Derivat material

Derivata materială, respectivă derivată substanțială, derivată Lagrangiană sau derivată convectivă , este un operator diferențial obținut prin aplicarea unei schimbări adecvate de coordonate la derivata totală .

În domeniul mecanicii continuum , este folosit pentru a descrie rata de schimbare a unei mărimi fizice asociate cu un element de materie supus unui câmp vector dependent de spațiu și timp. Derivatul material poate fi văzut ca o legătură întredescrierile euleriană și lagrangiană ale unei deformări continue și este adesea utilizat în studiul fenomenelor de transport .

Definiție

Având în vedere un câmp vector $\mathbf {u} (\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {r}, t)}$ , derivata materială în raport cu timpul unui câmp scalar $\varphi (\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t)}$ este definit ca:

{\frac {D}{Dt}}\varphi ={\frac {\partial }{\partial t}}\varphi +\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi

{\ displaystyle {\ frac {D} {Dt}} \ varphi = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ varphi + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ varphi}

{\ displaystyle {\ frac {D} {Dt}} \ varphi = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ varphi + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ varphi}

unde derivata parțială $\partial \varphi /\partial t$ ${\ displaystyle \ partial \ varphi / \ partial t}$ ${\ displaystyle \ partial \ varphi / \ partial t}$ , care reprezintă derivata câmpului în raport cu timpul într-o poziție fixă, se numește derivată euleriană , $\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ varphi}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ varphi}$ este termenul de advecție și $\nabla \varphi$ ${\ displaystyle \ nabla \ varphi}$ ${\ displaystyle \ nabla \ varphi}$ este gradientul de $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ . Un exemplu de acest tip este alegerea vitezei de deriva a particulelor unui fluid ca câmp vector și densitatea acestuia ca mărime fizică.

Derivata materială a unui câmp vector $\mathbf {a} (\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} (\ mathbf {r}, t)}$ este dat de:

{\frac {D}{Dt}}\mathbf {a} ={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {a} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {a}

{\ displaystyle {\ frac {D} {Dt}} \ mathbf {a} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ mathbf {a} + (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ mathbf {a}}

{\ displaystyle {\ frac {D} {Dt}} \ mathbf {a} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ mathbf {a} + (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla) \ mathbf {a}}

unde este $\nabla \mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {a}}$ este derivatul covariant al $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ .

Legătură cu derivata totală

Același subiect în detaliu: Derivat total .

Definiția derivatei totale în raport cu timpul unei funcții scalare $\varphi (\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t)}$ se exprimă prin regula lanțului :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi ={\frac {\partial }{\partial t}}\varphi +\nabla \varphi \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ varphi = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ varphi + \ nabla \ varphi \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ varphi = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ varphi + \ nabla \ varphi \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}}}

Am luat o anumită cale $\mathbf {r} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf r} (t)$ care descrie mișcarea unui obiect în spațiu, vectorul:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} (t)}{\mathrm {d} t}},{\frac {\mathrm {d} \mathbf {y} (t)}{\mathrm {d} t}},{\frac {\mathrm {d} \mathbf {z} (t)}{\mathrm {d} t}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} (t)} {\ mathrm {d} t}} = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x} (t )} {\ mathrm {d} t}}, {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {y} (t)} {\ mathrm {d} t}}, {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {z} (t)} {\ mathrm {d} t}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} (t)} {\ mathrm {d} t}} = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x} (t )} {\ mathrm {d} t}}, {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {y} (t)} {\ mathrm {d} t}}, {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {z} (t)} {\ mathrm {d} t}} \ right)}

descrie viteza acestuia. Alegând un sistem de coordonate adecvat, este posibil ca vectorul de viteză menționat mai sus să coincidă cu viteza de deriva a fluidului, obținând derivata materială pornind de la derivata totală. Dacă și $\mathrm {d} \mathbf {r} (t)/\mathrm {d} t=0$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} (t) / \ mathrm {d} t = 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} (t) / \ mathrm {d} t = 0}$ , adică poziția este constantă, derivata totală a timpului devine egală cu derivata Euler, adică derivata parțială în raport cu timpul poziției $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ , care este staționar .

Coordonatele ortogonale

Într-un sistem de coordonate ortogonale , a j-a componentă a termenului de advecție este dată de: ^[1]

[\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {u} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {v_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial u_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {u_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(v_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-v_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right)

{\ displaystyle [\ mathbf {v} \ cdot \ nabla \ mathbf {u}] _ {j} = \ sum _ {i} {\ frac {v_ {i}} {h_ {i}}} {\ frac { \ partial u_ {j}} {\ partial q ^ {i}}} + {\ frac {u_ {i}} {h_ {i} h_ {j}}} \ left (v_ {j} {\ frac {\ partial h_ {j}} {\ partial q ^ {i}}} - v_ {i} {\ frac {\ partial h_ {i}} {\ partial q ^ {j}}} \ right)}

{\ displaystyle [\ mathbf {v} \ cdot \ nabla \ mathbf {u}] _ {j} = \ sum _ {i} {\ frac {v_ {i}} {h_ {i}}} {\ frac { \ partial u_ {j}} {\ partial q ^ {i}}} + {\ frac {u_ {i}} {h_ {i} h_ {j}}} \ left (v_ {j} {\ frac {\ partial h_ {j}} {\ partial q ^ {i}}} - v_ {i} {\ frac {\ partial h_ {i}} {\ partial q ^ {j}}} \ right)}

in care:

h_{i}={\sqrt {g_{ij}}}

{\ displaystyle h_ {i} = {\ sqrt {g_ {ij}}}}

{\ displaystyle h_ {i} = {\ sqrt {g_ {ij}}}}

cu $g_{ij}$ ${\ displaystyle g_ {ij}}$ $g _ {{ij}}$ tensorul metric .

Generalizare

Derivat corotațional

Este posibil să se generalizeze derivatul substanțial introducând pentru fiecare particulă fluidă un sistem ortogonal de coordonate corotaționale , care, în timp ce se deplasează împreună cu particula fluidă în spațiu, se rotește cu viteza unghiulară instantanee locală ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ .

Spus $\nabla \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {v}}$ tensorul gradientului de viteză , partea sa antisimetrică :

\mathbf {W} _{ij}={\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {v} -(\nabla \mathbf {v} )^{T}\right)={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\Omega }}_{ij}

{\ displaystyle \ mathbf {W} _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ nabla \ mathbf {v} - (\ nabla \ mathbf {v}) ^ {T} \ right) = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ Omega}} _ {ij}}

{\ displaystyle \ mathbf {W} _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ nabla \ mathbf {v} - (\ nabla \ mathbf {v}) ^ {T} \ right) = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ Omega}} _ {ij}}

este tensorul vitezei de rotație, unde ${\boldsymbol {\Omega }}_{ij}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} _ {ij}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} _ {ij}}$ este tensorul de vorticitate . Prin urmare, pentru un tensor de ordinul doi $\mathbf {a} _{ij}(\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {ij} (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {ij} (\ mathbf {r}, t)}$ , avem că derivatul corotațional este definit ca:

{\frac {\mathcal {D}}{{\mathcal {D}}t}}\mathbf {a} _{ij}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {a} _{ij}+\left(\mathbf {W} _{ij}\cdot \mathbf {a} _{ij}-\mathbf {a} _{ij}\cdot \mathbf {W} _{ij}\right)={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {a} _{ij}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {a} _{ij}+{\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {\Omega }}_{ij}\cdot \mathbf {a} _{ij}-\mathbf {a} _{ij}\cdot {\boldsymbol {\Omega }}_{ij}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathcal {D}} {{\ mathcal {D}} t}} \ mathbf {a} _ {ij} = {\ frac {D} {Dt}} \ mathbf {a} _ {ij} + \ left (\ mathbf {W} _ {ij} \ cdot \ mathbf {a} _ {ij} - \ mathbf {a} _ {ij} \ cdot \ mathbf {W} _ {ij} \ right ) = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ mathbf {a} _ {ij} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {a} _ {ij} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ boldsymbol {\ Omega}} _ {ij} \ cdot \ mathbf {a} _ {ij} - \ mathbf {a} _ {ij} \ cdot {\ boldsymbol {\ Omega}} _ {ij} \ dreapta)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathcal {D}} {{\ mathcal {D}} t}} \ mathbf {a} _ {ij} = {\ frac {D} {Dt}} \ mathbf {a} _ {ij} + \ left (\ mathbf {W} _ {ij} \ cdot \ mathbf {a} _ {ij} - \ mathbf {a} _ {ij} \ cdot \ mathbf {W} _ {ij} \ right ) = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ mathbf {a} _ {ij} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {a} _ {ij} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ boldsymbol {\ Omega}} _ {ij} \ cdot \ mathbf {a} _ {ij} - \ mathbf {a} _ {ij} \ cdot {\ boldsymbol {\ Omega}} _ {ij} \ dreapta)}

Notă

^ Eric W. Weisstein,Operator convectiv , la mathworld.wolfram.com , MathWorld . Adus 22/07/2008 .

Bibliografie

( EN ) GK Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics , Cambridge University Press, 1967, pp. 72–73, ISBN 0-521-66396-2 .
( EN ) KE Trenberth, Climate System Modeling , Cambridge University Press, 1993, p. 99, ISBN 0-521-43231-6 .
( EN ) G. Emanuel, Dynamic fluid analytique , al doilea, CRC Press, 2001, pp. 6-7, ISBN 0-8493-9114-8 .
( EN ) GJ Sussman, J. Wisdom și ME Mayer, 1.6 How to Find Lagrangians , in Structure and Interpretation of Classical Mechanics , MIT Press (arhivat din original la 16 iulie 2012) .
( EN ) Ira M. Cohen și Pijush K Kundu, Mecanica fluidelor , ediția a IV-a, Academic Press, ISBN 978-0-12-373735-9 .
(EN) Michael Lai, Erhard Krempl și David Reuben, Introducere în mecanica continuului, ediția a IV-a, Elsevier, ISBN 978-0-7506-8560-3 .
( EN ) R. Byron Bird, Warren E. Stewart și Edwin N. Lightfool, Transport Phenomena , Madison, Wisconsin, John Wiley & Sons, Inc., 2002.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Derivativ convectiv , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) https://web.archive.org/web/20081006073754/http://www.sv.vt.edu/classes/ESM4714/methods/df2D.html

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Eric W. Weisstein,Operator convectiv , la mathworld.wolfram.com , MathWorld . Adus 22/07/2008 .

[1]