Quadcurrent

În fizică , în special în electrodinamică , cvadricurentul este covariantul Lorentz cu patru vectori a cărui componentă de timp este densitatea sarcinii electrice, iar cea spațială este densitatea curentului electric.

Definiție

Currentul cvadru este un vector cu patru definite ca:

J^{a}=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)=\left(c\rho ,j^{1},j^{2},j^{3}\right)

{\ displaystyle J ^ {a} = \ left (c \ rho, \ mathbf {j} \ right) = \ left (c \ rho, j ^ {1}, j ^ {2}, j ^ {3} \ dreapta)}

{\ displaystyle J ^ {a} = \ left (c \ rho, \ mathbf {j} \ right) = \ left (c \ rho, j ^ {1}, j ^ {2}, j ^ {3} \ dreapta)}

unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii , $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ densitatea sarcinii e $\mathbf {j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$ densitatea curentului , în timp ce $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ denotă dimensiunile spațiu-timp .

Curentul cu patru viteze poate fi exprimat în funcție de viteza cu patru viteze $U^{\alpha }$ ${\ displaystyle U ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle U ^ {\ alpha}}$ ca: ^[1] ^[2]

J^{\alpha }=\rho _{0}U^{\alpha }=\rho {\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}U^{\alpha }

{\ displaystyle J ^ {\ alpha} = \ rho _ {0} U ^ {\ alpha} = \ rho {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} } U ^ {\ alpha}}

{\ displaystyle J ^ {\ alpha} = \ rho _ {0} U ^ {\ alpha} = \ rho {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} } U ^ {\ alpha}}

unde densitatea sarcinii $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este măsurată de un observator staționar care vede curentul electric mișcându-se în timp ce $\rho _{0}$ ${\ displaystyle \ rho _ {0}}$ $\ rho _ {0}$ este măsurată de un observator plasat în cadrul de referință în mișcarea sarcinilor, care se deplasează cu o viteză $u=\|\mathbf {u} \|$ ${\ displaystyle u = \ | \ mathbf {u} \ |}$ ${\ displaystyle u = \ | \ mathbf {u} \ |}$ egală cu norma componentei spațiale a $U^{\alpha }$ ${\ displaystyle U ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle U ^ {\ alpha}}$ .

Cadrul de curent poate fi definit și pentru o încărcare punctuală $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ în mișcare cu legea orară ${\vec {z}}(s)$ ${\ displaystyle {\ vec {z}} (s)}$ ${\ displaystyle {\ vec {z}} (s)}$ dacă presupunem că densitatea de încărcare asociată este:

\rho (\mathbf {x} )=q\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {z} (s))

{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {x}) = q \ delta ^ {(3)} (\ mathbf {x} - \ mathbf {z} (s))}

{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {x}) = q \ delta ^ {(3)} (\ mathbf {x} - \ mathbf {z} (s))}

unde simbolul $\delta ^{(3)}$ ${\ displaystyle \ delta ^ {(3)}}$ ${\ displaystyle \ delta ^ {(3)}}$ denotă distribuția tridimensională a Delta Dirac . În acest caz, avem asta, a spus $z^{\mu }(s)$ ${\ displaystyle z ^ {\ mu} (s)}$ ${\ displaystyle z ^ {\ mu} (s)}$ o componentă a parametrizării curbei universului a particulei, definiția corectă pentru curentul asociat cu aceasta este:

J^{\mu }(x)=cq\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dz^{\mu }(s)}{ds}}\delta ^{(4)}(x-z(s))ds

{\ displaystyle J ^ {\ mu} (x) = cq \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {dz ^ {\ mu} (s)} {ds}} \ delta ^ { (4)} (xz (s)) ds}

{\ displaystyle J ^ {\ mu} (x) = cq \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {dz ^ {\ mu} (s)} {ds}} \ delta ^ { (4)} (xz (s)) ds}

În această formulă, cantitățile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ar trebui înțeles ca patru-vector, în timp ce $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ este un parametru arbitrar.

În relativitatea generală , curentul cvadruplu este definit ca divergența vectorului de deplasare electromagnetică, dată de:

{\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\sqrt {-g}}\qquad J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }

{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu} \, = \, {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \, g ^ {\ mu \ alpha} \, F_ {\ alpha \ beta} \, g ^ {\ beta \ nu} \, {\ sqrt {-g}} \ qquad J ^ {\ mu} = \ partial _ {\ nu} {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu} \, = \, {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \, g ^ {\ mu \ alpha} \, F_ {\ alpha \ beta} \, g ^ {\ beta \ nu} \, {\ sqrt {-g}} \ qquad J ^ {\ mu} = \ partial _ {\ nu} {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu}}

Ecuația de continuitate

Același subiect în detaliu: ecuația continuității .

În relativitatea specială, legea conservării sarcinii, care în limita non-relativistă este exprimată prin ecuația continuității, ia următoarea formă tensorială: ^[3]

\partial _{\alpha }\cdot J=\partial _{a}J^{a}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0

{\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} \ cdot J = \ partial _ {a} J ^ {a} = {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j } = 0}

{\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} \ cdot J = \ partial _ {a} J ^ {a} = {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j } = 0}

unde este $\partial _{\alpha }$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ alpha}}$ este quadrigradientul , dat de:

\partial _{\alpha }\ =\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)\qquad \partial _{a}J^{a}=\sum _{i=0}^{3}\partial _{i}J^{i}

{\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} \ = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \ nabla \ right) \ qquad \ partial _ { a} J ^ {a} = \ sum _ {i = 0} ^ {3} \ partial _ {i} J ^ {i}}

{\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} \ = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \ nabla \ right) \ qquad \ partial _ { a} J ^ {a} = \ sum _ {i = 0} ^ {3} \ partial _ {i} J ^ {i}}

Ecuația de continuitate poate fi scrisă și ca:

J^{a}{}_{,a}=0

{\ displaystyle J ^ {a} {} _ {, a} = 0}

J ^ a {} _ {, a} = 0

unde este $;$ ${\ displaystyle;}$ $;$ denotă derivatul covariant .

Notă

^ Roald K. Wangsness, Câmpuri electromagnetice, ediția a II-a (1986), p. 518, 519
^ Melvin Schwartz, Principii de electrodinamică, ediția Dover (1987), p. 122, 123
^ Jackson , pagina 554 .

Bibliografie

Richard Feynman , The physics of Feynman , Bologna, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8 . :
- Vol II, alin. 13.7: Transformarea curenților și a sarcinilor
- Vol II, alin. 25-3: Gradientul cu patru dimensiuni

( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « quadricurrent »

linkuri externe

( EN ) Quadricorrente , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Roald K. Wangsness, Câmpuri electromagnetice, ediția a II-a (1986), p. 518, 519

[2] Melvin Schwartz, Principii de electrodinamică, ediția Dover (1987), p. 122, 123

[3] Jackson , pagina 554 .

[1]

[2]

[3]