Impuls

În mecanica clasică , impulsul unui obiect este o mărime vectorială definită ca produsul masei obiectului prin viteza sa ^[1] .

Vectorul de impuls este uneori denumit impuls liniar , pentru a-l distinge de impulsul unghiular . Cu toate acestea, strict vorbind, această cantitate nu reprezintă impulsul niciunui vector ^[2] . Este indicat în general cu litera p sau cu litera q .

Al doilea principiu al dinamicii stabilește că derivata în timp a impulsului unui corp este egală cu forța de acțiune. Momentul depinde de cadrul de referință , dar în orice cadru de referință inerțial este o mărime fizică conservatoare ^[3] , aceasta înseamnă că dacă am un sistem închis care nu este supus forțelor externe, impulsul nu se schimbă în timp. Momentul este conservat și în relativitatea specială, dar expresia matematică este diferită, la fel ca și formularea în electromagnetism , mecanica cuantică , teoria câmpului cuantic și în relativitatea generală . Conservarea impulsului depinde de omogenitatea spațiului sau de simetria translațională ^[4] .

În formularea mecanicii lagrangiene este posibil să se aleagă un sistem de coordonate care combină simetriile și constrângerile. În această formulare, cantitatea conservată este impulsul generalizat care, în general, este diferit de impulsul definit mai sus. Conceptul de moment generalizat este importat în mecanica cuantică, în care devine un operator care acționează asupra funcției de undă . Elanul și operatorii de poziție sunt legați între ei de principiul incertitudinii Heisenberg .

În mediile continue, cum ar fi câmpurile electromagnetice , dinamica fluidelor și corpurile deformabile , densitatea impulsului este definită. Formularea continuă a legii conservării impulsului devine o ecuație diferențială și de exemplu pentru fluide avem ecuația Navier - Stokes .

Definiție

Un punct material de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ care se mișcă cu viteză $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ are un impuls $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ egal cu produsul masei și vitezei sale:

\mathbf {p} =m\mathbf {\mathbf {v} }

{\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {\ mathbf {v}}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {\ mathbf {v}}}

Prin urmare, vectorul rezultat are un modul egal cu produsul masei ori modulul vectorului viteză și direcția și direcția vectorului viteză.

Unitatea de măsură se obține din analiza dimensională: $[M][V]=[M]{\frac {[L]}{[T]}}$ ${\ displaystyle [M] [V] = [M] {\ frac {[L]} {[T]}}}$ ${\ displaystyle [M] [V] = [M] {\ frac {[L]} {[T]}}}$ de aceea se măsoară în ${\text{kg}}\cdot {\frac {\text{m}}{\text{s}}}$ ${\ displaystyle {\ text {kg}} \ cdot {\ frac {\ text {m}} {\ text {s}}}}$ ${\ displaystyle {\ text {kg}} \ cdot {\ frac {\ text {m}} {\ text {s}}}}$

și, prin urmare, cuantifică forța necesară pentru a opri obiectul într-o unitate de timp, fiind astfel utilă atunci când sunt tratate șocurile și reacțiile .

În cazul unui sistem de n puncte materiale , impulsul sistemului este dat de suma vectorială a impulsului unic al diferitelor puncte:

\mathbf {p} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {p} _ {i}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {p} _ {i}}

În cazul unui corp rigid cu masa totală $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ care se deplasează cu viteza centrului de masă $\mathbf {v} _{CM}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {CM}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {CM}}$ , impulsul este:

\mathbf {p} =m\mathbf {v} _{CM}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v} _ {CM}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v} _ {CM}}

O relație utilă între modulul de impuls $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și energia cinetică $E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}$ ${\ displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$ $E_ {k} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}$ a unui punct material este dat de următoarea ecuație:

E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}\qquad |{p}|={\sqrt {2mE_{k}}}

{\ displaystyle E_ {k} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ qquad | {p} | = {\ sqrt {2mE_ {k}}}}

{\ displaystyle E_ {k} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ qquad | {p} | = {\ sqrt {2mE_ {k}}}}

Dovada este imediată, prin substituirea în expresia lui $E_{k}$ ${\ displaystyle E_ {k}}$ $E_ {k}$ cel al $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

Importanța impulsului este exprimată de al doilea principiu al dinamicii , care arată că forța aplicată unui punct material este egală cu derivata impulsului punctului în sine în raport cu timpul.

De fapt, presupunând masa constantă:

\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = m \ mathbf {a}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = m \ mathbf {a}}

Momentul își asumă un rol important atât în mecanica clasică, cât și în mecanica cuantică , deoarece pentru legea conservării impulsului valoarea sa pentru un sistem izolat rămâne constantă. Este deosebit de util pentru descrierea coliziunilor și descompunerilor atât clasice, cât și cuantice.

Impuls

Același subiect în detaliu: Impuls (fizică) .

Impulsul este definit ca variația impulsului unui corp care este supus unui impact cu un alt corp. Cu alte cuvinte, este impulsul real transmis corpului afectat în momentul impactului. Momentul inițial și final, utile pentru calcularea impulsului, constau în produsul masei corpului după viteza finală și viteza inițială. Prin urmare, pentru a calcula impulsul, este folosit în general pentru a măsura masa și viteza corpului înainte de contact și pentru a extrage datele inițiale și a repeta operația după contact. Prin exploatarea celei de-a doua legi a dinamicii lui Newton și legea cinematicii unei mișcări rectilinii uniforme, avem:

\mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {p}  \over {\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ over {\ mathrm {d} t}}}

{\ mathbf F} = {{\ mathrm {d}} {\ mathbf p} \ peste {{\ mathrm {d}} t}}

Prin integrarea ambilor membri în raport cu timpul, se obține impulsul:

\Delta \mathbf {p} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {p} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {p} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} t}

Elan în fizica modernă

Elan în mecanica relativistă

În mecanica relativistă, impulsul este definit ca:

\mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ gamma m_ {0} \ mathbf {v}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ gamma m_ {0} \ mathbf {v}}

unde este $m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ este masa în repaus a corpului în mișcare, $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ este viteza relativă totală dintre obiect și observator și:

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}

este factorul Lorentz , cu $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ viteza luminii . După cum putem vedea, impulsul relativist tinde spre impulsul clasic: $m\mathbf {v}$ ${\ displaystyle m \ mathbf {v}}$ $m {\ mathbf {v}}$ la viteze mici ( $\beta \to 0$ ${\ displaystyle \ beta \ to 0}$ ${\ displaystyle \ beta \ to 0}$ ).

Quadrimpulse

Același subiect în detaliu: Quadrimpulse .

Momentul cu patru impulsuri este impulsul relativist cu patru vectori propus de Albert Einstein, invariant în modul sub traducerea Lorentz . Acești patru vectori apar spontan în funcția verde din teoria câmpului cuantic . Patrul impuls este definit ca:

V=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)

{\ displaystyle V = \ left ({\ frac {E} {c}}, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z} \ right)}

V = \ left ({\ frac {E} {c}}, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z} \ right)

unde este $p_{x}$ ${\ displaystyle p_ {x}}$ $p_ {x}$ este componenta x a impulsului relativist e $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este energia totală a sistemului:

E=\gamma m_{0}c^{2}

{\ displaystyle E = \ gamma m_ {0} c ^ {2}}

{\ displaystyle E = \ gamma m_ {0} c ^ {2}}

.

Folosind produsul scalar cu patru vectori avem:

V^{2}=p\cdot p={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p_{x}^{2}-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}

{\ displaystyle V ^ {2} = p \ cdot p = {\ frac {E ^ {2}} {c ^ {2}}} - p_ {x} ^ {2} -p_ {y} ^ {2} -p_ {z} ^ {2}}

V ^ {2} = p \ cdot p = {\ frac {E ^ {2}} {c ^ {2}}} - p_ {x} ^ {2} -p_ {y} ^ {2} -p_ { z} ^ {2}

această cantitate este un invariant relativist, adică sub transformările Lorentz.

Momentul unui obiect fără masă

Particulele fără masă precum fotonul au impuls. Formula este:

$\mathbf {p} ={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {E} {c}} = {\ frac {h} {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {E} {c}} = {\ frac {h} {\ lambda}}}$

unde este $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este energia care poartă fotonul, $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii , $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este constanta lui Planck e $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este lungimea de undă a fotonului.

Elan în mecanica cuantică

Același subiect în detaliu: Operator de impuls .

În mecanica cuantică , impulsul este definit ca un operator pe funcțiile de undă . Principiul incertitudinii lui Heisenberg definește o limită cu privire la cât de precis pot fi observate împreună impulsul și poziția unui singur sistem observabil. În mecanica cuantică, poziția și impulsul sunt variabile conjugate.

Pentru o singură particulă fără sarcină electrică și fără rotire , operatorul de impuls poate fi scris în baza poziției ca

\mathbf {p} ={\hbar  \over i}\nabla =-i\hbar \nabla

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ hbar \ over i} \ nabla = -i \ hbar \ nabla}

{\ mathbf {p}} = {\ hbar \ over i} \ nabla = -i \ hbar \ nabla

unde este $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ este operatorul nabla .

Notă

^ Enciclopedia Britanică - Momentum , la britannica.com . Adus 31/08/2012 .
^ Rețineți că în engleză impulsul este indicat cu impuls , în timp ce momentul unui vector cu moment .
^ Enciclopedia Britanică - Conservarea impulsului , pe britannica.com . Adus 31/08/2012 .
^ Lev D. Landau și Evgenij M. Lifšic , Mecanică , vol. 1, ediția a 3-a, Roma, Editori Riuniti , 1991 [1976] , ISBN 88-359-3473-7 .

Bibliografie

( EN ) David Halliday , Robert Resnick , Fundamentals of Physics , John Wiley & Sons, 1960-2007, pp. Capitolul 9.
René Dugas, O istorie a mecanicii , tradus în engleză de JR Maddox, Dover, New York, Dover Publications, 1988, ISBN 978-0-486-65632-8 .
(EN) Richard P. Feynman, Robert B. Leighton și Matthew Sands, Prelegerile Feynman despre fizică, volumul 1: în principal mecanică, radiații și căldură, final, San Francisco, California, Pearson Addison-Wesley, 2005, ISBN 978 -0-8053-9046-9 .
(EN) Richard P. Feynman, Robert B. Leighton și Matthew Sands, Prelegerile Feynman despre fizică, Volumul III: Mecanica cuantică, Final, New York, BasicBooks, 2005, ISBN 978-0-8053-9049-0 .
(EN) Herbert Goldstein, Mecanică clasică, 2d, Reading, Mass., Addison-Wesley Pub. Co., 1980, ISBN 0-201-02918-9 .
(EN) Hand Louis N. și Janet D. Finch, Mechanical Analytical, Cambridge University Press, pp. Capitolul 4.
( EN ) John David Jackson,Electrodinamică clasică , 2d, New York, Wiley, 1975, ISBN 0-471-43132-X .
( EN ) LD Landau , EM Lifshitz , Teoria clasică a câmpurilor , 4a rev. Ediție în limba engleză, retipărită cu corecții; tradus din limba rusă de Morton Hamermesh, Oxford, Butterworth Heinemann, 2000, ISBN 978-0-7506-2768-9 .
( EN ) Wolfgang Rindler, Essential Relativity: Special, general and cosmological , Rev. 2., New York ua, Springer, 1986, ISBN 0-387-10090-3 .
(EN) Serway, Raymond & Jewett, John, Physics for Scientists and Engineers (ediția a 6-a), Brooks Cole, 2003, ISBN 0-534-40842-7 .
( EN ) Stenger, Victor J., Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes , Prometheus Books, 2000, ISBN 978-1-57392-859-5 . Cap. 12 în special.
(EN) Tipler, Paul Physics for Scientists and Engineers: Vol. 1: Mecanică, oscilații și unde, termodinamică (ediția a IV-a), WH Freeman, 1998, ISBN 1-57259-492-6 .
( EN ) DJ Tritton, Physical fluid Dynamics , 2nd., Oxford, Claredon Press, 2006, p. 58, ISBN 0-19-854493-6 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe impuls

linkuri externe

( EN ) Momentum / Momentum (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85086658 · GND (DE) 4130721-5

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[1] Enciclopedia Britanică - Momentum , la britannica.com . Adus 31/08/2012 .

[2] Rețineți că în engleză impulsul este indicat cu impuls , în timp ce momentul unui vector cu moment .

[3] Enciclopedia Britanică - Conservarea impulsului , pe britannica.com . Adus 31/08/2012 .

[4] Lev D. Landau și Evgenij M. Lifšic , Mecanică , vol. 1, ediția a 3-a, Roma, Editori Riuniti , 1991 [1976] , ISBN 88-359-3473-7 .

[1]

[2]

[3]

[4]