Heptadecagon

În geometrie , un heptadecagon este un poligon cu 17 laturi. Un heptadecagon regulat are 17 laturi congruente și fiecare unghi intern măsoară

180\cdot {\frac {17-2}{17}}~{\mbox{gradi}}~=~\left(158+{\frac {14}{17}}\right)~{\mbox{gradi}}~\approx 158,8235294~{\mbox{gradi}}.

{\ displaystyle 180 \ cdot {\ frac {17-2} {17}} ~ {\ mbox {grade}} ~ = ~ \ left (158 + {\ frac {14} {17}} \ right) ~ {\ mbox {grade}} ~ \ approx 158,8235294 ~ {\ mbox {degrees}}.}

{\ displaystyle 180 \ cdot {\ frac {17-2} {17}} ~ {\ mbox {grade}} ~ = ~ \ left (158 + {\ frac {14} {17}} \ right) ~ {\ mbox {grade}} ~ \ approx 158,8235294 ~ {\ mbox {degrees}}.}

Constructibilitatea implică faptul că orice funcție trigonometrică a $2\pi /17$ ${\ displaystyle 2 \ pi / 17}$ ${\ displaystyle 2 \ pi / 17}$ poate fi exprimată folosind doar operații aritmetice și rădăcini pătrate . Cartea lui Gauss Disquisitiones Arithmeticae conține următoarea expresie, reprodusă aici în notație modernă:

16\,\operatorname {cos} {2\pi  \over 17}=-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}.

{\ displaystyle 16 \, \ operatorname {cos} {2 \ pi \ over 17} = - 1 + {\ sqrt {17}} + {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} + 2 { \ sqrt {17 + 3 {\ sqrt {17}} - {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} - 2 {\ sqrt {34 + 2 {\ sqrt {17}}}}}} .}

16 \, \ operatorname {cos} {2 \ pi \ over 17} = - 1 + {\ sqrt {17}} + {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} + 2 {\ sqrt { 17 + 3 {\ sqrt {17}} - {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} - 2 {\ sqrt {34 + 2 {\ sqrt {17}}}}}}.

Vrem să arătăm cum a ajuns Gauss la această soluție și cum problema este legată de constructibilitatea poligoanelor obișnuite.

Un heptadecagon obișnuit.

Introducere

Heptadecagonul obișnuit este un poligon construibil cu riglă și busolă , așa cum a arătat Carl Friedrich Gauss în 1796. Gauss a fost atât de entuziasmat de descoperirea sa încât a cerut să fie gravat unul pe mormântul său. Sculptorul a refuzat, susținând că construcția a fost atât de dificilă încât poligonul rezultat nu s-ar remarca dintr-o circumferință.

Construirea poligoanelor regulate ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ părțile au reprezentat o provocare pentru toți matematicienii de la antichitate până în secolul al XIX-lea. Această construcție este echivalentă cu împărțirea circumferinței într-un număr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ de arce egale: unind punctele în care este împărțită circumferința, obținem poligonul regulat, adică echilateral și echiangular, pe care dorim să îl construim.

În Elemente , Euclid se ocupă de construcția poligoanelor regulate din Cartea a IV-a, rezolvând problema pentru $n=3,4,5,6,15.$ ${\ displaystyle n = 3,4,5,6,15.}$ ${\ displaystyle n = 3,4,5,6,15.}$ Construcțiile sale se bazează inițial pe caracteristicile poligonului regulat; de exemplu, construcția pentagonului lui Euclid se bazează pe observația că triunghiul isoscel cu baza pe o parte a pentagonului și vârful opus este astfel încât unghiurile de la bază sunt duble cu al treilea unghi. Cu toate acestea, Euclid subliniază deja un criteriu pentru constructibilitatea poligoanelor: deși nu este menționat în mod explicit în Elemente , Euclid și matematicienii greci au reușit să construiască orice poligon de $2^{m}$ ${\ displaystyle 2 ^ {m}}$ $2 ^ {m}$ laturi (cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ număr întreg pozitiv $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ ), odată poligonul lui $2^{m-1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {m-1}}$ $2 ^ {{m-1}}$ laturi: pe baza bisecției laturii sau echivalent arcului de circumferință, începând de la pătrat construim octogonul și apoi 16-gono și așa mai departe. Mai mult, în Propoziția 16 din Cartea a IV-a, odată cu construcția pentadecagonului, Euclid indică un alt criteriu pentru constructibilitatea poligoanelor regulate: dacă poligoanele regulate ale $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ laturile și ale $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ laturile și $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ sunt prime între ele, adică descompunerile lor în factori primi au doar factorul 1 în comun, deci poligonul regulat al $r\cdot s$ ${\ displaystyle r \ cdot s}$ $r \ cdot s$ laturile. În rezumat, pornind de la rezultatele Cărții a IV-a a lui Euclid, matematicienii din antichitate au putut să construiască poligoane regulate de $2^{m}\cdot P_{1}^{r}\cdot P_{2}^{s}$ ${\ displaystyle 2 ^ {m} \ cdot P_ {1} ^ {r} \ cdot P_ {2} ^ {s}}$ $2 ^ {m} \ cdot P_ {1} ^ {r} \ cdot P_ {2} ^ {s}$ laturile unde m este un număr întreg negativ, $P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $P_1$ Și $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ sunt primele 3 și 5 distincte, în timp ce $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ pot fi 0 sau 1.

Heptadecagonul este poligonul regulat din 17 laturi, iar problema construcției sale a fost rezolvată de Gauss în 1796:

„... Descoperisem deja tot ce ține de separarea rădăcinilor ecuației

{\frac {z^{n}-1}{z-1}}=0

{\ displaystyle {\ frac {z ^ {n} -1} {z-1}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {z ^ {n} -1} {z-1}} = 0}

în două grupuri. După o analiză intensă a relației aritmetice a tuturor rădăcinilor între ele, am putut în timpul unei vacanțe în Braunschweig, în dimineața zilei de 29 martie 1796, să văd relația în cel mai clar mod, astfel încât am putut să o aplic. imediat la cele 17 laturi și la verificările numerice ".

După cum scrie Gauss în notele sale autobiografice, soluția construcției poligonului cu 17 laturi constă în rezolvarea ecuației

z^{n}=1

{\ displaystyle z ^ {n} = 1}

z ^ {n} = 1

în planul complex pentru $n=17$ ${\ displaystyle n = 17}$ $n = 17$ . Găsirea unor astfel de soluții înseamnă găsirea valorii numerice a cosinusului celei de-a 17-a părți a unghiului rotund și construirea heptadecagonului regulat constă în construirea numărului găsit geometric.

Tânărul Gauss din 1796 a putut, de asemenea, să demonstreze că, dacă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr prim Fermat , apoi poligonul regulat cu un număr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ de laturi poate fi construit cu rigla și busola.
Amintiți-vă că numerele Fermat sunt exprimate prin formulă $F_{m}=2^{(2^{m})}+1$ ${\ displaystyle F_ {m} = 2 ^ {(2 ^ {m})} + 1}$ $F _ {{m}} = 2 ^ {{(2 ^ {m})}} + 1$ și că numai numerele obținute pentru $m=0,1,2,3,4$ ${\ displaystyle m = 0,1,2,3,4}$ ${\ displaystyle m = 0,1,2,3,4}$ (ale căror valori sunt respectiv 3, 5,17, 257, 65537) au fost verificate până acum ca fiind prime.

Gauss a demonstrat astfel, mai general, că un poligon regulat al $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ laturile este construibil dacă factorizarea sa primară este de tipul

N=2^{k}{p_{1}}{p_{2}}\cdots {p_{s}}

{\ displaystyle N = 2 ^ {k} {p_ {1}} {p_ {2}} \ cdots {p_ {s}}}

N = 2 ^ {k} {p_ {1}} {p_ {2}} \ cdots {p_ {s}}

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este un număr întreg negativ și factorii $p_{j}$ ${\ displaystyle p_ {j}}$ $pijamale}$ sunt numere prime distincte Fermat. De asemenea, el a simțit că condiția menționată mai sus trebuie să fie necesară, dar acest lucru a fost dovedit abia mai târziu de Pierre-Laurent Wantzel , în 1836 .

Ecuația ciclotomică

Se caută soluțiile ecuației

z^{n}-1=0

{\ displaystyle z ^ {n} -1 = 0}

z ^ {n} -1 = 0

în domeniul numerelor complexe sau echivalent cu $z^{n}=1$ ${\ displaystyle z ^ {n} = 1}$ $z ^ {n} = 1$ , adică $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -sima unității.

Numărul complex este asociat cu un punct de pe circumferința unității în planul Argand-Gauss

z=\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta },

{\ displaystyle z = \ cos \ theta + i \ sin \ theta = e ^ {i \ theta},}

{\ displaystyle z = \ cos \ theta + i \ sin \ theta = e ^ {i \ theta},}

unde s-a adăugat notația exponențială a numerelor complexe.

N rădăcinile unității pe circumferința unității.

Având în vedere circumferința unității centrului $O(0,0)$ ${\ displaystyle O (0,0)}$ $O (0,0)$ și raza unității în planul complex, rădăcinile ecuației se află pe cercul unității și îl împart în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ arcuri egale.

Întrucât rădăcinile ecuației $z^{n-1}+z^{n-2}+z^{n-3}+\ldots +z+1=0$ ${\ displaystyle z ^ {n-1} + z ^ {n-2} + z ^ {n-3} + \ ldots + z + 1 = 0}$ ${\ displaystyle z ^ {n-1} + z ^ {n-2} + z ^ {n-3} + \ ldots + z + 1 = 0}$ împreună cu rădăcina $z=1$ ${\ displaystyle z = 1}$ ${\ displaystyle z = 1}$ este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcinile unității și împărțiți circumferința unității în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ părți egale, ecuația precedentă se numește ecuația ciclotomică („împărțind circumferința”).

Amintiți-vă că $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ n-sime rădăcinile unității , adică numerele $R,R^{2},R^{3},\ldots ,R^{n}=1$ ${\ displaystyle R, R ^ {2}, R ^ {3}, \ ldots, R ^ {n} = 1}$ ${\ displaystyle R, R ^ {2}, R ^ {3}, \ ldots, R ^ {n} = 1}$ formează un grup multiplicativ, deoarece îndeplinesc următoarele condiții:

1) închidere: $R^{a}R^{b}=R^{a+b}=R^{c}$ ${\ displaystyle R ^ {a} R ^ {b} = R ^ {a + b} = R ^ {c}}$ $R ^ {a} R ^ {b} = R ^ {{a + b}} = R ^ {c}$ unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ sunt numere întregi mai mici decât $n;$ ${\ displaystyle n;}$ ${\ displaystyle n;}$

2) asociativitate: $R^{a}(R^{b}R^{c})=(R^{a}R^{b})R^{c}=R^{a+b+c};$ ${\ displaystyle R ^ {a} (R ^ {b} R ^ {c}) = (R ^ {a} R ^ {b}) R ^ {c} = R ^ {a + b + c};}$ ${\ displaystyle R ^ {a} (R ^ {b} R ^ {c}) = (R ^ {a} R ^ {b}) R ^ {c} = R ^ {a + b + c};}$

3) element neutru: $R^{n}$ ${\ displaystyle R ^ {n}}$ $R ^ {n}$ atâta timp cât $R^{a}R^{n}=R^{a};$ ${\ displaystyle R ^ {a} R ^ {n} = R ^ {a};}$ ${\ displaystyle R ^ {a} R ^ {n} = R ^ {a};}$

4) element invers al $R^{a}$ ${\ displaystyle R ^ {a}}$ $R ^ {a}$ Și $R^{n-a}.$ ${\ displaystyle R ^ {na}.}$ ${\ displaystyle R ^ {n-a}.}$

Metoda Gauss

Ecuația ciclotomică pentru $n=17$ ${\ displaystyle n = 17}$ $n = 17$ Și

R^{16}+R^{15}+R^{14}+\ldots +R+1=0.

{\ displaystyle R ^ {16} + R ^ {15} + R ^ {14} + \ ldots + R + 1 = 0.}

{\ displaystyle R ^ {16} + R ^ {15} + R ^ {14} + \ ldots + R + 1 = 0.}

Se arată cu utilizarea proprietăților unui grup multiplicativ că cele 16 rădăcini ale acestei ecuații ciclotomice ( $R_{1},R_{2},\ldots ,R_{16}$ ${\ displaystyle R_ {1}, R_ {2}, \ ldots, R_ {16}}$ ${\ displaystyle R_ {1}, R_ {2}, \ ldots, R_ {16}}$ ) nu sunt altele decât puterile în creștere de la 1 la 16 ale rădăcinii $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ .

Pentru a readuce soluția ecuației ciclotomice la soluția ecuațiilor de gradul 2, rădăcinile sunt cuplate în așa fel încât să reducă treptat gradul ecuației care trebuie rezolvată.

Pentru a face acest lucru, se caută mai întâi un număr $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ astfel încât rădăcinile să poată fi sortate în ordine $R,R^{g},R^{g^{2}},\ldots$ ${\ displaystyle R, R ^ {g}, R ^ {g ^ {2}}, \ ldots}$ ${\ displaystyle R, R ^ {g}, R ^ {g ^ {2}}, \ ldots}$ unde este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este rădăcina primitivă a 17-a a unității.

Se numește rădăcina primitivă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -sima unității o rădăcină $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ astfel încât $R^{n}=1$ ${\ displaystyle R ^ {n} = 1}$ $R ^ {n} = 1$ Și $R^{p}\not =1$ ${\ displaystyle R ^ {p} \ not = 1}$ $R ^ {p} \ not = 1$ pentru toate numerele întregi pozitive $p<n$ ${\ displaystyle p <n}$ $p <n$ .

Gauss arată că pentru $n=17$ ${\ displaystyle n = 17}$ $n = 17$ valoarea a $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ adecvat este 3. (Per $g=2$ ${\ displaystyle g = 2}$ $g = 2$ , nu este posibil să se obțină toate rădăcinile ecuației ciclotomice). Rădăcinile sunt apoi ordonate astfel:

R,\,R^{3},\,R^{9},\,R^{10},\,R^{13},\,R^{5},\,R^{15},\,R^{11},\,R^{16},\,R^{14},\,R^{8},\,R^{7},\,R^{4},\,R^{12},\,R^{2},\,R^{6},

{\ displaystyle R, \, R ^ {3}, \, R ^ {9}, \, R ^ {10}, \, R ^ {13}, \, R ^ {5}, \, R ^ { 15}, \, R ^ {11}, \, R ^ {16}, \, R ^ {14}, \, R ^ {8}, \, R ^ {7}, \, R ^ {4} , \, R ^ {12}, \, R ^ {2}, \, R ^ {6},}

{\ displaystyle R, \, R ^ {3}, \, R ^ {9}, \, R ^ {10}, \, R ^ {13}, \, R ^ {5}, \, R ^ { 15}, \, R ^ {11}, \, R ^ {16}, \, R ^ {14}, \, R ^ {8}, \, R ^ {7}, \, R ^ {4} , \, R ^ {12}, \, R ^ {2}, \, R ^ {6},}

unde proprietățile grupului ciclic au fost aplicate, prin urmare, pentru $n=17$ ${\ displaystyle n = 17}$ $n = 17$ , de exemplu $R^{27}=R^{10}$ ${\ displaystyle R ^ {27} = R ^ {10}}$ $R ^ {{27}} = R ^ {{10}}$ , $R^{81}=R^{68+13}=R^{13}$ ${\ displaystyle R ^ {81} = R ^ {68 + 13} = R ^ {13}}$ $R ^ {{81}} = R ^ {{68 + 13}} = R ^ {{13}}$ si asa mai departe.

Ei se definesc acum

y_{1}=R+R^{9}+R^{13}+R^{15}+R^{16}+R^{8}+R^{4}+R^{2},

{\ displaystyle y_ {1} = R + R ^ {9} + R ^ {13} + R ^ {15} + R ^ {16} + R ^ {8} + R ^ {4} + R ^ {2 },}

{\ displaystyle y_ {1} = R + R ^ {9} + R ^ {13} + R ^ {15} + R ^ {16} + R ^ {8} + R ^ {4} + R ^ {2 },}

y_{2}=R^{3}+R^{5}+R^{10}+R^{11}+R^{14}+R^{7}+R^{12}+R^{6}.

{\ displaystyle y_ {2} = R ^ {3} + R ^ {5} + R ^ {10} + R ^ {11} + R ^ {14} + R ^ {7} + R ^ {12} + R ^ {6}.}

{\ displaystyle y_ {2} = R ^ {3} + R ^ {5} + R ^ {10} + R ^ {11} + R ^ {14} + R ^ {7} + R ^ {12} + R ^ {6}.}

Bineînțeles că ai asta

y_{1}+y_{2}=-1

{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} = - 1}

y_ {1} + y_ {2} = - 1

în timp ce cu un calcul simplu se concluzionează că

y_{1}y_{2}=-4

{\ displaystyle y_ {1} y_ {2} = - 4}

y_ {1} y_ {2} = - 4

asa de, $y_{1}$ ${\ displaystyle y_ {1}}$ $y_ {1}$ și $y_{2}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ $y_ {2}$ sunt rădăcinile ecuației de gradul 2

y^{2}+y-4=0

{\ displaystyle y ^ {2} + y-4 = 0}

y ^ {2} + y-4 = 0

Continuând cu aceeași metodă, ei se definesc $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ Și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ luând termenii alternativi ai $y_{1}$ ${\ displaystyle y_ {1}}$ $y_ {1}$ :

x_{1}=R+R^{13}+R^{16}+R^{4}\qquad \quad x_{2}=R^{9}+R^{15}+R^{8}+R^{2}

{\ displaystyle x_ {1} = R + R ^ {13} + R ^ {16} + R ^ {4} \ qquad \ quad x_ {2} = R ^ {9} + R ^ {15} + R ^ {8} + R ^ {2}}

x_ {1} = R + R ^ {{13}} + R ^ {{16}} + R ^ {4} \ qquad \ quad x_ {2} = R ^ {9} + R ^ {{15}} + R ^ {8} + R ^ {2}

in timp ce $w_{1}$ ${\ displaystyle w_ {1}}$ $w_1$ Și $w_{2}$ ${\ displaystyle w_ {2}}$ $w_ {2}$ sunt definite cu termenii alternanți ai $y_{2}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ $y_ {2}$ :

w_{1}=R^{3}+R^{5}+R^{14}+R^{12},\qquad w_{2}=R^{10}+R^{11}+R^{7}+R^{6}

{\ displaystyle w_ {1} = R ^ {3} + R ^ {5} + R ^ {14} + R ^ {12}, \ qquad w_ {2} = R ^ {10} + R ^ {11} + R ^ {7} + R ^ {6}}

{\ displaystyle w_ {1} = R ^ {3} + R ^ {5} + R ^ {14} + R ^ {12}, \ qquad w_ {2} = R ^ {10} + R ^ {11} + R ^ {7} + R ^ {6}}

Desigur:

x_{1}+x_{2}=y_{1},\qquad w_{1}+w_{2}=y_{2}

{\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = y_ {1}, \ qquad w_ {1} + w_ {2} = y_ {2}}

{\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = y_ {1}, \ qquad w_ {1} + w_ {2} = y_ {2}}

în timp ce se întâmplă că

x_{1}x_{2}=-1,\qquad w_{1}w_{2}=-1

{\ displaystyle x_ {1} x_ {2} = - 1, \ qquad w_ {1} w_ {2} = - 1}

{\ displaystyle x_ {1} x_ {2} = - 1, \ qquad w_ {1} w_ {2} = - 1}

prin urmare, cuplul $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ și cuplul $w_{1}$ ${\ displaystyle w_ {1}}$ $w_1$ Și $w_{2}$ ${\ displaystyle w_ {2}}$ $w_ {2}$ satisfac ecuațiile de gradul 2 respectiv

x^{2}-y_{1}x-1=0,\qquad w^{2}-y_{2}w-1=0

{\ displaystyle x ^ {2} -y_ {1} x-1 = 0, \ qquad w ^ {2} -y_ {2} w-1 = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} -y_ {1} x-1 = 0, \ qquad w ^ {2} -y_ {2} w-1 = 0}

Apoi luăm termenii alternativi în $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ :

\nu _{1}=R+R^{16},\qquad \nu _{2}=R^{13}+R^{4}

{\ displaystyle \ nu _ {1} = R + R ^ {16}, \ qquad \ nu _ {2} = R ^ {13} + R ^ {4}}

{\ displaystyle \ nu _ {1} = R + R ^ {16}, \ qquad \ nu _ {2} = R ^ {13} + R ^ {4}}

obținând asta

\nu _{1}+\nu _{2}=x_{1},\qquad \nu _{1}\nu _{2}=w_{1}

{\ displaystyle \ nu _ {1} + \ nu _ {2} = x_ {1}, \ qquad \ nu _ {1} \ nu _ {2} = w_ {1}}

{\ displaystyle \ nu _ {1} + \ nu _ {2} = x_ {1}, \ qquad \ nu _ {1} \ nu _ {2} = w_ {1}}

Și $v_{1}$ ${\ displaystyle v_ {1}}$ $v_1$ Și $v_{2}$ ${\ displaystyle v_ {2}}$ $v_ {2}$ sunt rădăcini ale ecuației

\nu ^{2}-x_{1}\nu +w_{1}=0

{\ displaystyle \ nu ^ {2} -x_ {1} \ nu + w_ {1} = 0}

\ nu ^ {2} -x_ {1} \ nu + w_ {1} = 0

În cele din urmă, R ed $R_{16}$ ${\ displaystyle R_ {16}}$ $R _ {{16}}$ sunt rădăcini ale ecuației de gradul 2

r^{2}-\nu _{1}r+1=0

{\ displaystyle r ^ {2} - \ nu _ {1} r + 1 = 0}

r ^ {2} - \ nu _ {1} r + 1 = 0

de fapt suma lor este $v_{1}$ ${\ displaystyle v_ {1}}$ $v_1$ , în timp ce produsul lor este $R^{17}=1$ ${\ displaystyle R ^ {17} = 1}$ $R ^ {{17}} = 1$ .

In concluzie, $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ poate fi găsită rezolvând atâtea ecuații pătratice cât sunt factori de $n-1=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ ${\ displaystyle n-1 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2}$ $n-1 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2$ , dar există 16 valori posibile ale $R.,$ ${\ displaystyle R,}$ ${\ displaystyle R,}$ din moment ce există 16 rădăcini primitive de 17-me ale unității ( $R_{1},R_{2},\ldots ,R_{16}$ ${\ displaystyle R_ {1}, R_ {2}, \ ldots, R_ {16}}$ ${\ displaystyle R_ {1}, R_ {2}, \ ldots, R_ {16}}$ cf. (2), (3), ...). Ar ajuta asta $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este

R=\cos {\frac {2\pi }{17}}+i\sin {\frac {2\pi }{17}}=e^{i{\frac {2\pi }{17}}}

{\ displaystyle R = \ cos {\ frac {2 \ pi} {17}} + i \ sin {\ frac {2 \ pi} {17}} = e ^ {i {\ frac {2 \ pi} {17 }}}}

{\ displaystyle R = \ cos {\ frac {2 \ pi} {17}} + i \ sin {\ frac {2 \ pi} {17}} = e ^ {i {\ frac {2 \ pi} {17 }}}}

astfel încât, fiind

R^{-1}=\cos {\frac {2\pi }{17}}-i\sin {\frac {2\pi }{17}}=R^{16}

{\ displaystyle R ^ {- 1} = \ cos {\ frac {2 \ pi} {17}} - i \ sin {\ frac {2 \ pi} {17}} = R ^ {16}}

R ^ {{- 1}} = \ cos {\ frac {2 \ pi} {17}} - i \ sin {\ frac {2 \ pi} {17}} = R ^ {{16}}

ai face

\nu _{1}=R+R^{16}=R+{\frac {1}{R}}=2\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)

{\ displaystyle \ nu _ {1} = R + R ^ {16} = R + {\ frac {1} {R}} = 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {17}} \ dreapta)}

\ nu _ {1} = R + R ^ {{16}} = R + {\ frac {1} {R}} = 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {17}} \ right )

\nu _{2}=R^{4}+R^{13}=R^{4}+{\frac {1}{R^{4}}}=2\cos \left({\frac {8\pi }{17}}\right).

{\ displaystyle \ nu _ {2} = R ^ {4} + R ^ {13} = R ^ {4} + {\ frac {1} {R ^ {4}}} = 2 \ cos \ left ({ \ frac {8 \ pi} {17}} \ right).}

{\ displaystyle \ nu _ {2} = R ^ {4} + R ^ {13} = R ^ {4} + {\ frac {1} {R ^ {4}}} = 2 \ cos \ left ({ \ frac {8 \ pi} {17}} \ right).}

Pentru ca este ${\frac {2\pi }{17}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {17}}}$ ${\ frac {2 \ pi} {17}}$ acea ${\frac {8\pi }{17}}$ ${\ displaystyle {\ frac {8 \ pi} {17}}}$ ${\ frac {8 \ pi} {17}}$ sunt mai mici de ${\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ pi} {2}}$ iar în primul cadran cosinusul unghiului scade pe măsură ce unghiul crește, apoi

\nu _{1}>\nu _{2}>0\quad {\mbox{e}}\quad z_{1}=\nu _{1}+\nu _{2}>0.

{\ displaystyle \ nu _ {1}> \ nu _ {2}> 0 \ quad {\ mbox {e}} \ quad z_ {1} = \ nu _ {1} + \ nu _ {2}> 0. }

{\ displaystyle \ nu _ {1}> \ nu _ {2}> 0 \ quad {\ mbox {e}} \ quad z_ {1} = \ nu _ {1} + \ nu _ {2}> 0. }

În mod similar,

w_{1}=R^{3}+R^{5}+R^{14}+R^{12}=\left(R^{3}+{\frac {1}{R^{3}}}\right)+\left(R^{5}+{\frac {1}{R^{5}}}\right)=

{\ displaystyle w_ {1} = R ^ {3} + R ^ {5} + R ^ {14} + R ^ {12} = \ left (R ^ {3} + {\ frac {1} {R ^ {3}}} \ right) + \ left (R ^ {5} + {\ frac {1} {R ^ {5}}} \ right) =}

{\ displaystyle w_ {1} = R ^ {3} + R ^ {5} + R ^ {14} + R ^ {12} = \ left (R ^ {3} + {\ frac {1} {R ^ {3}}} \ right) + \ left (R ^ {5} + {\ frac {1} {R ^ {5}}} \ right) =}

=2\cos \left({\frac {6\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {10\pi }{17}}\right)=2\cos \left({\frac {6\pi }{17}}\right)-2\cos \left({\frac {7\pi }{17}}\right).

{\ displaystyle = 2 \ cos \ left ({\ frac {6 \ pi} {17}} \ right) +2 \ cos \ left ({\ frac {10 \ pi} {17}} \ right) = 2 \ cos \ left ({\ frac {6 \ pi} {17}} \ right) -2 \ cos \ left ({\ frac {7 \ pi} {17}} \ right).}

{\ displaystyle = 2 \ cos \ left ({\ frac {6 \ pi} {17}} \ right) +2 \ cos \ left ({\ frac {10 \ pi} {17}} \ right) = 2 \ cos \ left ({\ frac {6 \ pi} {17}} \ right) -2 \ cos \ left ({\ frac {7 \ pi} {17}} \ right).}

Atâta timp cât ${\frac {6\pi }{17}}<{\frac {7\pi }{17}}<{\frac {\pi }{2}},\;\cos \left({\frac {6\pi }{17}}\right)>\cos \left({\frac {7\pi }{17}}\right)$ ${\ displaystyle {\ frac {6 \ pi} {17}} <{\ frac {7 \ pi} {17}} <{\ frac {\ pi} {2}}, \; \ cos \ left ({\ frac {6 \ pi} {17}} \ right)> \ cos \ left ({\ frac {7 \ pi} {17}} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ frac {6 \ pi} {17}} <{\ frac {7 \ pi} {17}} <{\ frac {\ pi} {2}}, \; \ cos \ left ({\ frac {6 \ pi} {17}} \ right)> \ cos \ left ({\ frac {7 \ pi} {17}} \ right)}$ , implică asta $w_{1}>0.$ ${\ displaystyle w_ {1}> 0.}$ ${\ displaystyle w_ {1}> 0.}$

De asemenea

y_{2}=\left(R^{3}+{\frac {1}{R^{3}}}\right)+\left(R^{5}+{\frac {1}{R^{5}}}\right)+\left(R^{6}+{\frac {1}{R^{6}}}\right)+\left(R^{7}+{\frac {1}{R^{7}}}\right)=

{\ displaystyle y_ {2} = \ left (R ^ {3} + {\ frac {1} {R ^ {3}}} \ right) + \ left (R ^ {5} + {\ frac {1} {R ^ {5}}} \ right) + \ left (R ^ {6} + {\ frac {1} {R ^ {6}}} \ right) + \ left (R ^ {7} + {\ frac {1} {R ^ {7}}} \ right) =}

{\ displaystyle y_ {2} = \ left (R ^ {3} + {\ frac {1} {R ^ {3}}} \ right) + \ left (R ^ {5} + {\ frac {1} {R ^ {5}}} \ right) + \ left (R ^ {6} + {\ frac {1} {R ^ {6}}} \ right) + \ left (R ^ {7} + {\ frac {1} {R ^ {7}}} \ right) =}

=2\cos \left({\frac {6\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {10\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {12\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {14\pi }{17}}\right),

{\ displaystyle = 2 \ cos \ left ({\ frac {6 \ pi} {17}} \ right) +2 \ cos \ left ({\ frac {10 \ pi} {17}} \ right) +2 \ cos \ left ({\ frac {12 \ pi} {17}} \ right) +2 \ cos \ left ({\ frac {14 \ pi} {17}} \ right),}

{\ displaystyle = 2 \ cos \ left ({\ frac {6 \ pi} {17}} \ right) +2 \ cos \ left ({\ frac {10 \ pi} {17}} \ right) +2 \ cos \ left ({\ frac {12 \ pi} {17}} \ right) +2 \ cos \ left ({\ frac {14 \ pi} {17}} \ right),}

unde singurul termen pozitiv este primul; intr-adevar, $\cos \left({\frac {6\pi }{17}}\right)<\cos \left({\frac {5\pi }{17}}\right)=\cos \left({\frac {12\pi }{17}}\right)$ ${\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {6 \ pi} {17}} \ right) <\ cos \ left ({\ frac {5 \ pi} {17}} \ right) = \ cos \ left ( {\ frac {12 \ pi} {17}} \ right)}$ $\ cos \ left ({\ frac {6 \ pi} {17}} \ right) <\ cos \ left ({\ frac {5 \ pi} {17}} \ right) = \ cos \ left ({\ frac {12 \ pi} {17}} \ dreapta)$ , ceea ce ne permite să concluzionăm că $y_{2}<0$ ${\ displaystyle y_ {2} <0}$ $y_ {2} <0$ . Atâta timp cât $y_{1}y_{2}=-4$ ${\ displaystyle y_ {1} y_ {2} = - 4}$ $y_ {1} y_ {2} = - 4$ , se poate concluziona, de asemenea, că $y_{1}>0$ ${\ displaystyle y_ {1}> 0}$ $y_ {1}> 0$ .

Soluția aritmetică

Ecuațiile de gradul 2 găsite sunt acum rezolvate numeric, rezumând procedura urmată.

Să se dea ecuația ciclotomică

R^{16}+R^{15}+R^{14}+\ldots +R+1=0.

{\ displaystyle R ^ {16} + R ^ {15} + R ^ {14} + \ ldots + R + 1 = 0.}

{\ displaystyle R ^ {16} + R ^ {15} + R ^ {14} + \ ldots + R + 1 = 0.}

Pasesc : sunt definite $y_{1}$ ${\ displaystyle y_ {1}}$ $y_ {1}$ Și $y_{2}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ $y_ {2}$ :

y_{1}=R+R^{9}+R^{13}+R^{15}+R^{16}+R^{8}+R^{4}+R^{2},

{\ displaystyle y_ {1} = R + R ^ {9} + R ^ {13} + R ^ {15} + R ^ {16} + R ^ {8} + R ^ {4} + R ^ {2 },}

{\ displaystyle y_ {1} = R + R ^ {9} + R ^ {13} + R ^ {15} + R ^ {16} + R ^ {8} + R ^ {4} + R ^ {2 },}

y_{2}=R^{3}+R^{5}+R^{10}+R^{11}+R^{14}+R^{7}+R^{12}+R^{6},

{\ displaystyle y_ {2} = R ^ {3} + R ^ {5} + R ^ {10} + R ^ {11} + R ^ {14} + R ^ {7} + R ^ {12} + R ^ {6},}

{\ displaystyle y_ {2} = R ^ {3} + R ^ {5} + R ^ {10} + R ^ {11} + R ^ {14} + R ^ {7} + R ^ {12} + R ^ {6},}

care sunt soluții ale ecuației

y^{2}+y-4=0.

{\ displaystyle y ^ {2} + y-4 = 0.}

{\ displaystyle y ^ {2} + y-4 = 0.}

Prin urmare, rezolvând ecuația anterioară:

y_{1}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {17}}-1\right),\qquad y_{2}={\frac {1}{2}}\left(-{\sqrt {17}}-1\right).

{\ displaystyle y_ {1} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ sqrt {17}} - 1 \ right), \ qquad y_ {2} = {\ frac {1} {2} } \ left (- {\ sqrt {17}} - 1 \ right).}

{\ displaystyle y_ {1} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ sqrt {17}} - 1 \ right), \ qquad y_ {2} = {\ frac {1} {2} } \ left (- {\ sqrt {17}} - 1 \ right).}

Pasul doi : s-au definit singuri $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ Și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$

x_{1}=R+R^{13}+R^{16}+R^{4},\qquad x_{2}=R^{9}+R^{15}+R^{8}+R^{2},

{\ displaystyle x_ {1} = R + R ^ {13} + R ^ {16} + R ^ {4}, \ qquad x_ {2} = R ^ {9} + R ^ {15} + R ^ { 8} + R ^ {2},}

{\ displaystyle x_ {1} = R + R ^ {13} + R ^ {16} + R ^ {4}, \ qquad x_ {2} = R ^ {9} + R ^ {15} + R ^ { 8} + R ^ {2},}

care sunt soluții ale ecuației

x^{2}-y_{1}x-1=0,

{\ displaystyle x ^ {2} -y_ {1} x-1 = 0,}

{\ displaystyle x ^ {2} -y_ {1} x-1 = 0,}

de la care

x_{1,\,2}={\frac {1}{2}}y_{1}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {4+y_{1}^{2}}}={\frac {1}{2}}y_{1}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {12+3y_{1}+4y_{2}}}=

{\ displaystyle x_ {1, \, 2} = {\ frac {1} {2}} y_ {1} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4 + y_ {1} ^ { 2}}} = {\ frac {1} {2}} y_ {1} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {12 + 3y_ {1} + 4y_ {2}}} =}

x _ {{1, \, 2}} = {\ frac {1} {2}} y_ {1} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4 + y_ {1} ^ { 2}}} = {\ frac {1} {2}} y_ {1} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {12 + 3y_ {1} + 4y_ {2}}} =

={\frac {1}{4}}({\sqrt {17}}-1)\pm {\frac {1}{4}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}},

{\ displaystyle = {\ frac {1} {4}} ({\ sqrt {17}} - 1) \ pm {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17} }}},}

{\ displaystyle = {\ frac {1} {4}} ({\ sqrt {17}} - 1) \ pm {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17} }}},}

unde a fost introdusă a doua egalitate pentru a simplifica calculul ulterior și poate fi verificată imediat.

Pasul III : sunt definite $w_{1}$ ${\ displaystyle w_ {1}}$ $w_1$ Și $w_{2}$ ${\ displaystyle w_ {2}}$ $w_ {2}$

w_{1}=R^{3}+R^{5}+R^{14}+R^{12},\qquad w_{2}=R^{10}+R^{11}+R^{7}+R^{6}

{\ displaystyle w_ {1} = R ^ {3} + R ^ {5} + R ^ {14} + R ^ {12}, \ qquad w_ {2} = R ^ {10} + R ^ {11} + R ^ {7} + R ^ {6}}

{\ displaystyle w_ {1} = R ^ {3} + R ^ {5} + R ^ {14} + R ^ {12}, \ qquad w_ {2} = R ^ {10} + R ^ {11} + R ^ {7} + R ^ {6}}

care sunt soluții ale ecuației

w^{2}-y_{2}w-1=0

{\ displaystyle w ^ {2} -y_ {2} w-1 = 0}

w ^ {2} -y_ {2} w-1 = 0

de la care

w_{1,\,2}={\frac {1}{2}}y_{2}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {4+y_{2}^{2}}}={\frac {1}{2}}y_{2}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {12+4y_{1}+3y_{2}}}=

{\ displaystyle w_ {1, \, 2} = {\ frac {1} {2}} y_ {2} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4 + y_ {2} ^ { 2}}} = {\ frac {1} {2}} y_ {2} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {12 + 4y_ {1} + 3y_ {2}}} =}

{\ displaystyle w_ {1, \, 2} = {\ frac {1} {2}} y_ {2} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4 + y_ {2} ^ { 2}}} = {\ frac {1} {2}} y_ {2} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {12 + 4y_ {1} + 3y_ {2}}} =}

={\frac {1}{4}}(-{\sqrt {17}}-1)\pm {\frac {1}{4}}{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}})

{\ displaystyle = {\ frac {1} {4}} (- {\ sqrt {17}} - 1) \ pm {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {34 + 2 {\ sqrt {17 }}}})}}

= {\ frac {1} {4}} (- {\ sqrt {17}} - 1) \ pm {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {34 + 2 {\ sqrt {17}}} })

unde a fost introdusă a doua egalitate, similar cu Pasul II, pentru a simplifica calculul ulterior și poate fi verificată imediat.

Pasul IV : în cele din urmă, acestea sunt definite $v_{1}$ ${\ displaystyle v_ {1}}$ $v_1$ Și $v_{2}$ ${\ displaystyle v_ {2}}$ $v_ {2}$

\nu _{1}=R+R^{16},\qquad \nu _{2}=R^{4}+R^{13}

{\ displaystyle \ nu _ {1} = R + R ^ {16}, \ qquad \ nu _ {2} = R ^ {4} + R ^ {13}}

{\ displaystyle \ nu _ {1} = R + R ^ {16}, \ qquad \ nu _ {2} = R ^ {4} + R ^ {13}}

care sunt soluții ale ecuației

\nu ^{2}-x_{1}\nu +w_{1}=0

{\ displaystyle \ nu ^ {2} -x_ {1} \ nu + w_ {1} = 0}

\ nu ^ {2} -x_ {1} \ nu + w_ {1} = 0

acesta este:

\nu _{1,\,2}={\frac {1}{2}}x_{1}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {x_{1}^{2}-4w_{1}}}

{\ displaystyle \ nu _ {1, \, 2} = {\ frac {1} {2}} x_ {1} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {x_ {1} ^ { 2} -4w_ {1}}}}

\ nu _ {{1, \, 2}} = {\ frac {1} {2}} x_ {1} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {x_ {1} ^ {2 } -4w_ {1}}}

În special prin substituirea valorilor $z_{1}$ ${\ displaystyle z_ {1}}$ $z_ {1}$ Și $w_{1}$ ${\ displaystyle w_ {1}}$ $w_1$ primesti:

{\frac {\nu _{1}}{2}}=\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)=-{\frac {1}{16}}+{\frac {\sqrt {17}}{16}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ nu _ {1}} {2}} = \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {17}} \ right) = - {\ frac {1} {16} } + {\ frac {\ sqrt {17}} {16}} + {\ frac {1} {16}} {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} + {\ frac {1} {8}} {\ sqrt {17 + 3 {\ sqrt {17}} - {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} - 2 {\ sqrt {34 + 2 {\ sqrt {17} }}}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ nu _ {1}} {2}} = \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {17}} \ right) = - {\ frac {1} {16} } + {\ frac {\ sqrt {17}} {16}} + {\ frac {1} {16}} {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} + {\ frac {1} {8}} {\ sqrt {17 + 3 {\ sqrt {17}} - {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} - 2 {\ sqrt {34 + 2 {\ sqrt {17} }}}}}.}

Construcția geometric-aritmetică

Construirea Heptadecagonului folosind cercurile lui Carlyle

Aici, în dreapta, puteți urmări o construcție care este derivată direct din ecuațiile descrise în secțiunile anterioare. Cercurile Carlyle sunt folosite pentru a căuta rădăcinile ecuațiilor individuale.

Poligoane derivate

Construcția exactă a heptadecagonului vă permite să desenați exact și alte poligoane. De fapt, dacă un triunghi echilateral, un pentagon sau un pentadecagon care au un vârf în comun cu un heptadecagon, de asemenea, înscris în același cerc, este înscris în același cerc, este posibil să se determine unghiul din centrul celorlalte poligoane următoare. :

Numărul de laturi, unghiuri și vârfuri	Poligonul auxiliar	Determinarea unghiului intern (fracțiuni de unghi rotund)	Animație: construcție cu rigla și busola
34		${\frac {1}{2}}-{\frac {8}{17}}={\frac {1}{34}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} - {\ frac {8} {17}} = {\ frac {1} {34}}}$ ${\ frac {1} {2}} - {\ frac {8} {17}} = {\ frac {1} {34}}$	34-gono
51	Triunghi echilateral	${\frac {6}{17}}-{\frac {1}{3}}={\frac {1}{51}}$ ${\ displaystyle {\ frac {6} {17}} - {\ frac {1} {3}} = {\ frac {1} {51}}}$ ${\ frac {6} {17}} - {\ frac {1} {3}} = {\ frac {1} {51}}$	51-gono
85	Pentagon	${\frac {7}{17}}-{\frac {2}{5}}={\frac {1}{85}}$ ${\ displaystyle {\ frac {7} {17}} - {\ frac {2} {5}} = {\ frac {1} {85}}}$ ${\ frac {7} {17}} - {\ frac {2} {5}} = {\ frac {1} {85}}$	85 de zile
255	Pentadecagonul	${\frac {8}{17}}-{\frac {7}{15}}={\frac {1}{255}}$ ${\ displaystyle {\ frac {8} {17}} - {\ frac {7} {15}} = {\ frac {1} {255}}}$ ${\ frac {8} {17}} - {\ frac {7} {15}} = {\ frac {1} {255}}$	255-gono

O construcție pur geometrică

Prima metodă eficientă de construcție cu rigla și busola heptadecagonului, descrisă prin următoarea animație, a fost propusă de Johannes Erchinger, la câțiva ani după lucrarea lui Gauss.

Construcția geometrică a Eptadecagonului

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre heptadecagon

linkuri externe

https://web.archive.org/web/20050204005828/http://www.showmath.co.kr/const/polygon/rpoly17.html (coreeană, flash)
Arhiva * , pe geocities.com . urlarchivio2 la 20 aprilie 2006 (arhivat din adresa URL originală la 11 noiembrie 1999; a doua copie arhivată ) .
http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html
https://web.archive.org/web/20060408145452/http://www.jimloy.com/geometry/17-gon.htm
(EN) Duane W. Detemple, Carlyle and the Circles of Simplicity Lemoine Polygonal Constructions , în Amer. Matematica. Lunar , vol. 98, nr. 2, 1991, pp. 97-108.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Poligoane
Poligoane după numărul de laturi	Triunghi (3) · Cadrilater (4) · Pentagon (5) · Hexagon (6) · Heptagonon (7) · Octagon (8) · nonagon (9) · Decagon (10) · hendecagon (11) · Dodecagon (12) · tridecagon (13) · tetradecagon (14) · pentadecagon (15) · hexadecagon (16) · heptadecagon (17) · octadecagon (18) · enneadecagon (19) · icosagon (20) · Endeicosagono (21) · Doicosagono (22) · triacontagon (30) · Pentacontagono (50) · 257-gon (257) · chiliagon (1 000) · Miriagono (10 000) · 65537-gon (65 537)
Triunghiuri	Bazat pe laturi: Triunghi echilateral · Triunghi isoscel · Triunghi scalen · Conform unghiurilor: Triunghi dreptunghiular · Triunghi ascuțit · Triunghi obuz
Cadrilaterale	Pătrat · dreptunghi · Paralelogram · Rhombus · Trapez · Kite
Poligoane stelare	Pentagramă · Hexagramă · Eptagramma · Ottagramma · Eneagramă · Decagramma · Endecagramma · Dodecagramma
Alții	Poligon regulat · Poligon echilateral · Poligon echivalen