Tritton DJ (1988), Physical Fluid Dynamics (ediția a doua) , Oxfor Science Publications.
Maxey MR & Riley JJ (1983) Ecuația mișcării unei particule sferice mici într-un flux neuniform , Phys. Fluide, 26 (4), 883-889.
Ruetsch GR & Meiburg E. (1993) Despre mișcarea unor bule sferice mici în fluxuri vortice bidimensionale , Phys. Fluide, 5 (10), 2326-2341.
Andreussi P. & Soldati A. (2000), Dinamica fluidelor de proces - Elemente de teorie și exerciții , Ediții ETS
Batchelor GK (1967), An Introduction to Fluid Dynamics , Cambridge University Press.

Elemente conexe

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică