Spațiul euclidian

Fiecare punct din spațiul euclidian tridimensional este determinat de trei coordonate.

În matematică , spațiul euclidian este un spațiu afinar în care ar trebui să folosiți axiomele și postulatele geometriei euclidiene . ^[1] Este spațiul tuturor n -uple ale numerelor reale , care este echipat cu un produs intern real ( produs scalar ) pentru a defini conceptele de distanță , lungime și unghi . ^[2] Este un exemplu particular de spațiu afin real care oferă o generalizare a spațiilor la două și trei dimensiuni studiate de geometria euclidiană. Spațiul euclidian este un spațiu hilbertian cu dimensiuni finite reale .

Spaţiu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

Având în vedere terenul $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ de numere reale , n este un număr natural . Un n-tuplu de numere reale este o secvență (adică un set ordonat) $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $(x_ {1}, \ ldots, x_ {n})$ n numere reale. Spațiul tuturor n -uplei numerelor reale formează un spațiu vectorial de dimensiune n pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , indicat cu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Operațiunile de sumă și produs la scară sunt definite de:

\mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})

{\ displaystyle \ mathbf {x} + \ mathbf {y} = (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, \ ldots, x_ {n} + y_ {n})}

{\ mathbf {x}} + {\ mathbf {y}} = (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, \ ldots, x_ {n} + y_ {n})

a\,\mathbf {x} =(ax_{1},ax_{2},\ldots ,ax_{n})

{\ displaystyle a \, \ mathbf {x} = (ax_ {1}, ax_ {2}, \ ldots, ax_ {n})}

a \, {\ mathbf {x}} = (ax_ {1}, ax_ {2}, \ ldots, ax_ {n})

Bazele spațiilor vectoriale

Același subiect în detaliu: de bază (algebră liniară) .

O bază de spațiu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ care prezintă diferite avantaje este așa-numita sa bază canonică :

\mathbf {e} _{1}=(1,0,\ldots ,0)

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = (1,0, \ ldots, 0)}

{\ mathbf {e}} _ {1} = (1,0, \ ldots, 0)

\mathbf {e} _{2}=(0,1,\ldots ,0)

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} = (0,1, \ ldots, 0)}

{\ mathbf {e}} _ {2} = (0,1, \ ldots, 0)

\vdots

{\ displaystyle \ vdots}

\ vdots

\mathbf {e} _{n}=(0,0,\ldots ,1)

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {n} = (0,0, \ ldots, 1)}

{\ mathbf {e}} _ {n} = (0,0, \ ldots, 1)

Un vector arbitrar în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ prin urmare, poate fi scris sub forma:

\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ mathbf {e} _ {i}}

{\ mathbf {x}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} {\ mathbf {e}} _ {i}

Spaţiu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ Este prototipul unei dimensiuni reale a spațiului vectorial n: fiecare spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ dimensiunea n este izomorfă pentru $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Observați că nu impune un izomorfism canonic : alegerea unui izomorfism $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Este echivalent cu alegerea unei baze pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . În multe faze ale dezvoltării algebrei liniare , n spațiile vectoriale dimensionale sunt încă studiate în abstract, deoarece multe considerații sunt mai simple și esențiale dacă sunt efectuate fără referire la o anumită bază.

Structura euclidiană

Spațiul euclidian este mai mult decât un spațiu vector. Pentru a obține geometria euclidiană trebuie să se poată vorbi despre distanțe și unghiuri , începând cu distanța dintre două puncte și unghiul format din două linii sau doi vectori. Modul intuitiv de a face acest lucru este introducerea a ceea ce se numește produs scalar standard pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Acest produs, dacă transportatorii $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Și $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ sunt referite la baza canonică definită mai sus, este definită de

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + \ cdots + x_ {n} y_ {n}}

{\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {y}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} y_ {i} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + \ cdots + x_ {n} y_ {n}

Spațiul de n -uple de numere reale îmbogățit cu produsul scalar, funcționează ca două n -uple de real $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Și $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ asociază un număr real, constituie o structură mai bogată decât $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ numit „spațiu euclidian” n-dimensional. Pentru a-l distinge de spațiul vectorial al n -uplei reale este de obicei notată $E^{n}$ ${\ displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ .

Produsul scalar vă permite să definiți o „lungime” non-negativă pentru fiecare vector $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ din $E^{n}$ ${\ displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ În felul următor:

\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ sqrt {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}}} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i}) ^ {2}}}}

\ | {\ mathbf {x}} \ | = {\ sqrt {{\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {x}}}} = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} (x_ {i}) ^ {2}}}

Această funcție de lungime îndeplinește proprietățile cerute pentru un standard și se numește normă euclidiană sau regulă a lui Pitagora $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Unghiul L (intern) $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ între doi vectori $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Și $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ din $E^{n}$ ${\ displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ prin urmare, este definit ca:

\theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)

{\ displaystyle \ theta = \ arccos \ left ({\ frac {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y}} {\ | \ mathbf {x} \ | \ | \ mathbf {y} \ |}} \ dreapta)}

\ theta = \ arccos \ left ({\ frac {{\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {y}}} {\ | {\ mathbf {x}} \ | \ | {\ mathbf {y}} \ |}} \ dreapta)

unde este $\arccos$ ${\ displaystyle \ arccos}$ $\ arccos$ Este funcția arccosine .

Cu aceste definiții baza canonică a spațiului vectorial $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ Devine o bază ortonormală pentru spațiul euclidian obținut prin îmbogățirea acestuia cu scara standard a produsului.

În acest moment puteți utiliza regula pentru a defini o distanță funcțională (sau metrică) a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ În felul următor:

d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

{\ displaystyle d (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ | = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -y_ {i}) ^ {2}}}}

d ({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {y}}) = \ | {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {y}} \ | = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} (x_ {i} -y_ {i}) ^ {2}}}

Forma acestei funcții de distanță se bazează pe teorema lui Pitagora și se numește metrica euclidiană .

Fiecare spațiu euclidian este astfel un exemplu (o dimensiune finită) spațiul Hilbert ( spațiul interior al produsului ), spațiul normat și spațiul metric .

Trebuie remarcat faptul că, în multe contexte, se notează spațiul euclidian n-dimensional $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , luând de la sine structura euclidiană. Într-adevăr, pentru multe scopuri de aplicare, distincția care a fost făcută nu este gravă și identificarea menționată mai sus este considerată un abuz de limbă venială. De fapt, noțiunile de sub-spațiu și transformare liniară pot fi introduse în spații euclidiene fără complicații în comparație cu ceea ce s-a făcut pentru spațiile vectoriale.

De asemenea, se remarcă faptul că fiecare subspatiu $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ m (<n) de dimensiune $E^{n}$ ${\ displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ Este izometrică față de spațiul euclidian $E^{m}$ ${\ displaystyle E ^ {m}}$ $E ^ {m}$ , Dar nu în mod canonic: pentru a stabili o corespondență utilizată pentru calcule este necesară alegerea unei baze ortonormale pentru $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ și asta, dacă este în $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ nici un vector al bazei canonice a $E^{n}$ ${\ displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ , nu poate folosi niciun element al acestei baze.

Generalizarea pe complexe

Același subiect în detaliu: spațiul interior al produsului .

Alături de spațiile reale euclidiene își pot introduce variantele pe numere complexe, îmbogățind spațiul vectorial n- dimensional pe câmpul complexului cu așa-numitul produs interior hermitian constă dintr-o formă sesquilineare .

În acest caz, produsul scalar dintre vectori este definit cu expresia:

(x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}^{*}

{\ displaystyle (x, y) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} ^ {*}}

(x, y) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} x_ {i} y _ {{i}} ^ {{*}}

Proprietatea reflexivă a acestei compoziții devine:

(x,y)=(y,x)^{*}

{\ displaystyle (x, y) = (y, x) ^ {*}}

(x, y) = (y, x) ^ {*}

iar pentru înmulțirea cu un scalar avem:

(x,\lambda y)=\lambda ^{*}(x,y)

{\ displaystyle (x, \ lambda y) = \ lambda ^ {*} (x, y)}

(x, \ lambda y) = \ lambda ^ {*} (x, y)

Topologia euclidiană

Deoarece spațiul euclidian este un spațiu metric , acesta poate fi considerat și un spațiu topologic dotat cu topologia naturală indusă de metrică. Acest lucru se poate face definind ca bază a seturilor deschise setul de bile deschise, seturi de puncte care sunt mai mici decât un real pozitiv fix (raza mingii) dintr-un punct dat. Prin aceste seturi deschise definim toate noțiunile care sunt necesare pentru topologia metrică su $E^{n}$ ${\ displaystyle E ^ {n}}$ $E ^ {n}$ . Aceasta se numește topologia euclidiană și se dovedește a fi echivalentă cu topologia produsului de pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ considerat ca produsul a n copii ale liniei reale $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ cu topologia sa obișnuită.

Cu „instrumentele” spațiilor vectoriale topologice, spațiile euclidiene sunt capabile să ofere mediile în care dezvoltă sistematic numeroase noțiuni de „ analiză matematică , geometria euclidiană , geometrie diferențială și fizică matematică clasică.

Invarianța domeniului

Un rezultat important pentru topologia $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este „ domeniile de invarianță din Brouwer . Fiecare subset de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ (cu topologia subspatiului ), homeomorf pentru un alt subset deschis de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , este el însuși deschis. O consecință imediată a acestui fapt este că $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ R ^ m$ nu este homeomorf a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ de sine $m\neq n$ ${\ displaystyle m \ neq n}$ $m \ neq n$ - un rezultat intuitiv „evident”, dar care este greu de demonstrat riguros.

Varietate și structuri exotice

Spațiul euclidian este prototipul soiurilor topologice și chiar varietate diferențiată . Cele două concepte sunt combinate în general, cu excepția mărimii 4: după cum arată Simon Donaldson și alții, puteți atribui toate ' împreună $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ a „structurilor diferențiale exotice”, care fac spațiul topologic $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ nu difeomorfo spațiul standard.

Notă

^ Enciclopedia Britanică - Spațiul euclidian
^ Edoardo Sernesi, Geometry 1 , Bollati Boringhieri, 1989, p. 227.

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
(EN) WW Rouse Ball ,A Short Account of the History of Mathematics , 4th, Dover Publications, 1960 [1908], pp. 50 -62, ISBN 0-486-20630-0 .
(EN) M. Berger, Geometry, I, Springer (1987)

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Space euclidean , of Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) ȘI Solomentsev, spațiul euclidian , în Enciclopedia Matematicii , Springer și Societatea Europeană de Matematică, 2002.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 27865 · GND (DE) 4309127-1 · BNF (FR) cb122864798 (data) · NDL (EN, JA) 00.562.065

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Enciclopedia Britanică - Spațiul euclidian

[2] Edoardo Sernesi, Geometry 1 , Bollati Boringhieri, 1989, p. 227.

[1]

[2]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema