Patru-vector

În relativitatea specială, vectorul cu patru sau patru vectori , reprezentat de o cvadruplă a valorilor, este un vector al spațiului-timp Minkowski .

În transformările de coordonate între două sisteme de referință inerțiale, vectorul patru respectă transformările Lorentz și componentele sale se transformă în raport cu baza standard a spațiului-timp Minkowski ca diferență între coordonatele spațiale și temporale respective. Setul de rotații, traduceri și schimbări de coordonate între două sisteme de referință inerțiale la care sunt supuși cei patru vectori este grupul Poincaré .

Definiție

Un patru-vector este un cvadruplu al valorilor:

\mathbf {X} :=\left(X^{0},X^{1},X^{2},X^{3}\right)=\left(ct,x,y,z\right)

{\ displaystyle \ mathbf {X}: = \ left (X ^ {0}, X ^ {1}, X ^ {2}, X ^ {3} \ right) = \ left (ct, x, y, z \ dreapta)}

{\ displaystyle \ mathbf {X}: = \ left (X ^ {0}, X ^ {1}, X ^ {2}, X ^ {3} \ right) = \ left (ct, x, y, z \ dreapta)}

care în baza spațiu-timp standard Minkowski reprezintă un eveniment . Cele patru valori sunt coordonatele spațiale și de timp ale evenimentului, în special $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ = 0, 1, 2, 3, sunt componentele spațiului și c este viteza luminii . Faptul că $X^{0}=ct$ ${\ displaystyle X ^ {0} = ct}$ ${\ displaystyle X ^ {0} = ct}$ de asemenea, asigură faptul că componentele au aceeași unitate de măsură. ^[1] ^[2] ^[3]

Cu patru vectori de deplasare:

\Delta \mathbf {X} :=\left(c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z\right)

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {X}: = \ left (c \ Delta t, \ Delta x, \ Delta y, \ Delta z \ right)}

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {X}: = \ left (c \ Delta t, \ Delta x, \ Delta y, \ Delta z \ right)}

este distanța dintre două puncte în spațiu-timp.

Raza vectorială care conectează originea unui sistem de referință la orice eveniment din spațiu-timp este cel mai elementar exemplu de patru vectori; componentele sale sunt coordonatele spațiu-timp ale evenimentului în cauză, adică $(ct,x,y,z)$ ${\ displaystyle (ct, x, y, z)}$ ${\ displaystyle (ct, x, y, z)}$ .

În general, cei patru vectori sunt indicați într-un mod mai economic și mai convenabil folosind coordonatele lor generice ${A}^{i}$ ${\ displaystyle {A} ^ {i}}$ ${\ displaystyle {A} ^ {i}}$ ^[4] .

Covarianța și contravarianța unui patru-vector

Același subiect în detaliu: Covarianța și Contravarianța .

Indicii din partea de sus indică faptul că patru-vectorul este exprimat în forma sa contravariantă: un patru-vector contravariant este definit ca un cuatern de valori care se transformă, în trecerea de la un sistem de referință inerțial la altul, ca și coordonatele un eveniment, adică conform transformărilor Lorentz . Prin contractarea indicelui cu unul dintre indicii tensorului metric $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ obținem expresia covariantă a celor patru vectori:

{A}_{\mu }=\sum _{\nu =0}^{3}{g}_{\mu \nu }{A}^{\nu }={g}_{\mu \nu }{A}^{\nu }

{\ displaystyle {A} _ {\ mu} = \ sum _ {\ nu = 0} ^ {3} {g} _ {\ mu \ nu} {A} ^ {\ nu} = {g} _ {\ mu \ nu} {A} ^ {\ nu}}

{\ displaystyle {A} _ {\ mu} = \ sum _ {\ nu = 0} ^ {3} {g} _ {\ mu \ nu} {A} ^ {\ nu} = {g} _ {\ mu \ nu} {A} ^ {\ nu}}

unde în ultimul termen s-a folosit convenția lui Einstein , care prezice suma implicită pe indici repetați; în această sumă $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ ia valorile de la 0 la 3. Operația tocmai efectuată se numeșteridicarea sau coborârea indicilor și se datorează de fapt relațiilor dintre spațiul tangent și spațiul său dual , spațiul cotangent .

Dorind să exprimăm egalitatea în termeni matriciali, putem lua în considerare $A_{\mu }$ ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$ $A _ {\ mu}$ Și $A^{\mu }$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$ $A ^ {\ mu}$ componentele a doi vectori de coloană și $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ componentele unei matrice 4 $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ $\ ori$ 4 care reprezintă o aplicație liniară:

{\begin{pmatrix}A_{0}\\A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03}\\g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {0} \\ A_ {1} \\ A_ {2} \\ A_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} g_ {00} & g_ {01} & g_ {02} & g_ {03} \\ g_ {10} & g_ {11} & g_ {12} & g_ {13} \\ g_ {20} & g_ {21} & g_ {22} & g_ {23} \\ g_ {30} & g_ {31} & g_ {32} & g_ {33} \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ { 1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {0} \\ A_ {1} \\ A_ {2} \\ A_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} g_ {00} & g_ {01} & g_ {02} & g_ {03} \\ g_ {10} & g_ {11} & g_ {12} & g_ {13} \\ g_ {20} & g_ {21} & g_ {22} & g_ {23} \\ g_ {30} & g_ {31} & g_ {32} & g_ {33} \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ { 1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}}}

Forma particulară (diagonală) a tensorului metric în relativitatea specială oferă o regulă ușoară pentru exprimarea componentelor contravariante ale unui vector patru în funcție de cele covariante, adică:

A_{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\nu }=g_{\mu \mu }A^{\mu }

{\ displaystyle A _ {\ mu} = g _ {\ mu \ nu} A ^ {\ nu} = g _ {\ mu \ mu} A ^ {\ mu}}

{\ displaystyle A _ {\ mu} = g _ {\ mu \ nu} A ^ {\ nu} = g _ {\ mu \ mu} A ^ {\ mu}}

cu

g_{\mu \mu }={\begin{cases}1&{\text{se }}\mu =0\\-1&{\text{se }}\mu =1,2,3\end{cases}}

{\ displaystyle g _ {\ mu \ mu} = {\ begin {cases} 1 & {\ text {se}} \ mu = 0 \\ - 1 & {\ text {se}} \ mu = 1,2, 3 \ end {cases}}}

{\ displaystyle g _ {\ mu \ mu} = {\ begin {cases} 1 & {\ text {se}} \ mu = 0 \\ - 1 & {\ text {se}} \ mu = 1,2, 3 \ end {cases}}}

sau, sub formă de matrice:

{\begin{pmatrix}A_{0}\\A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A^{0}\\-A^{1}\\-A^{2}\\-A^{3}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {0} \\ A_ {1} \\ A_ {2} \\ A_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ - A ^ {1} \\ - A ^ {2} \\ - A ^ {3} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {0} \\ A_ {1} \\ A_ {2} \\ A_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ - A ^ {1} \\ - A ^ {2} \\ - A ^ {3} \ end {pmatrix}}}

Trecând de la forma contravariantă a unui vector la forma sa covariantă, este deci suficient să se schimbe semnul componentelor spațiale. Un patru-vector covariant nu se transformă conform transformărilor Lorentz, ci mai degrabă ca derivată a unei funcții scalare: dacă $f(x^{\mu })$ ${\ displaystyle f (x ^ {\ mu})}$ ${\ displaystyle f (x ^ {\ mu})}$ este o funcție scalară, ${A}_{\mu }$ ${\ displaystyle {A} _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle {A} _ {\ mu}}$ are aceleași legi de transformare ca ${\frac {\partial f}{\partial {x}^{\mu }}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {x} ^ {\ mu}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {x} ^ {\ mu}}}}$ .

Produs scalar

Același subiect în detaliu: produs Dot .

Produsul scalar dintre patru vectori poate fi scris folosind tensorul metric în formă simplificată ca produs scalar euclidian între un vector covariant și un contravariant:

\langle \mathbf {U} ,\mathbf {V} \rangle =\sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}{g}_{\mu \nu }{U}^{\mu }{V}^{\nu }={U}^{\mu }{g}_{\mu \nu }{V}^{\nu }={U}^{\mu }{V}_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}{U}^{\mu }{V}_{\mu }

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {U}, \ mathbf {V} \ rangle = \ sum _ {\ mu = 0} ^ {3} \ sum _ {\ nu = 0} ^ {3} {g} _ { \ mu \ nu} {U} ^ {\ mu} {V} ^ {\ nu} = {U} ^ {\ mu} {g} _ {\ mu \ nu} {V} ^ {\ nu} = { U} ^ {\ mu} {V} _ {\ mu} = \ sum _ {\ mu = 0} ^ {3} {U} ^ {\ mu} {V} _ {\ mu}}

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {U}, \ mathbf {V} \ rangle = \ sum _ {\ mu = 0} ^ {3} \ sum _ {\ nu = 0} ^ {3} {g} _ { \ mu \ nu} {U} ^ {\ mu} {V} ^ {\ nu} = {U} ^ {\ mu} {g} _ {\ mu \ nu} {V} ^ {\ nu} = { U} ^ {\ mu} {V} _ {\ mu} = \ sum _ {\ mu = 0} ^ {3} {U} ^ {\ mu} {V} _ {\ mu}}

.

În mod echivalent, folosind notația lui Einstein :

\mathbf {U\cdot V} =g_{\mu \nu }U^{\mu }V^{\nu }={\begin{pmatrix}U^{0}&U^{1}&U^{2}&U^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}V^{0}\\V^{1}\\V^{2}\\V^{3}\end{pmatrix}}=U^{0}V^{0}-U^{1}V^{1}-U^{2}V^{2}-U^{3}V^{3}

{\ displaystyle \ mathbf {U \ cdot V} = g _ {\ mu \ nu} U ^ {\ mu} V ^ {\ nu} = {\ begin {pmatrix} U ^ {0} & U ^ {1} & U ^ {2} & U ^ {3} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} V ^ {0} \\ V ^ {1} \\ V ^ {2} \\ V ^ {3} \ end {pmatrix}} = U ^ {0} V ^ {0} -U ^ {1} V ^ {1} -U ^ {2} V ^ {2} -U ^ {3} V ^ {3}}

{\ displaystyle \ mathbf {U \ cdot V} = g _ {\ mu \ nu} U ^ {\ mu} V ^ {\ nu} = {\ begin {pmatrix} U ^ {0} & U ^ {1} & U ^ {2} & U ^ {3} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} V ^ {0} \\ V ^ {1} \\ V ^ {2} \\ V ^ {3} \ end {pmatrix}} = U ^ {0} V ^ {0} -U ^ {1} V ^ {1} -U ^ {2} V ^ {2} -U ^ {3} V ^ {3}}

Produsul scalar astfel definit este invariant sub schimbarea coordonatelor și poate fi scris ca:

\mathbf {U\cdot V} =U^{*}(\mathbf {V} )=U{_{\nu }}V^{\nu }

{\ displaystyle \ mathbf {U \ cdot V} = U ^ {*} (\ mathbf {V}) = U {_ {\ nu}} V ^ {\ nu}}

{\ displaystyle \ mathbf {U \ cdot V} = U ^ {*} (\ mathbf {V}) = U {_ {\ nu}} V ^ {\ nu}}

Normă

Același subiect în detaliu: Norma (matematică) .

În spațiul Minkowski norma pătratică a unui vector cu patru este definită ca: ^[5]

\left|\mathbf {A} \right|^{2}=-{{A}^{0}}^{2}+{{A}^{1}}^{2}+{{A}^{2}}^{2}+{{A}^{3}}^{2}

{\ displaystyle \ left | \ mathbf {A} \ right | ^ {2} = - {{A} ^ {0}} ^ {2} + {{A} ^ {1}} ^ {2} + {{ A} ^ {2}} ^ {2} + {{A} ^ {3}} ^ {2}}

{\ displaystyle \ left | \ mathbf {A} \ right | ^ {2} = - {{A} ^ {0}} ^ {2} + {{A} ^ {1}} ^ {2} + {{ A} ^ {2}} ^ {2} + {{A} ^ {3}} ^ {2}}

Modulul unui patru-vector este prin definiție invariant sub transformările Lorentz , adică este un scalar.

Genul celor patru vectori

Având în vedere un patru-vector $x^{\mu }=(ct,x^{1},x^{2},x^{3})\;$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} = (ct, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) \;}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} = (ct, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) \;}$ , modulul lor Lorentzian este definit de:

|x|^{2}=g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }

{\ displaystyle | x | ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} x ^ {\ mu} x ^ {\ nu}}

{\ displaystyle | x | ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} x ^ {\ mu} x ^ {\ nu}}

cu convenția lui Einstein privind suma indicilor repetați și unde matricea $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ este definit de:

g_{\mu \nu }={\begin{cases}1&{\mbox{se }}\mu =\nu =0;\\-1&{\mbox{se }}\mu =\nu =1,2,3;\\0&{\mbox{altrimenti.}}\end{cases}}

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {se}} \ mu = \ nu = 0; \\ - 1 & {\ mbox {se}} \ mu = \ nu = 1,2,3; \\ 0 & {\ mbox {altfel.}} \ End {cases}}}

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {se}} \ mu = \ nu = 0; \\ - 1 & {\ mbox {se}} \ mu = \ nu = 1,2,3; \\ 0 & {\ mbox {altfel.}} \ End {cases}}}

Spre deosebire de cazul euclidian, prin urmare, se pot distinge trei tipuri diferite de vectori:

Un patru-vector este numit spațiu ca patru vectori sau Tastați spațiu dacă $\mathbf {|} x|^{2}<0$ ${\ displaystyle \ mathbf {|} x | ^ {2} <0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {|} x | ^ {2} <0}$ .
Un patru-vector se spune cu patru vectori în timp sau tip de timp dacă $\mathbf {|} x|^{2}>0$ ${\ displaystyle \ mathbf {|} x | ^ {2}> 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {|} x | ^ {2}> 0}$ .
Se spune că un vector cu patru vectori este nul , izotrop sau de gen ușor dacă $\mathbf {|} x|^{2}=0$ ${\ displaystyle \ mathbf {|} x | ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {|} x | ^ {2} = 0}$ .

Genul este invariant în ceea ce privește transformările Lorentz .

Notă

^ Jean-Bernard Zuber și Claude Itzykson, Quantum Field Theory , pg 5, ISBN 0-07-032071-3
^ Charles W. Misner , Kip S. Thorne și John A. Wheeler , Gravitation , pg 51, ISBN 0-7167-0344-0
^ George Sterman , An Introduction to Quantum Field Theory , pg 4, ISBN 0-521-31132-2
^ Se pot utiliza indici latini sau greci; există două convenții opuse conform cărora indicele grecesc ia valorile 0,1,2,3 și cea latină doar valorile „spațiale” 1,2,3 sau invers.
^ Aici folosim convenția semnului (-, +, +, +) pentru metrică.

Bibliografie

Richard Feynman , The physics of Feynman , Bologna, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8 . :
- Vol I, alin. 15-7: Cadrivectori
- Vol I, alin. 17-4: Încă pe patru-vector
- Vol I, alin. 17-5: Algebra celor patru vectori
- Vol I, alin. 17-5: Algebra celor patru vectori
- Vol I, alin. 34-7: Patrul vector ω, k
- Vol II, cap. 25: Electrodinamica în notație relativistă
- Vol II, cap. 26: Transformarea Lorentz a câmpurilor

( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .

Elemente conexe

Portalul relativității : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de relativitate

[1] Jean-Bernard Zuber și Claude Itzykson, Quantum Field Theory , pg 5, ISBN 0-07-032071-3

[2] Charles W. Misner , Kip S. Thorne și John A. Wheeler , Gravitation , pg 51, ISBN 0-7167-0344-0

[3] George Sterman , An Introduction to Quantum Field Theory , pg 4, ISBN 0-521-31132-2

[4] ^ Se pot utiliza indici latini sau greci; există două convenții opuse conform cărora indicele grecesc ia valorile 0,1,2,3 și cea latină doar valorile „spațiale” 1,2,3 sau invers.

[5] Aici folosim convenția semnului (-, +, +, +) pentru metrică.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]