Ecuațiile Hamilton

Ecuațiile lui Hamilton , în fizică și în special în reformularea mecanicii clasice dezvoltate de mecanica hamiltoniană , sunt ecuația mișcării pentru un sistem fizic, scris pornind de la o funcție numită hamiltoniană . Ele determină evoluția temporală a sistemului dinamic într-un mod echivalent cu legea lui Newton și ecuațiile Euler-Lagrange , din care sunt o rescriere obținută în urma unei schimbări particulare de variabile.

Ecuațiile

Hamiltonianul ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ a unui sistem dinamic este o funcție definită în spațiul de fază $\mathbb {R} ^{2n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$ compus din coordonatele generalizate $\mathbf {q} =(q_{1},\dots q_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, \ dots q_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, \ dots q_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ și din momentele respective conjugate:

\mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}}}

unde este ${\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t)}$ este Lagrangianul . Hamiltonianul este de obicei asociat cu energia totală a sistemului, suma energiei cinetice și a energiei potențiale . În unele cazuri, de exemplu, atunci când acționează forțe neconservatoare , este necesar să se folosească așa-numitele potențiale generalizate, iar Hamiltonianul pierde sensul fizic al energiei totale a sistemului.

Ecuațiile lui Hamilton sunt un sistem de ecuații diferențiale care asigură evoluția în timp a sistemului: ^[1] ^[2]

{\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{j}}}\qquad {\dot {q}}_{j}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{j}}}

{\ displaystyle {\ dot {p}} _ {j} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {j}}} \ qquad {\ dot {q}} _ { j} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {j}}}}

{\ displaystyle {\ dot {p}} _ {j} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {j}}} \ qquad {\ dot {q}} _ { j} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {j}}}}

adică:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {p} (t)=-{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}{\mathcal {H}}(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t),t)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {p} (t) = - {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {q}}} { \ mathcal {H}} (\ mathbf {q} (t), \ mathbf {p} (t), t)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {p} (t) = - {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {q}}} { \ mathcal {H}} (\ mathbf {q} (t), \ mathbf {p} (t), t)}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {q} (t)={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}{\mathcal {H}}(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t),t)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {q} (t) = {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {p}}} {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q} (t), \ mathbf {p} (t), t)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {q} (t) = {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {p}}} {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q} (t), \ mathbf {p} (t), t)}

Ecuațiile lui Hamilton sunt simetrice față de $p_{j}=p_{j}(t)$ ${\ displaystyle p_ {j} = p_ {j} (t)}$ ${\ displaystyle p_ {j} = p_ {j} (t)}$ Și $q_{j}=q_{j}(t)$ ${\ displaystyle q_ {j} = q_ {j} (t)}$ ${\ displaystyle q_ {j} = q_ {j} (t)}$ , și, prin urmare, swap $\pm q$ ${\ displaystyle \ pm q}$ ${\ displaystyle \ pm q}$ cu $\mp p$ ${\ displaystyle \ mp p}$ $\ mp p$ Și $\pm {\dot {q}}$ ${\ displaystyle \ pm {\ dot {q}}}$ ${\ displaystyle \ pm {\ dot {q}}}$ cu $\mp {\dot {p}}$ ${\ displaystyle \ mp {\ dot {p}}}$ ${\ displaystyle \ mp {\ dot {p}}}$ le lasă neschimbate.

Derivare

Având în vedere un sistem care are n grade de libertate descrise de un lagrangian ${\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t)}$ , Ecuația lui Newton pentru mișcarea sa este echivalentă cu ecuațiile Euler-Lagrange :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i} }} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i} }} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} = 0}

Aceeași problemă poate fi formulată luând coordonatele generalizate ca variabile independente $q_{1},\dots ,q_{n}$ ${\ displaystyle q_ {1}, \ dots, q_ {n}}$ ${\ displaystyle q_ {1}, \ dots, q_ {n}}$ și momente generalizate $\mathbf {p} =(p_{1},\dots ,p_{n})$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = (p_ {1}, \ dots, p_ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = (p_ {1}, \ dots, p_ {n})}$ , definit de $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i} = \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ displaystyle p_ {i} = \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial {\ dot {q}} _ {i}}$ . În acest context, transformata Legendre a Lagrangianului produce funcția hamiltoniană:

{\mathcal {\mathcal {H}}}=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}p_{i}-{\mathcal {L}}

{\ displaystyle {\ mathcal {\ mathcal {H}}} = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {{\ dot {q}} _ {i}}}} - {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} p_ {i} - { \ mathcal {L}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {\ mathcal {H}}} = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {{\ dot {q}} _ {i}}}} - {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} p_ {i} - { \ mathcal {L}}}

Într-o dimensiune, transformarea se obține scriind diferențialul de ${\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (q, {\ dot {q}}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (q, {\ dot {q}}, t)}$ :

\mathrm {d} {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q}}\mathrm {d} q+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}\mathrm {d} {\dot {q}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t={\dot {p}}\mathrm {d} q+p\mathrm {d} {\dot {q}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t={\dot {p}}\mathrm {d} q+(\mathrm {d} ({\dot {q}}p)-{\dot {q}}\mathrm {d} p)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q}} \ mathrm {d} q + {\ frac {\ partial { \ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}}}} \ mathrm {d} {\ dot {q}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t }} \ mathrm {d} t = {\ dot {p}} \ mathrm {d} q + p \ mathrm {d} {\ dot {q}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} } {\ partial t}} \ mathrm {d} t = {\ dot {p}} \ mathrm {d} q + (\ mathrm {d} ({\ dot {q}} p) - {\ dot {q }} \ mathrm {d} p) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q}} \ mathrm {d} q + {\ frac {\ partial { \ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}}}} \ mathrm {d} {\ dot {q}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t }} \ mathrm {d} t = {\ dot {p}} \ mathrm {d} q + p \ mathrm {d} {\ dot {q}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} } {\ partial t}} \ mathrm {d} t = {\ dot {p}} \ mathrm {d} q + (\ mathrm {d} ({\ dot {q}} p) - {\ dot {q }} \ mathrm {d} p) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

de la care:

\mathrm {d} ({\dot {q}}p-{\mathcal {L}})=-{\dot {p}}\mathrm {d} q+{\dot {q}}\mathrm {d} p-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ mathrm {d} ({\ dot {q}} p - {\ mathcal {L}}) = - {\ dot {p}} \ mathrm {d} q + {\ dot {q}} \ mathrm {d} p - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ({\ dot {q}} p - {\ mathcal {L}}) = - {\ dot {p}} \ mathrm {d} q + {\ dot {q}} \ mathrm {d} p - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

Lagrangianul este astfel transformat într-o altă ecuație dependentă în mod explicit de derivata sa față de $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ , adică din $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ .

Având în vedere diferențialul de ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ :

\mathrm {d} {\mathcal {H}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}\mathrm {d} q+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}\mathrm {d} p+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q}} \ mathrm {d} q + {\ frac {\ partial { \ mathcal {H}}} {\ partial p}} \ mathrm {d} p + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q}} \ mathrm {d} q + {\ frac {\ partial { \ mathcal {H}}} {\ partial p}} \ mathrm {d} p + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

comparându-l cu expresia anterioară a transformatului Legendre:

{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {\dot {q}} (t)\mathbf {p} (t)-{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = \ mathbf {\ dot {q}} (t) \ mathbf {p} (t) - {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t)}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = \ mathbf {\ dot {q}} (t) \ mathbf {p} (t) - {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t)}

obținem ecuațiile lui Hamilton:

\mathbf {\dot {q}} ={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}\qquad \mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}

{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {p}}} \ qquad \ mathbf {\ dot {p}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {q}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {p}}} \ qquad \ mathbf {\ dot {p}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {q}}}}

Dacă o coordonată este o coordonată ciclică pentru Lagrangian, adică este o coordonată de care Lagrangian nu depinde direct, atunci este și ciclică pentru Hamiltonian. În special dacă Lagrangian nu depinde în mod explicit de timp, atunci ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ în sine este o constantă a mișcării :

{\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} = 0}

Principiul variațional al lui Hamilton

Același subiect în detaliu: principiul variațional al lui Hamilton .

Ecuațiile lui Hamilton pot fi derivate din principiul variațional al lui Hamilton ( principiul acțiunii minime ):

\delta I=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\,dt=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,p_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,t)\right)\,dt=0

{\ displaystyle \ delta I = \ delta \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \, dt = \ delta \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, p_ {i} - {\ mathcal {H}} (q, p, t ) \ dreapta) \, dt = 0}

{\ displaystyle \ delta I = \ delta \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \, dt = \ delta \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, p_ {i} - {\ mathcal {H}} (q, p, t ) \ dreapta) \, dt = 0}

unde integrala Lagrangianului în timp este acțiunea :

I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\,dt

{\ displaystyle I = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \, dt}

{\ displaystyle I = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \, dt}

Principiul afirmă că mișcarea sistemului între momentele inițiale $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ și final $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ trebuie să facă acțiunea variațională integrală între $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Și $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ , ceea ce înseamnă că acțiunea are o extremă în corespondență cu traiectoria urmată de sistem, dintre toate cele posibile în intervalul de timp considerat.

Notă

^ Mekanică analitică, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
^ The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1

Bibliografie

G. Benettin, Note pentru cursul de mecanică analitică ( PDF ), Padova, 2014 (arhivat din original la 29 noiembrie 2014) .
( IT ) G. Andreassi Classical Hamiltonian Mechanics Arhivat 22 iunie 2008 la Internet Archive . Caiete ale Departamentului de Matematică al Universității din Lecce , 14/1978.
( IT ) A. Fasano, S. Marmi, Mecanica analitică , (2002) Bollati Boringhieri , Torino ISBN 88-339-5681-4
(EN) Ralph Abraham și Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, Londra ISBN 0-8053-0102-X
( EN ) Edmund T. Whittaker Un tratat privind dinamica analitică a particulelor și a corpurilor rigide; cu o introducere în problema celor trei corpuri (Cambridge University Press, 1917)
(EN) William Fogg Osgood Mechanics (MacMillan, 1937)
(EN) Arthur Gordon Webster Dinamica particulelor și a corpurilor rigide, elastice și fluide. Fiind prelegeri despre fizica matematică (Teubner, 1904)

Elemente conexe

linkuri externe

( RO ) 16.3 Hamiltonianul , în site-ul web MIT OpenCourseWare 18.013A . Adus 02-02-2007 .
( EN ) Charles Torre - Formalismul hamiltonian ( PDF ), pe physics.usu.edu .
(EN) Joel Shapiro - Ecuațiile lui Lagrange și Hamilton (PDF) pe physics.rutgers.edu.
( EN ) Rychlik, Marek, „ Mecanica lagrangiană și hamiltoniană - O scurtă introducere ”
( EN ) Binney, James, note de curs „ Mecanica clasică ” ( PostScript ) ( PDF )
( EN ) Tong, David, Dinamica clasică (note de curs Cambridge)

Controlul autorității	Tezaur BNCF 32470 · LCCN (EN) sh85058558 · BNF (FR) cb11935833v (data)

Portalul de fizică

Portalul de matematică

Portal mecanic

[1] ^ Mekanică analitică, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

[2] The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1

[1]

[2]