Advecție

În fizică , în special în studiul fenomenelor de transport , termenul advecție identifică transportul unei mărimi fizice sau a unei proprietăți de către un fluid datorită mișcării sale generale. Fiecare cantitate stocată și extinsă poate fi transportată de un fluid capabil să o conțină. Mișcarea fluidului este de obicei descrisă matematic de un câmp vector , cum ar fi un câmp de viteză , în timp ce cantitatea transportată cu un câmp scalar care arată distribuția sa în spațiu.

Termenul advecție indică mișcarea fluxului material cauzat de viteza fluidului, în timp ce termenul convecție se aplică mișcării fluidelor, adesea datorită gradientului de densitate generat de gradientul de temperatură . Aceste definiții provoacă o oarecare confuzie, cu toate acestea este corect din punct de vedere tehnic să credem că impulsul este „rotit” din câmpul de viteză în ecuațiile Navier-Stokes , cu toate acestea mișcarea rezultată va fi considerată convecție. ^[1] ^[2] Alternativ, se spune că efectul termenilor independenți de timp ai ecuației de transport este „advecție” pentru cazul scalar și „convecție” pentru cazul vector. ^{[ fără sursă ]}

Descrierea matematică

Advecția este descrisă matematic prin ecuația de advecție, o ecuație diferențială parțială hiperbolică care caracterizează mișcarea unei mărimi scalare conservate care este transportată de un câmp vector cunoscut.

Operator de avecție

În coordonatele carteziene, operatorul de advecție este dat de:

\mathbf {u} \cdot \nabla =u_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla = u_ {x} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + u_ {y} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} + u_ {z} {\ frac {\ partial} {\ partial z}}}

{\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla = u_ {x} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + u_ {y} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} + u_ { z} {\ frac {\ partial} {\ partial z}}

unde este $\mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {x}, u_ {y}, u_ {z})}$ ${\ mathbf {u}} = (u_ {x}, u_ {y}, u_ {z})$ este câmpul vectorului de viteză e $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ este operatorul nabla .

Operatorul de avecție și ecuația de continuitate

Ecuația de advecție pentru o cantitate conservată descrisă de câmpul scalar $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este exprimat prin ecuația de continuitate :

{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\psi {\mathbf {u} }\right)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ left (\ psi {\ mathbf {u}} \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ left (\ psi {\ mathbf {u}} \ right) = 0}

unde este $\nabla \cdot$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot}$ $\ nabla \ cdot$ este divergența . Se presupune adesea că fluidul este incompresibil, adică câmpul de viteză satisface:

\nabla \cdot {\mathbf {u} }=0

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ mathbf {u}} = 0}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ mathbf {u}} = 0}

și se numește apoi câmp vector solenoidal . În acest caz, ecuația anterioară poate fi scrisă ca:

{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + {\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla \ psi = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + {\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla \ psi = 0}

și dacă debitul este staționar:

{\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0

{\ displaystyle {\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla \ psi = 0}

{\ displaystyle {\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla \ psi = 0}

arătând că $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este constant de-a lungul liniilor de curgere : de fapt $\partial \psi /\partial t=0$ ${\ displaystyle \ partial \ psi / \ partial t = 0}$ $\ partial \ psi / \ partial t = 0$ , adică $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ nu variază în timp.

Dacă în locul unui câmp scalar considerăm o mărime vectorială $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ care suferă advecție printr-un câmp solenoid $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ , atunci ecuația de advecție devine:

{\frac {\partial {\mathbf {a} }}{\partial t}}+\left({\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {a} }=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathbf {a}}} {\ partial t}} + \ left ({\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla \ right) {\ mathbf {a}} = 0 }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathbf {a}}} {\ partial t}} + \ left ({\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla \ right) {\ mathbf {a}} = 0 }

Soluţie

Ecuația de advecție nu este ușor de rezolvat cu metode de analiză numerică , în principal datorită discontinuităților prezente în soluții. În cel mai simplu caz, în care considerăm un spațiu într-o dimensiune și un câmp de viteză constantă, ecuația ia forma:

{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + u_ {x} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} = 0}

{\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + u_ {x} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} = 0

unde este $\psi =\psi (x,t)$ ${\ displaystyle \ psi = \ psi (x, t)}$ $\ psi = \ psi (x, t)$ este câmpul transportat e $u_{x}$ ${\ displaystyle u_ {x}}$ $u_ {x}$ este o componentă a $\mathbf {u} =(u_{x},0,0)$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {x}, 0,0)}$ ${\ mathbf u} = (u_ {x}, 0,0)$ .

Dacă utilizați forma antisimetrică a operatorului de advecție:

{\frac {1}{2}}{\mathbf {u} }\cdot \nabla {\mathbf {u} }+{\frac {1}{2}}\nabla ({\mathbf {u} }{\mathbf {u} })

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla {\ mathbf {u}} + {\ frac {1} {2}} \ nabla ({\ mathbf {u }} {\ mathbf {u}})}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla {\ mathbf {u}} + {\ frac {1} {2}} \ nabla ({\ mathbf {u }} {\ mathbf {u}})}

unde este:

\nabla ({\mathbf {u} }{\mathbf {u} })=[\nabla ({\mathbf {u} }u_{x}),\nabla ({\mathbf {u} }u_{y}),\nabla ({\mathbf {u} }u_{z})]

{\ displaystyle \ nabla ({\ mathbf {u}} {\ mathbf {u}}) = [\ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {x}), \ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {y}), \ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {z})]}

{\ displaystyle \ nabla ({\ mathbf {u}} {\ mathbf {u}}) = [\ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {x}), \ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {y}), \ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {z})]}

este posibilă facilitarea aplicării simulărilor numerice. ^[3] Folosind identitățile calculului vectorial, în plus, se arată că versiunea antisimetrică poate fi scrisă în diferite moduri:

\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nabla \left({\frac {\|\mathbf {u} \|^{2}}{2}}\right)+\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u}

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} = \ nabla \ left ({\ frac {\ | \ mathbf {u} \ | ^ {2}} {2}} \ right) + \ left (\ nabla \ times \ mathbf {u} \ right) \ times \ mathbf {u}}

{\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla {\ mathbf {u}} = \ nabla \ left ({\ frac {\ | {\ mathbf {u}} \ | ^ {2}} {2}} \ right ) + \ left (\ nabla \ times {\ mathbf {u}} \ right) \ times {\ mathbf {u}}

{\frac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\nabla (\mathbf {u} \mathbf {u} )=\nabla \left({\frac {\|\mathbf {u} \|^{2}}{2}}\right)+\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\mathbf {u} (\nabla \cdot \mathbf {u} )

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} + {\ frac {1} {2}} \ nabla (\ mathbf {u} \ mathbf {u }) = \ nabla \ left ({\ frac {\ | \ mathbf {u} \ | ^ {2}} {2}} \ right) + \ left (\ nabla \ times \ mathbf {u} \ right) \ times \ mathbf {u} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {u} (\ nabla \ cdot \ mathbf {u})}

{\ frac {1} {2}} {\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla {\ mathbf {u}} + {\ frac {1} {2}} \ nabla ({\ mathbf {u}} { \ mathbf {u}}) = \ nabla \ left ({\ frac {\ | {\ mathbf {u}} \ | ^ {2}} {2}} \ right) + \ left (\ nabla \ times {\ mathbf {u}} \ right) \ times {\ mathbf {u}} + {\ frac {1} {2}} {\ mathbf {u}} (\ nabla \ cdot {\ mathbf {u}})

disponibil în pachete software dedicate. Cu toate acestea, operatorul de înclinare introduce erori atunci când intervalul de viteză diferă. Soluția cu metode de analiză numerică prezintă o provocare considerabilă pentru matematicieni și există o mare literatură pe această temă.

Aplicații

Meteorologie

În meteorologie, termenul advecție indică sosirea pe o porțiune a teritoriului a unei mase de aer cu caracteristici fizico-atmosferice diferite de cea anterioară, în general în termeni de temperatură și umiditate . O advecție este de obicei asociată cu o amestecare sensibilă, mișcări orizontale atmosferice și o modificare a parametrilor atmosferici menționați anterior. ^[4]

Advecțiile pot fi calde sau reci, umede sau uscate și pot apărea în orice anotimp. Acesta este un efect pe scară sinoptică al circulației atmosferice - precum și o manifestare tipică a variabilității meteorologice - care are loc în corespondență cu anumite dispoziții barice. De exemplu, un jgheab este purtătorul unei un'avvezione rece, precedat în față de un'avvezione fierbinte, în funcție de dinamica și caracteristicile valurilor Rossby .

Notă

^ Suthan S. Suthersan, "Inginerie de remediere: concepte de proiectare", CRC Press, 1996. (Google books)
^ Jacques Willy Delleur, „Manualul de inginerie a apelor subterane”, CRC Press, 2006. (Google books)
^ Thomas Zang, Despre formele de rotație și simetrie înclinată pentru simulări de flux incompresibil , în Matematica Numerică Aplicată , vol. 7, 1991, pp. 27–40, DOI : 10.1016 / 0168-9274 (91) 90102-6 .
^(RO) IUPAC Gold Book, "advecție în chimia atmosferică"

Bibliografie

( EN ) John P. Boyd, Chebyshev and Fourier Spectral Methods ediția a II-a , Dover, 2000.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Advection , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică

Portal de meteorologie

[1] Suthan S. Suthersan, "Inginerie de remediere: concepte de proiectare", CRC Press, 1996. (Google books)

[2] Jacques Willy Delleur, „Manualul de inginerie a apelor subterane”, CRC Press, 2006. (Google books)

[3] Thomas Zang, Despre formele de rotație și simetrie înclinată pentru simulări de flux incompresibil , în Matematica Numerică Aplicată , vol. 7, 1991, pp. 27–40, DOI : 10.1016 / 0168-9274 (91) 90102-6 .

[4] (RO) IUPAC Gold Book, "advecție în chimia atmosferică"

[1]

[2]

[3]

[4]