Câmp vectorial solenoid

În calculul vectorial un câmp vector $\mathbf {V}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V}}$ ${\ mathbf {V}}$ continuu într-un întreg deschis $A\subset \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle A \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle A \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ este definit solenoidal dacă fluxul prin orice suprafață închisă $S\subseteq A$ ${\ displaystyle S \ subseteq A}$ ${\ displaystyle S \ subseteq A}$ este nul:

\int _{S}\mathbf {V} \cdot {\hat {n}}\,\mathrm {d} \sigma =0.

{\ displaystyle \ int _ {S} \ mathbf {V} \ cdot {\ hat {n}} \, \ mathrm {d} \ sigma = 0.}

{\ displaystyle \ int _ {S} \ mathbf {V} \ cdot {\ hat {n}} \, \ mathrm {d} \ sigma = 0.}

În mod echivalent se poate spune că câmpul vector $\mathbf {V}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V}}$ ${\ mathbf {V}}$ este solenoid dacă fluxul de $\mathbf {V}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V}}$ ${\ mathbf {V}}$ prin orice suprafață $S\subseteq A$ ${\ displaystyle S \ subseteq A}$ ${\ displaystyle S \ subseteq A}$ depinde doar de marginea suprafeței.

Descriere

Numele derivă din faptul că câmpul magnetic , care este solenoidal, poate fi creat de bobine (numite solenoide ) atunci când sunt traversate de curent; în cazul dinamicii fluidelor, mișcarea unui fluid într-o buclă închisă generează un câmp solenoidal.

Un câmp vector a cărui divergență este egală cu zero în întregul domeniu este adesea în mod eronat definit ca solenoid. În acest caz, ar trebui mai degrabă spus că câmpul este indivergent . Se arată că dacă un câmp vector de clasă $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ într-un deschis $A\subset \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle A \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle A \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ este solenoid, apoi este și indivergent, dar nu există nicio implicație inversă. De fapt, gândiți-vă doar la câmpul electric generat de o sarcină punctuală $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ plasat în originea sistemului de axe de coordonate: câmpul este indivergent în tot domeniul său (adică $\mathbb {R} ^{3}-\{\mathbf {0} \}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} - \ {\ mathbf {0} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} - \ {\ mathbf {0} \}}$ ), dar fluxul său prin orice suprafață închisă care conține sarcina, conform teoremei lui Gauss , este egal cu $Q/\varepsilon _{0}$ ${\ displaystyle Q / \ varepsilon _ {0}}$ ${\ displaystyle Q / \ varepsilon _ {0}}$ . Pentru ca un câmp indivergent să fie solenoidal, este necesar să adăugăm ipoteza că domeniul în care este definit are o conexiune de suprafață dublă.

Deoarece divergența câmpului este zero, este posibil să se definească un vector potențial $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ , al cărui rotor este exact câmpul, adică:

\mathbf {V} =\nabla \times \mathbf {A} .

{\ displaystyle \ mathbf {V} = \ nabla \ times \ mathbf {A}.}

{\ displaystyle \ mathbf {V} = \ nabla \ times \ mathbf {A}.}

Funcționarea este permisă de faptul că divergența unui rotor este întotdeauna zero.

O concepție greșită foarte comună este că liniile de curgere ale unui câmp solenoid formează întotdeauna căi închise (posibil până la infinit). Această condiție, deși suficientă pentru un câmp solenoidal, nu este strict necesară ^[1] .

Notă

^ Luca Zilberti, Concepția greșită a liniilor de flux magnetic închis , în IEEE Magnetics Letters , vol. 8, 2017, pp. 1–5, DOI : 10.1109 / LMAG.2017.2698038 . Adus la 1 februarie 2021 .

Elemente conexe

linkuri externe

Note despre teoria câmpului și potențialul ( PDF ), pe wpage.unina.it . Adus 11/04/2010 .
Câmpuri vectoriale conservatoare și solenoide ( PDF ), pe elettra2000.it . Adus 19.11.2009 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Luca Zilberti, Concepția greșită a liniilor de flux magnetic închis , în IEEE Magnetics Letters , vol. 8, 2017, pp. 1–5, DOI : 10.1109 / LMAG.2017.2698038 . Adus la 1 februarie 2021 .

[1]