Pătrat

Un pătrat , în geometrie , este un patrulater regulat , adică un poligon cu patru laturi și patru unghiuri congruente (toate 90 ° care este dreapta ).

Pătratul este un caz particular al unui romb (deoarece are toate cele patru laturi congruente) și al unui dreptunghi (deoarece are patru unghiuri congruente), prin urmare este un caz particular al unui paralelogram (deoarece are două laturi paralele).

Caracteristici principale

Diagonalele unui pătrat sunt congruente și perpendiculare, punctul lor de intersecție le împarte în jumătate și măsoară ca latura înmulțită cu rădăcina pătrată a lui 2 :

{\mbox{diagonale}}={\mbox{lato}}\cdot {\sqrt {2}}

{\ displaystyle {\ mbox {diagonal}} = {\ mbox {side}} \ cdot {\ sqrt {2}}}

{\ mbox {diagonal}} = {\ mbox {side}} \ cdot {\ sqrt 2}

Această formulă este dovedită cu teorema lui Pitagora . De fapt, fiecare diagonală împarte pătratul în două triunghiuri unghiulare pentru care suma pătratelor construite pe picioare este echivalentă cu pătratul construit pe ipotenuză (care este diagonala ).

AC={\sqrt {AD^{2}+CD^{2}}}={\sqrt {l^{2}+l^{2}}}={\sqrt {2\cdot l^{2}}}=l\cdot {\sqrt {2}}

{\ displaystyle AC = {\ sqrt {AD ^ {2} + CD ^ {2}}} = {\ sqrt {l ^ {2} + l ^ {2}}} = {\ sqrt {2 \ cdot l ^ {2}}} = l \ cdot {\ sqrt {2}}}

AC = {\ sqrt {AD ^ {2} + CD ^ {2}}} = {\ sqrt {l ^ {2} + l ^ {2}}} = {\ sqrt {2 \ cdot l ^ {2} }} = l \ cdot {\ sqrt {2}}

.

Perimetrul unui pătrat, deoarece are toate laturile congruente, măsoară:

{\mbox{lato}}\cdot 4

{\ displaystyle {\ mbox {side}} \ cdot 4}

{\ mbox {side}} \ cdot 4

Aria unui pătrat, deoarece înălțimea și baza sunt congruente, măsoară:

{\mbox{lato}}^{2}

{\ displaystyle {\ mbox {side}} ^ {2}}

{\ mbox {side}} ^ {2}

dar puteți calcula și cum

{\frac {{\mbox{diagonale}}^{2}}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ mbox {diagonal}} ^ {2}} {2}}}

{\ frac {{\ mbox {diagonal}} ^ {2}} {2}}

pentru teorema lui Pitagora .

Din aceasta deducem că diagonala unui pătrat de zonă a este partea pătratului cu aria 2a .

Pătratul are 4 axe de simetrie: 2 trecând printr-o pereche de vârfuri opuse și 2 trecând printr-o pereche de puncte medii pe laturi.

Punctul de intersecție al celor două diagonale este numit centrul pătratului și este centrul de simetrie de rotație și de simetrie centrală pentru pătrat. Ordinea simetriei de rotație a pătratului este 4; cu alte cuvinte, pătratul este invariant sub rotațiile din jurul centrului său față de unghiuri $k{\frac {\pi }{2}}{\mbox{rad}}=k90^{\circ }{\mbox{ per }}k=0,1,2,3$ ${\ displaystyle k {\ frac {\ pi} {2}} {\ mbox {rad}} = k90 ^ {\ circ} {\ mbox {per}} k = 0,1,2,3}$ $k {\ frac \ pi 2} {\ mbox {rad}} = k90 ^ {\ circ} {\ mbox {per}} k = 0,1,2,3$ ; bineînțeles rotația $\,\pi$ ${\ displaystyle \, \ pi}$ $\, \ pi$ radianii este simetria centrală.

Ecuația unui pătrat pe un plan cartezian

Patratul $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ din partea 2 și centru, originea poate fi descrisă în diferite moduri. De exemplu:

Q={\big \{}(x,y)\ {\big |}\ |x|\leq 1,|y|\leq 1{\big \}}.

{\ displaystyle Q = {\ big \ {} (x, y) \ {\ big |} \ | x | \ leq 1, | y | \ leq 1 {\ big \}}.}

Q = {\ big \ {} (x, y) \ {\ big |} \ | x | \ leq 1, | y | \ leq 1 {\ big \}}.

Prin urmare, marginea sa este

\partial Q={\big \{}(x,y)\ {\big |}\ |x|=1,|y|\leq 1\}\cup \{(x,y)\ |\ |y|=1,|x|\leq 1{\big \}}.

{\ displaystyle \ partial Q = {\ big \ {} (x, y) \ {\ big |} \ | x | = 1, | y | \ leq 1 \} \ cup \ {(x, y) \ | \ | y | = 1, | x | \ leq 1 {\ big \}}.}

\ partial Q = {\ big \ {} (x, y) \ {\ big |} \ | x | = 1, | y | \ leq 1 \} \ cup \ {(x, y) \ | \ | y | = 1, | x | \ leq 1 {\ big \}}.

Acest lucru poate fi, de asemenea, descris ca

\partial Q={\big \{}(x,y)\ {\big |}\ 0<\lim _{n\rightarrow \infty }x^{2n}+y^{2n}<\infty {\big \}}.

{\ displaystyle \ partial Q = {\ big \ {} (x, y) \ {\ big |} \ 0 <\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} x ^ {2n} + y ^ {2n} <\ infty {\ big \}}.}

\ partial Q = {\ big \ {} (x, y) \ {\ big |} \ 0 <\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} x ^ {{2n}} + y ^ {{2n} } <\ infty {\ big \}}.

În matematică , acest pătrat reprezintă bila unitară a planului în raport cu norma uniformă .

Mai general, ecuația carteziană a unui pătrat având centrul său în originea axelor este: $Q:{\big |}ax+by|+|bx-ay|\leq 1,\quad \ a\neq \ 0\ \lor \ b\neq \ 0$ ${\ displaystyle Q: {\ big |} ax + by | + | bx-ay | \ leq 1, \ quad \ a \ neq \ 0 \ \ lor \ b \ neq \ 0}$ ${\ displaystyle Q: {\ big |} ax + by | + | bx-ay | \ leq 1, \ quad \ a \ neq \ 0 \ \ lor \ b \ neq \ 0}$

Dacă luăm în considerare în schimb centrul pătratului la punctul de coordonate ${\big (}x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle {\ big (} x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle {\ big (} x_ {0}, y_ {0})}$ ecuația devine:

$Q:{\big |}a(x-x_{0})+b(y-y_{0})|+|b(x-x_{0})-a(y-y_{0})|\leq 1$ ${\ displaystyle Q: {\ big |} a (x-x_ {0}) + b (y-y_ {0}) | + | b (x-x_ {0}) - a (y-y_ {0} ) | \ leq 1}$ ${\ displaystyle Q: {\ big |} a (x-x_ {0}) + b (y-y_ {0}) | + | b (x-x_ {0}) - a (y-y_ {0} ) | \ leq 1}$

de la care:

$Q:{\big |}ax+by-ax_{0}-by_{0}|+|bx-ay-bx_{0}+ay_{0}|\leq 1$ ${\ displaystyle Q: {\ big |} ax + by-ax_ {0} -by_ {0} | + | bx-ay-bx_ {0} + ay_ {0} | \ leq 1}$ ${\ displaystyle Q: {\ big |} ax + by-ax_ {0} -by_ {0} | + | bx-ay-bx_ {0} + ay_ {0} | \ leq 1}$

sau în forma cea mai generală posibilă:

$Q:{\big |}ax+by+p|+|bx-ay+q|\leq 1,\quad \ a\neq \ 0\ \lor \ b\neq \ 0$ ${\ displaystyle Q: {\ big |} ax + by + p | + | bx-ay + q | \ leq 1, \ quad \ a \ neq \ 0 \ \ lor \ b \ neq \ 0}$ ${\ displaystyle Q: {\ big |} ax + by + p | + | bx-ay + q | \ leq 1, \ quad \ a \ neq \ 0 \ \ lor \ b \ neq \ 0}$

Prin urmare, marginea acestuia este:

$Q:{\big |}ax+by+p|+|bx-ay+q|=1,\quad \ a\neq \ 0\ \lor \ b\neq \ 0$ ${\ displaystyle Q: {\ big |} ax + by + p | + | bx-ay + q | = 1, \ quad \ a \ neq \ 0 \ \ lor \ b \ neq \ 0}$ ${\ displaystyle Q: {\ big |} ax + by + p | + | bx-ay + q | = 1, \ quad \ a \ neq \ 0 \ \ lor \ b \ neq \ 0}$

Existența pătratului

Un „pătrat” în planul hiperbolic cu toate unghiurile acute congruente

O demonstrație constructivă a existenței pătratului este dată de Euclid în propunerea 46 din prima carte a Elementelor , chiar înainte de a utiliza această figură în formularea și demonstrarea teoremei lui Pitagora . Cu toate acestea, în tradiția didactică modernă, existența pătratelor este, în general, luată ca atare. Trebuie remarcat faptul că dovada euclidiană utilizează indirect postulatul 5 și existența pătratelor nu este garantată în geometriile neeuclidiene .

De exemplu, în geometria hiperbolică nu există poligoane cu patru laturi egale și patru unghiuri drepte: suma unghiurilor interne ale unui patrulater hiperbolic este de fapt întotdeauna strict mai mică decât un unghi rotund . Cu toate acestea, există „pătrate” în planul hiperbolic dacă cele patru unghiuri trebuie doar să fie congruente (dar nu corecte): pentru fiecare număr real $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ strict mai puțin de $\pi /2$ ${\ displaystyle \ pi / 2}$ $\ pi / 2$ de fapt există un poligon cu patru laturi congruente și patru unghiuri congruente egale cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ .

Constructie

Un pătrat poate fi înscris într-un cerc cu o riglă și busolă . O animație este prezentată mai jos:

Construcția pătratului înscris în circumferință

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « pătrat »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe pătrat

linkuri externe

( EN ) Quadrato , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 21705 · LCCN (EN) sh85127084 · GND (DE) 4129044-6 · BNF (FR) cb16529362t (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Poligoane
Poligoane după numărul de laturi	Triunghi (3) · Cadrilater (4) · Pentagon (5) · Hexagon (6) · Heptagonon (7) · Octagon (8) · nonagon (9) · Decagon (10) · hendecagon (11) · Dodecagon (12) · tridecagon (13) · tetradecagon (14) · pentadecagon (15) · hexadecagon (16) · heptadecagon (17) · octadecagon (18) · enneadecagon (19) · icosagon (20) · Endeicosagono (21) · Doicosagono (22) · triacontagon (30) · Pentacontagono (50) · 257-gon (257) · chiliagon (1 000) · Miriagono (10 000) · 65537-gon (65 537)
Triunghiuri	Bazat pe laturi: Triunghi echilateral · Triunghi isoscel · Triunghi scalen · Conform unghiurilor: Triunghi dreptunghiular · Triunghi ascuțit · Triunghi obuz
Cadrilaterale	Pătrat · dreptunghi · Paralelogram · Rhombus · Trapez · Kite
Poligoane stelare	Pentagramă · Hexagramă · Eptagramma · Ottagramma · Eneagramă · Decagramma · Endecagramma · Dodecagramma
Alții	Poligon regulat · Poligon echilateral · Poligon echivalen