Quadrimpulse

În relativitatea specială, impulsul cu patru este generalizarea cu patru vectori a impulsului mecanicii clasice , adică un vector al spațiu-timpului cu patru dimensiuni întotdeauna tangent la traiectoria sau linia universului unei particule.

Ca pentru orice patru-vectori, este posibil să se distingă componentele spațiale de cea temporală: într-un sistem de coordonate ortonormale partea spațială a celor patru impulsuri este formată din componentele impulsului obișnuit înmulțit cu factorul Lorentz , în timp ce partea temporală este dată de energia particulei împărțită la viteza luminii .

Definiție

Dat fiind o particulă cu viteză $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$ , patru impulsuri corespunzătoare sunt date de: ^[1]

p^{\mu }={\begin{pmatrix}p^{0}\\p^{1}\\p^{2}\\p^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\p^{1}\\p^{2}\\p^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma mc\\\gamma p^{x}\\\gamma p^{y}\\\gamma p^{z}\end{pmatrix}}=m\gamma {\begin{pmatrix}c\\v^{x}\\v^{y}\\v^{z}\end{pmatrix}}:=mu^{\mu }

{\ displaystyle p ^ {\ mu} = {\ begin {pmatrix} p ^ {0} \\ p ^ {1} \\ p ^ {2} \\ p ^ {3} \ end {pmatrix}} = { \ begin {pmatrix} E / c \\ p ^ {1} \\ p ^ {2} \\ p ^ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma mc \\\ gamma p ^ {x} \\\ range p ^ {y} \\\ range p ^ {z} \ end {pmatrix}} = m \ range {\ begin {pmatrix} c \\ v ^ {x} \\ v ^ {y} \\ v ^ {z} \ end {pmatrix}}: = mu ^ {\ mu}}

{\ displaystyle p ^ {\ mu} = {\ begin {pmatrix} p ^ {0} \\ p ^ {1} \\ p ^ {2} \\ p ^ {3} \ end {pmatrix}} = { \ begin {pmatrix} E / c \\ p ^ {1} \\ p ^ {2} \\ p ^ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma mc \\\ gamma p ^ {x} \\\ range p ^ {y} \\\ range p ^ {z} \ end {pmatrix}} = m \ range {\ begin {pmatrix} c \\ v ^ {x} \\ v ^ {y} \\ v ^ {z} \ end {pmatrix}}: = mu ^ {\ mu}}

unde este $u^{\mu }=(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3})=\gamma (c,\mathbf {v} )$ ${\ displaystyle u ^ {\ mu} = (u ^ {0}, u ^ {1}, u ^ {2}, u ^ {3}) = \ gamma (c, \ mathbf {v})}$ ${\ displaystyle u ^ {\ mu} = (u ^ {0}, u ^ {1}, u ^ {2}, u ^ {3}) = \ gamma (c, \ mathbf {v})}$ sunt componentele celor patru trepte , $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este masa în repaus , $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este factorul Lorentz , $\mathbf {v} =(v^{x},v^{y},v^{z})$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = (v ^ {x}, v ^ {y}, v ^ {z})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = (v ^ {x}, v ^ {y}, v ^ {z})}$ Și $\mathbf {p} =(p^{x},p^{y},p^{z})$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = (p ^ {x}, p ^ {y}, p ^ {z})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = (p ^ {x}, p ^ {y}, p ^ {z})}$ sunt vectorii tridimensionali obișnuiți viteza și impulsul , și c este viteza luminii . Componentele spațiale ale $p^{\mu }$ ${\ displaystyle p ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle p ^ {\ mu}}$ ele sunt deci componentele impulsului clasic $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ înmulțit cu factorul $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ .

Derivare

Este $x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} = (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (ct, x, y, z)}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} = (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (ct, x, y, z)}$ poziția cu patru vectori , care identifică poziția particulei față de un sistem de referință inerțial , sistemul de laborator . Diferențiat avem:

{\mbox{d}}x^{\mu }={\begin{pmatrix}c{\mbox{d}}t\\{\mbox{d}}x\\{\mbox{d}}y\\{\mbox{d}}z\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ mbox {d}} x ^ {\ mu} = {\ begin {pmatrix} c {\ mbox {d}} t \\ {\ mbox {d}} x \\ {\ mbox {d} } y \\ {\ mbox {d}} z \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ mbox {d}} x ^ {\ mu} = {\ begin {pmatrix} c {\ mbox {d}} t \\ {\ mbox {d}} x \\ {\ mbox {d} } y \\ {\ mbox {d}} z \ end {pmatrix}}}

Timpul adecvat este timpul pe care un ceas plasat pe o particulă în mișcare variabilă în spațiu-timp l- ar măsura ca și cum s-ar mișca într-o mișcare rectilinie uniformă. În simboluri:

({\mbox{d}}\tau )^{2}:=-{\frac {({\mbox{d}}s)^{2}}{c^{2}}}=-{\frac {\eta _{\mu \nu }{\mbox{d}}x^{\mu }{\mbox{d}}x^{\nu }}{c^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}({c^{2}{\mbox{d}}t^{2}-{\mbox{d}}x^{2}-{\mbox{d}}y^{2}-{\mbox{d}}z^{2}})=

{\ displaystyle ({\ mbox {d}} \ tau) ^ {2}: = - {\ frac {({\ mbox {d}} s) ^ {2}} {c ^ {2}}} = - {\ frac {\ eta _ {\ mu \ nu} {\ mbox {d}} x ^ {\ mu} {\ mbox {d}} x ^ {\ nu}} {c ^ {2}}} = { \ frac {1} {c ^ {2}}} ({c ^ {2} {\ mbox {d}} t ^ {2} - {\ mbox {d}} x ^ {2} - {\ mbox { d}} y ^ {2} - {\ mbox {d}} z ^ {2}}) =}

{\ displaystyle ({\ mbox {d}} \ tau) ^ {2}: = - {\ frac {({\ mbox {d}} s) ^ {2}} {c ^ {2}}} = - {\ frac {\ eta _ {\ mu \ nu} {\ mbox {d}} x ^ {\ mu} {\ mbox {d}} x ^ {\ nu}} {c ^ {2}}} = { \ frac {1} {c ^ {2}}} ({c ^ {2} {\ mbox {d}} t ^ {2} - {\ mbox {d}} x ^ {2} - {\ mbox { d}} y ^ {2} - {\ mbox {d}} z ^ {2}}) =}

={\mbox{d}}t^{2}\left(1-{\frac {(v^{x})^{2}+(v^{y})^{2}+(v^{z})^{2}}{c^{2}}}\right)={\frac {{\mbox{d}}t^{2}}{\gamma ^{2}}}

{\ displaystyle = {\ mbox {d}} t ^ {2} \ left (1 - {\ frac {(v ^ {x}) ^ {2} + (v ^ {y}) ^ {2} + ( v ^ {z}) ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) = {\ frac {{\ mbox {d}} t ^ {2}} {\ gamma ^ {2}}}}

{\ displaystyle = {\ mbox {d}} t ^ {2} \ left (1 - {\ frac {(v ^ {x}) ^ {2} + (v ^ {y}) ^ {2} + ( v ^ {z}) ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) = {\ frac {{\ mbox {d}} t ^ {2}} {\ gamma ^ {2}}}}

unde este $\eta _{\mu \nu }$ ${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$ indică tensorul metric al spațiului-timp al lui Minkowski , folosind semnătura $(-,+,+,+)$ ${\ displaystyle (-, +, +, +)}$ ${\ displaystyle (-, +, +, +)}$ . Prin urmare, avem:

{\mbox{d}}\tau ={\frac {{\mbox{d}}t}{\gamma }}\qquad {\mbox{d}}t=\gamma {\mbox{d}}\tau

{\ displaystyle {\ mbox {d}} \ tau = {\ frac {{\ mbox {d}} t} {\ gamma}} \ qquad {\ mbox {d}} t = \ gamma {\ mbox {d} } \ tau}

{\ displaystyle {\ mbox {d}} \ tau = {\ frac {{\ mbox {d}} t} {\ gamma}} \ qquad {\ mbox {d}} t = \ gamma {\ mbox {d} } \ tau}

Timpul adecvat este o cantitate care vă permite să parametrizați traiectoria unui corp, deoarece este un invariant sub transformările Lorentz (deoarece $({\mbox{d}}\tau )^{2}$ ${\ displaystyle ({\ mbox {d}} \ tau) ^ {2}}$ ${\ displaystyle ({\ mbox {d}} \ tau) ^ {2}}$ este proporțional cu $({\mbox{d}}s)^{2}$ ${\ displaystyle ({\ mbox {d}} s) ^ {2}}$ ${\ displaystyle ({\ mbox {d}} s) ^ {2}}$ ).

Cele patru trepte sunt date de:

u^{\mu }={\frac {{\mbox{d}}x^{\mu }}{{\mbox{d}}\tau }}

{\ displaystyle u ^ {\ mu} = {\ frac {{\ mbox {d}} x ^ {\ mu}} {{\ mbox {d}} \ tau}}}

{\ displaystyle u ^ {\ mu} = {\ frac {{\ mbox {d}} x ^ {\ mu}} {{\ mbox {d}} \ tau}}}

și folosind formula de derivare a compusului poate fi exprimată în funcție de viteza obișnuită $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ :

u^{\mu }:={\frac {{\mbox{d}}x^{\mu }}{{\mbox{d}}\tau }}={\frac {{\mbox{d}}x^{\mu }}{{\mbox{d}}t}}{\frac {{\mbox{d}}t}{{\mbox{d}}\tau }}=\gamma {\frac {{\mbox{d}}x^{\mu }}{{\mbox{d}}t}}=\gamma {\begin{pmatrix}c\\v^{x}\\v^{y}\\v^{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma c\\\gamma v^{x}\\\gamma v^{y}\\\gamma v^{z}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle u ^ {\ mu}: = {\ frac {{\ mbox {d}} x ^ {\ mu}} {{\ mbox {d}} \ tau}} = {\ frac {{\ mbox { d}} x ^ {\ mu}} {{\ mbox {d}} t}} {\ frac {{\ mbox {d}} t} {{\ mbox {d}} \ tau}} = \ gamma { \ frac {{\ mbox {d}} x ^ {\ mu}} {{\ mbox {d}} t}} = \ gamma {\ begin {pmatrix} c \\ v ^ {x} \\ v ^ { y} \\ v ^ {z} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma c \\\ gamma v ^ {x} \\\ gamma v ^ {y} \\\ gamma v ^ { z} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle u ^ {\ mu}: = {\ frac {{\ mbox {d}} x ^ {\ mu}} {{\ mbox {d}} \ tau}} = {\ frac {{\ mbox { d}} x ^ {\ mu}} {{\ mbox {d}} t}} {\ frac {{\ mbox {d}} t} {{\ mbox {d}} \ tau}} = \ gamma { \ frac {{\ mbox {d}} x ^ {\ mu}} {{\ mbox {d}} t}} = \ gamma {\ begin {pmatrix} c \\ v ^ {x} \\ v ^ { y} \\ v ^ {z} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma c \\\ gamma v ^ {x} \\\ gamma v ^ {y} \\\ gamma v ^ { z} \ end {pmatrix}}}

Prin urmare, cantitatea de mișcare este definită, în mod similar cu echivalentul clasic, ca produsul între patru viteze și masa în repaus. $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ a corpului.

Quadrimpulse este definit ca quadforce .

Conservarea Energiei

Energia unei particule este definită ca viteza luminii înmulțită cu componenta temporală a celor patru impulsuri $(p^{0}=\gamma mc,\mathbf {p} =\gamma m\mathbf {u} )$ ${\ displaystyle (p ^ {0} = \ gamma mc, \ mathbf {p} = \ gamma m \ mathbf {u})}$ ${\ displaystyle (p ^ {0} = \ gamma mc, \ mathbf {p} = \ gamma m \ mathbf {u})}$ , adică: ^[1]

E=\gamma mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}

{\ displaystyle E = \ gamma mc ^ {2} = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} }

{\ displaystyle E = \ gamma mc ^ {2} = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} }

și este o cantitate care depinde de viteză $|\mathbf {u} |=u$ ${\ displaystyle | \ mathbf {u} | = u}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {u} | = u}$ . Analizând împrăștierea elastică între două particule identice și extinzând energia sistemului din seria Taylor cu unghiuri mici, putem demonstra că dacă energia este conservată atunci: ^[2]

E(u)={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}+E(0)-mc^{2}

{\ displaystyle E (u) = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} + E (0) -mc ^ {2}}

{\ displaystyle E (u) = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} + E (0) -mc ^ {2}}

Aceasta este extensia relativistă a energiei cinetice , plus o cantitate constantă de energie egală cu $E(0)=mc^{2}$ ${\ displaystyle E (0) = mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle E (0) = mc ^ {2}}$ , care reprezintă energia în repaus a particulei, care poate fi interpretată ca energia pe care o posedă particula staționară datorită faptului că are masă.

Viteza este exprimată în termeni de patru impulsuri cu relația:

\mathbf {u} ={\frac {c^{2}\mathbf {p} }{E}}

{\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ frac {c ^ {2} \ mathbf {p}} {E}}}

{\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ frac {c ^ {2} \ mathbf {p}} {E}}}

și prin faptul că cantitatea:

(p^{0})^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} =(mc)^{2}

{\ displaystyle (p ^ {0}) ^ {2} - \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p} = (mc) ^ {2}}

{\ displaystyle (p ^ {0}) ^ {2} - \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p} = (mc) ^ {2}}

este invariant, rezultă că:

E={\sqrt {c^{2}p^{2}+m^{2}c^{4}}}

{\ displaystyle E = {\ sqrt {c ^ {2} p ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}}}

{\ displaystyle E = {\ sqrt {c ^ {2} p ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}}}

Pătrat standard

În spațiul-timp Minkowski norma unui patru-vector este un invariant Lorentz :

\|\mathbf {p} \|^{2}=p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}\gamma ^{2}(-c^{2}+((v^{x})^{2}+(v^{y})^{2}+(v^{z})^{2}))=-m^{2}{\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}(c^{2}-v^{2})=-m^{2}c^{2}.

{\ displaystyle \ | \ mathbf {p} \ | ^ {2} = p ^ {\ mu} p _ {\ mu} = m ^ {2} \ gamma ^ {2} (- c ^ {2} + ( (v ^ {x}) ^ {2} + (v ^ {y}) ^ {2} + (v ^ {z}) ^ {2})) = - m ^ {2} {\ frac {c ^ {2}} {c ^ {2} -v ^ {2}}} (c ^ {2} -v ^ {2}) = - m ^ {2} c ^ {2}.}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {p} \ | ^ {2} = p ^ {\ mu} p _ {\ mu} = m ^ {2} \ gamma ^ {2} (- c ^ {2} + ( (v ^ {x}) ^ {2} + (v ^ {y}) ^ {2} + (v ^ {z}) ^ {2})) = - m ^ {2} {\ frac {c ^ {2}} {c ^ {2} -v ^ {2}}} (c ^ {2} -v ^ {2}) = - m ^ {2} c ^ {2}.}

Echivalent:

-\|\mathbf {P} \|^{2}=-P^{\mu }P_{\mu }=-\eta _{\mu \nu }P^{\mu }P^{\nu }={E^{2} \over c^{2}}-|{\vec {p}}|^{2}=m^{2}c^{2}

{\ displaystyle - \ | \ mathbf {P} \ | ^ {2} = - P ^ {\ mu} P _ {\ mu} = - \ eta _ {\ mu \ nu} P ^ {\ mu} P ^ {\ nu} = {E ^ {2} \ over c ^ {2}} - | {\ vec {p}} | ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2}}

{\ displaystyle - \ | \ mathbf {P} \ | ^ {2} = - P ^ {\ mu} P _ {\ mu} = - \ eta _ {\ mu \ nu} P ^ {\ mu} P ^ {\ nu} = {E ^ {2} \ over c ^ {2}} - | {\ vec {p}} | ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2}}

Această ultimă cantitate coincide cu masa invariantă a sistemului. Rezultatul este previzibil având în vedere faptul că viteza patru-vector are o normă pătrată $-c^{2}$ ${\ displaystyle -c ^ {2}}$ ${\ displaystyle -c ^ {2}}$ iar impulsul cu patru este o viteză cu patru vectori pentru un scalar $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ . Norma pătrată negativă implică faptul că viteza și impulsul cu patru vectori sunt de tipul timpului și schimbarea semnului în semnătură $(+,-,-,-)$ ${\ displaystyle (+, -, -, -)}$ ${\ displaystyle (+, -, -, -)}$ norma pătrată schimbă semnul.

Conservarea quadrimpulsei

Conservarea celor patru impulsuri în sisteme izolate este unul dintre principiile fundamentale ale dinamicii relativiste. Acesta include, pentru viteze mici, legile clasice ale conservării energiei și impulsului: energia totală este conservată, egală cu $p^{0}c$ ${\ displaystyle p ^ {0} c}$ ${\ displaystyle p ^ {0} c}$ iar impulsul sistemului este conservat, egal cu componentele spațiale ale celor patru vectori.

Dacă masa nu se schimbă, produsul interior din spațiul-timp Minkowski între patru impulsuri și relativul de patru accelerații $A^{\mu }$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$ $A ^ {\ mu}$ este nul. De fapt, accelerația este proporțională cu derivata celor patru impulsuri în raport cu timpul adecvat, împărțită la masa particulei și, prin urmare:

P^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }P^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }P^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {P^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}(-m^{2}c^{2})=0

{\ displaystyle P ^ {\ mu} A _ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} P ^ {\ mu} A ^ {\ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} P ^ { \ mu} {\ frac {d} {d \ tau}} {\ frac {P ^ {\ nu}} {m}} = {\ frac {1} {2m}} {\ frac {d} {d \ tau}} \ | \ mathbf {P} \ | ^ {2} = {\ frac {1} {2m}} {\ frac {d} {d \ tau}} (- m ^ {2} c ^ {2 }) = 0}

{\ displaystyle P ^ {\ mu} A _ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} P ^ {\ mu} A ^ {\ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} P ^ { \ mu} {\ frac {d} {d \ tau}} {\ frac {P ^ {\ nu}} {m}} = {\ frac {1} {2m}} {\ frac {d} {d \ tau}} \ | \ mathbf {P} \ | ^ {2} = {\ frac {1} {2m}} {\ frac {d} {d \ tau}} (- m ^ {2} c ^ {2 }) = 0}

Rețineți că masa în repaus poate să nu fie conservată, în timp ce masa relativistă (care nu este altceva decât energie) este conservată. De exemplu, în timpul unei coliziuni între particule subatomice , dacă două particule de mase egale în repaus $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ călătorind unul a $0.5c$ ${\ displaystyle 0.5c}$ ${\ displaystyle 0.5c}$ iar cealaltă în sens opus a $0.66c$ ${\ displaystyle 0.66c}$ ${\ displaystyle 0.66c}$ fuzionați în impact într-o singură particulă, aceasta va călători cu o viteză egală cu $0.127c$ ${\ displaystyle 0.127c}$ ${\ displaystyle 0.127c}$ și va avea o masă $M=2.476m$ ${\ displaystyle M = 2.476m}$ ${\ displaystyle M = 2.476m}$ , mult mai mare decât suma maselor inițiale. Pe de altă parte, suma celor două mase relativiste, fiecare egală cu $1.154m$ ${\ displaystyle 1.154m}$ ${\ displaystyle 1.154m}$ Și $1.342m$ ${\ displaystyle 1.342m}$ ${\ displaystyle 1.342m}$ asigură direct masa relativistă a particulei rezultate $2.496m$ ${\ displaystyle 2.496m}$ ${\ displaystyle 2.496m}$ , corect egal cu masa în repaus înmulțită cu factorul relativ Lorentz (aproximativ 1,0081).

Notă

^ ^a ^b Jackson , p. 537 .
^ Jackson , p. 536 .

Bibliografie

( EN ) John D Jackson, Classical Electrodynamics , ed. A III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
(EN) Artin, Emil, Geometric Algebra, New York, Wiley, 1957, ISBN 0-471-60839-4 . Vezi Capitolul III pentru grupurile ortogonale O (p, q).
( EN ) Carmeli, Moshe, Theory Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and their Applications to the Gravitational Field , McGraw-Hill, New York, 1977, ISBN 0-07-009986-3 . O referință canonică; vezi capitolele 1-6 pentru reprezentări ale grupului Lorentz.
( EN ) Frankel, Theodore, The Geometry of Physics (Ediția a II-a) , Cambridge, Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-53927-7 . O resursă excelentă pentru teoria Lie, pachete de fibre, acoperiri spinoriale și multe alte subiecte.
( EN ) Hall, GS, Symmetries and Curvature Structure in General Relativity , Singapore, World Scientific, 2004, ISBN 981-02-1051-5 . Vezi Capitolul 6 pentru subalgebrele algebrei Lie a grupului Lorentz.
(EN) Hatcher, Allen, Topologie algebrică, Cambridge, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79540-0 . Vezi și versiunea online , la math.cornell.edu . Adus pe 3 iulie . Vezi Secțiunea 1.3 pentru o discuție frumos ilustrată despre acoperirea spațiilor. A se vedea secțiunea 3D pentru topologia grupurilor de rotație.
( EN ) Naber, Gregory, The Geometry of Minkowski Spacetime , New York, Springer-Verlag, 1992, ISBN 0-486-43235-1 , (ediția de reeditare Dover). O referință excelentă despre spațiu-timp Minkowski și grupul Lorentz.
(EN) Needham, Tristam, Visual Complex Analysis, Oxford, Oxford University Press, 1997, ISBN 0-19-853446-9 . Vezi Capitolul 3 pentru o discuție superb ilustrată despre transformările lui Möbius.

Elemente conexe

Portalul relativității : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de relativitate

[Jackson_537-1] Jackson , p. 537 .

[2] Jackson , p. 536 .

[1]

[2]