Câmp irotațional

În analiza matematică și în calculul vectorial un câmp vector ${\vec {V}}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}}: \ mathbb {R} ^ {3} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}}: \ mathbb {R} ^ {3} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}$ un câmp irotațional se numește dacă rotorul său este zero:

\nabla \times {\vec {V}}=0\,.

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {V}} = 0 \,.}

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {V}} = 0 \,.}

Amintind că rotorul poate fi exprimat ca:

\nabla \times {\vec {V}}={\mbox{det }}\left({\begin{matrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\V_{1}&V_{2}&V_{3}\end{matrix}}\right)

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {V}} = {\ mbox {det}} \ left ({\ begin {matrix} {\ hat {i}} & {\ hat {j}} & {\ hat {k}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial x}} și {\ frac {\ partial} {\ partial y}} și {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \\ V_ {1} & V_ {2} & V_ {3} \ end {matrix}} \ right)}

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {V}} = {\ mbox {det}} \ left ({\ begin {matrix} {\ hat {i}} & {\ hat {j}} & {\ hat {k}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial x}} și {\ frac {\ partial} {\ partial y}} și {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \\ V_ {1} & V_ {2} & V_ {3} \ end {matrix}} \ right)}

unde determinantul este formal (adică dezvoltabil cu teorema lui Laplace ) numai în conformitate cu prima linie, prima ecuație poate fi dezvoltată ca:

\nabla \times {\vec {V}}=\left({\frac {\partial V_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{2}}{\partial z}},\quad {\frac {\partial V_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{3}}{\partial x}},\quad {\frac {\partial V_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{1}}{\partial y}}\right).

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {V}} = \ left ({\ frac {\ partial V_ {3}} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial V_ {2}} {\ partial z}}, \ quad {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial V_ {3}} {\ partial x}}, \ quad {\ frac {\ partial V_ {2}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial y}} \ right).}

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {V}} = \ left ({\ frac {\ partial V_ {3}} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial V_ {2}} {\ partial z}}, \ quad {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial V_ {3}} {\ partial x}}, \ quad {\ frac {\ partial V_ {2}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial y}} \ right).}

Rotorul unui câmp vectorial în plan este dat de

\nabla \times {\vec {V}}=\left(0,\quad 0,\quad {\frac {\partial V_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{1}}{\partial y}}\right),

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {V}} = \ left (0, \ quad 0, \ quad {\ frac {\ partial V_ {2}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial y}} \ right),}

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {V}} = \ left (0, \ quad 0, \ quad {\ frac {\ partial V_ {2}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial y}} \ right),}

de aceea câmpul este irotațional dacă

{\frac {\partial V_{2}}{\partial x}}={\frac {\partial V_{1}}{\partial y}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V_ {2}} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial y}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V_ {2}} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial y}}.}

Un câmp vector care are proprietatea de a fi irotațional nu este neapărat conservator . De fapt, condiția irotaționalității este o condiție necesară, dar nu suficientă pentru conservare: trebuie să luăm în considerare și întregul în care câmpul este definit de lema Poincaré . Cu toate acestea, un câmp irotațional definit într-un set deschis de $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ tu urasti $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ la nivel local, este întotdeauna conservator, deoarece puteți alege oricând un cartier suficient de mic pentru a face parte din ansamblul în care domeniul este conservator. Acest lucru este adevărat deoarece irotaționalitatea, la fel ca conservativitatea, sunt proprietăți diferențiale și, prin urmare, este vorba de a vedea pentru ce aproximare este valabilă diferențierea câmpului.

Jacobian

O altă condiție de irotație este dată de construcția jacobianului câmpului vectorial:

{\bar {J}}\cdot {\bar {V}}(x,y,z)=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial V_{1}}{\partial y}}&{\frac {\partial V_{1}}{\partial z}}\\{\frac {\partial V_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial V_{2}}{\partial y}}&{\frac {\partial V_{2}}{\partial z}}\\{\frac {\partial V_{3}}{\partial x}}&{\frac {\partial V_{3}}{\partial y}}&{\frac {\partial V_{3}}{\partial z}}\end{matrix}}\right)

{\ displaystyle {\ bar {J}} \ cdot {\ bar {V}} (x, y, z) = \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial x}} & {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial z}} \\ {\ frac {\ partial V_ {2 }} {\ partial x}} și {\ frac {\ partial V_ {2}} {\ partial y}} și {\ frac {\ partial V_ {2}} {\ partial z}} \\ {\ frac { \ partial V_ {3}} {\ partial x}} și {\ frac {\ partial V_ {3}} {\ partial y}} și {\ frac {\ partial V_ {3}} {\ partial z}} \ end {matrix}} \ right)}

{\ displaystyle {\ bar {J}} \ cdot {\ bar {V}} (x, y, z) = \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial x}} & {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial V_ {1}} {\ partial z}} \\ {\ frac {\ partial V_ {2 }} {\ partial x}} și {\ frac {\ partial V_ {2}} {\ partial y}} și {\ frac {\ partial V_ {2}} {\ partial z}} \\ {\ frac { \ partial V_ {3}} {\ partial x}} și {\ frac {\ partial V_ {3}} {\ partial y}} și {\ frac {\ partial V_ {3}} {\ partial z}} \ end {matrix}} \ right)}

atunci condiția exprimată prin irotaționalitatea câmpului sau definiția dată aici de rotor înseamnă că Jacobianul câmpului vector trebuie să fie simetric .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică