Quadriforce

În teoria relativității , forța patru este un vector patru care înlocuiește forța clasică.

În relativitatea specială

Forța patru este definită ca rata de schimbare a impulsului patru - o particulă în raport cu timpul propriu al particulei:

\mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {P}  \over \mathrm {d} \tau }

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ mathrm {d} \ mathbf {P} \ over \ mathrm {d} \ tau}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ mathrm {d} \ mathbf {P} \ over \ mathrm {d} \ tau}}

.

Pentru o particulă cu masă de repaus constantă $m>0$ ${\ displaystyle m> 0}$ ${\ displaystyle m> 0}$ , $P^{\mu }=mU^{\mu }$ ${\ displaystyle P ^ {\ mu} = mU ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle P ^ {\ mu} = mU ^ {\ mu}}$ unde este $U^{\mu }=\gamma (c,\mathbf {u} )$ ${\ displaystyle U ^ {\ mu} = \ gamma (c, \ mathbf {u})}$ ${\ displaystyle U ^ {\ mu} = \ gamma (c, \ mathbf {u})}$ este cu patru viteze , prin urmare forța cu patru poate fi corelată cu cea cu patru accelerații $A^{\mu }$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$ $A ^ {\ mu}$ ca în a doua lege a lui Newton :

\mathbf {F} =m\mathbf {A} =\left(\gamma {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}  \over c},\gamma {\mathbf {f} }\right)

{\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {A} = \ left (\ gamma {\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u} \ over c}, \ gamma {\ mathbf {f}} \ right )}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {A} = \ left (\ gamma {\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u} \ over c}, \ gamma {\ mathbf {f}} \ right )}}

.

unde este

{\mathbf {f} }={\mathrm {d}  \over \mathrm {d} t}\left(\gamma m{\mathbf {u} }\right)={\mathrm {d} \mathbf {p}  \over \mathrm {d} t}

{\ displaystyle {\ mathbf {f}} = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ left (\ gamma m {\ mathbf {u}} \ right) = {\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ over \ mathrm {d} t}}

{\ displaystyle {\ mathbf {f}} = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ left (\ gamma m {\ mathbf {u}} \ right) = {\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ over \ mathrm {d} t}}

Și

{\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }={\mathrm {d}  \over \mathrm {d} t}\left(\gamma mc^{2}\right)={\mathrm {d} E \over \mathrm {d} t}.

{\ displaystyle {\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}} = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ left (\ gamma mc ^ {2} \ right) = {\ mathrm {d} Este \ over \ mathrm {d} t}.}

{\ displaystyle {\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}} = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ left (\ gamma mc ^ {2} \ right) = {\ mathrm {d} Este \ over \ mathrm {d} t}.}

unde este $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ , $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ Și $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf {f}$ sunt vectori în spațiul 3d care descriu respectiv viteza, impulsul particulei și forța care acționează asupra ei.

Cu interacțiuni termodinamice

Din formulele secțiunii anterioare, se pare că componenta temporală a celor patru forțe este puterea consumată $\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ , în afară de corecții $\gamma /c$ ${\ displaystyle \ gamma / c}$ ${\ displaystyle \ gamma / c}$ . Acest lucru este valabil numai în situații pur mecanice, în care schimburile de căldură sunt zero sau neglijabile.

În cazul termodinamic, nu numai funcționarea , ci și căldura contribuie la variația energiei, care este componenta temporală a celor patru impulsuri . Componenta de timp a celor patru forțe în acest caz include o rată de încălzire $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , pe lângă putere $\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ . ^[1] Rețineți că munca și căldura nu pot fi separate, deoarece ambele aduc inerție. ^[2] Acest fapt se extinde și la forțele de contact, adică tensorul energie-impuls .^[3]

Prin urmare, în situații termomecanice componenta de timp nu este proporțională cu puterea $\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ dar are o expresie mai generică, care trebuie determinată caz de caz, care reprezintă cantitatea de energie internă din combinația de muncă și căldură, ^[2] ^[1] ^[4]^[3] și care la limita newtoniană devine $h+\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$ ${\ displaystyle h + \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle h + \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$ .

În relativitatea generală

În relativitatea generală , relația dintre forța patru și accelerația patru este aceeași, dar elementele forței patru sunt legate de elementele celor patru - impuls de o derivată covariantă în ceea ce privește timpul potrivit.

F^{\lambda }:={\frac {DP^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dP^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }P^{\nu }

{\ displaystyle F ^ {\ lambda}: = {\ frac {DP ^ {\ lambda}} {d \ tau}} = {\ frac {dP ^ {\ lambda}} {d \ tau}} + \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} U ^ {\ mu} P ^ {\ nu}}

{\ displaystyle F ^ {\ lambda}: = {\ frac {DP ^ {\ lambda}} {d \ tau}} = {\ frac {dP ^ {\ lambda}} {d \ tau}} + \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} U ^ {\ mu} P ^ {\ nu}}

Mai mult, forța poate fi formulată folosind conceptul de transformări de coordonate între diferite sisteme de coordonate. Se presupune că expresia corectă este cunoscută pentru forța dintr-un sistem de coordonate în care particula este momentan în repaus. Apoi se poate face o transformare într-un alt sistem pentru a obține expresia corespunzătoare pentru forță. ^[5] În relativitatea specială, transformarea va fi o transformare Lorentz între sistemele de coordonate care se deplasează cu o viteză relativă constantă, în timp ce în relativitatea generală va fi o transformare generică a coordonatelor.

Luați în considerare forța cu patru $F^{\mu }=(F^{0},\mathbf {F} )$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu} = (F ^ {0}, \ mathbf {F})}$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu} = (F ^ {0}, \ mathbf {F})}$ acționând asupra unei particule de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ care se află momentan în repaus într-un sistem de coordonate. Forța relativistă $f^{\mu }$ ${\ displaystyle f ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle f ^ {\ mu}}$ într-un alt sistem de coordonate care se mișcă cu o viteză constantă $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ , relativ la cealaltă se obține cu o transformare Lorentz:

{\mathbf {f} }={\mathbf {F} }+(\gamma -1){\mathbf {v} }{{\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {F} } \over v^{2}},

{\ displaystyle {\ mathbf {f}} = {\ mathbf {F}} + (\ gamma -1) {\ mathbf {v}} {{\ mathbf {v}} \ cdot {\ mathbf {F}} \ peste v ^ {2}},}

{\ displaystyle {\ mathbf {f}} = {\ mathbf {F}} + (\ gamma -1) {\ mathbf {v}} {{\ mathbf {v}} \ cdot {\ mathbf {F}} \ peste v ^ {2}},}

f^{0}=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {F} ={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {f} .

{\ displaystyle f ^ {0} = \ gamma {\ boldsymbol {\ beta}} \ cdot \ mathbf {F} = {\ boldsymbol {\ beta}} \ cdot \ mathbf {f}.}

{\ displaystyle f ^ {0} = \ gamma {\ boldsymbol {\ beta}} \ cdot \ mathbf {F} = {\ boldsymbol {\ beta}} \ cdot \ mathbf {f}.}

unde este ${\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} = \ mathbf {v} / c}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} = \ mathbf {v} / c}$ .

În relativitatea generală , expresia forței devine

f^{\mu }=m{DU^{\mu } \over d\tau }

{\ displaystyle f ^ {\ mu} = m {DU ^ {\ mu} \ over d \ tau}}

{\ displaystyle f ^ {\ mu} = m {DU ^ {\ mu} \ over d \ tau}}

cu derivatul covariant $D/d\tau$ ${\ displaystyle D / d \ tau}$ ${\ displaystyle D / d \ tau}$ . Ecuația mișcării devine

$m{d^{2}x^{\mu } \over d\tau ^{2}}=f^{\mu }-m\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{dx^{\nu } \over d\tau }{dx^{\lambda } \over d\tau },$ ${\ displaystyle m {d ^ {2} x ^ {\ mu} \ over d \ tau ^ {2}} = f ^ {\ mu} -m \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ mu} { dx ^ {\ nu} \ over d \ tau} {dx ^ {\ lambda} \ over d \ tau},}$ ${\ displaystyle m {d ^ {2} x ^ {\ mu} \ over d \ tau ^ {2}} = f ^ {\ mu} -m \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ mu} { dx ^ {\ nu} \ over d \ tau} {dx ^ {\ lambda} \ over d \ tau},}$

unde este $\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ mu}}$ este un simbol al lui Christoffel . Dacă nu există forțe externe, aceasta devine ecuația geodeziei în spațiu-timp curbat . Al doilea termen din ecuația de mai sus joacă rolul unei forțe gravitaționale. De sine $f_{f}^{\alpha }$ ${\ displaystyle f_ {f} ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle f_ {f} ^ {\ alpha}}$ este expresia corectă a forței într-un sistem de cădere liberă $\xi ^{\alpha }$ ${\ displaystyle \ xi ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ xi ^ {\ alpha}}$ , putem folosi apoi principiul echivalenței pentru a scrie forța patru în coordonate arbitrare $x^{\mu }$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$ :

f^{\mu }={\partial x^{\mu } \over \partial \xi ^{\alpha }}f_{f}^{\alpha }.

{\ displaystyle f ^ {\ mu} = {\ partial x ^ {\ mu} \ over \ partial \ xi ^ {\ alpha}} f_ {f} ^ {\ alpha}.}

{\ displaystyle f ^ {\ mu} = {\ partial x ^ {\ mu} \ over \ partial \ xi ^ {\ alpha}} f_ {f} ^ {\ alpha}.}

Exemple

În relativitatea specială, forța Lorentz (cele patru forțe care acționează asupra particulelor încărcate situate într-un câmp electromagnetic) pot fi exprimate ca:

F_{\mu }=qF_{\mu \nu }U^{\nu }

{\ displaystyle F _ {\ mu} = qF _ {\ mu \ nu} U ^ {\ nu}}

{\ displaystyle F _ {\ mu} = qF _ {\ mu \ nu} U ^ {\ nu}}

,

unde este

$F_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle F _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle F _ {\ mu \ nu}}$ este tensorul electromagnetic ,
$U^{\nu }$ ${\ displaystyle U ^ {\ nu}}$ ${\ displaystyle U ^ {\ nu}}$ este e cu patru trepte
$q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este sarcina electrică .

Notă

^ ^a ^b Richard A. Grot și A. Cemal Eringen, Mecanica continuistică relativistă: Partea I - Mecanică și termodinamică , în Int. J. Engng Sci , vol. 4, nr. 6, 1966, pp. 611-638, 664, DOI : 10.1016 / 0020-7225 (66) 90008-5 .
^ ^a ^b Carl Eckart, Termodinamica proceselor ireversibile. III. Teoria relativistă a fluidului simplu , în Phys. Rev., voi. 58, nr. 10, 1940, pp. 919–924, Bibcode : 1940PhRv ... 58..919E , DOI : 10.1103 / PhysRev.58.919 .
^ ^a ^b CA Truesdell și RA Toupin, The Classical Field Theories , editat de S. Flügge, Encyclopedia of Physics, vol. III-1, Springer, 1960. §§152–154 și 288–289.
^ Gérard A. Maugin, Despre ecuațiile covariante ale electrodinamicii relativiste a continuelor. I. Ecuații generale , în J. Math. Fizic. , vol. 19, nr. 5, 1978, pp. 1198-1205, Bibcode : 1978JMP .... 19.1198M , DOI : 10.1063 / 1.523785 .
^ Weinberg Steven,Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity , John Wiley & Sons, Inc., 1972, ISBN 0-471-92567-5 .

Bibliografie

Wolfgang Rindler,Introducere în relativitatea specială , ediția a II-a, Oxford, Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-853953-3 .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[grotetal1966-1] Richard A. Grot și A. Cemal Eringen, Mecanica continuistică relativistă: Partea I - Mecanică și termodinamică , în Int. J. Engng Sci , vol. 4, nr. 6, 1966, pp. 611-638, 664, DOI : 10.1016 / 0020-7225 (66) 90008-5 .

[eckart1940-2] Carl Eckart, Termodinamica proceselor ireversibile. III. Teoria relativistă a fluidului simplu , în Phys. Rev., voi. 58, nr. 10, 1940, pp. 919–924, Bibcode : 1940PhRv ... 58..919E , DOI : 10.1103 / PhysRev.58.919 .

[truesdelletal1960-3] CA Truesdell și RA Toupin, The Classical Field Theories , editat de S. Flügge, Encyclopedia of Physics, vol. III-1, Springer, 1960. §§152–154 și 288–289.

[4] Gérard A. Maugin, Despre ecuațiile covariante ale electrodinamicii relativiste a continuelor. I. Ecuații generale , în J. Math. Fizic. , vol. 19, nr. 5, 1978, pp. 1198-1205, Bibcode : 1978JMP .... 19.1198M , DOI : 10.1063 / 1.523785 .

[5] Weinberg Steven,Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity , John Wiley & Sons, Inc., 1972, ISBN 0-471-92567-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]