Disquisitiones Arithmeticae
| Disquisitiones Arithmeticae | |
|---|---|
 | |
| Autor | Carl Friedrich Gauss |
| Prima ed. original | 1801 |
| Tip | Literatura științifică |
| Limba originală | latin |
Disquisitiones Arithmeticae este un text al teoriei numerelor scris de matematicianul german Carl Friederich Gauss . Cartea a fost scrisă în latină în 1798 , când Gauss avea doar douăzeci și unu de ani, dar a fost publicată doar trei ani mai târziu, în 1801 . Termenul Arithmeticae se referă la numele Gauss folosit pentru teoria numerelor, adică „aritmetică superioară”.
Lucrarea prezintă atât rezultate originale, cât și teoreme deja cunoscute, care sunt însă prezentate pentru prima dată într-un mod organic și sistematic. Acoperă atât câmpurile așa-numitei „elementare” a numerelor (adică fără utilizarea metodelor tipice altor ramuri ale matematicii), cât și a ceea ce numim teoria numerelor algebrice . O diferență importantă față de textele moderne este absența conceptului de grup .
Secțiuni
Lucrarea este împărțită în șapte secțiuni:
- I: congruențe din punct de vedere general;
- II: congruențe liniare (gradul I);
- III: reziduuri de putere;
- IV: congruențe pătratice (gradul II);
- V: forme și ecuații nedeterminate de gradul II;
- VI: aplicațiile secțiunilor anterioare;
- VII: ecuații care definesc secțiuni ale unui cerc.
Primele trei secțiuni colectează în esență teoreme deja cunoscute de matematicienii anteriori (descoperite, printre altele, de Fermat , Euler , Joseph-Louis Lagrange și Legendre ), inclusiv mica teoremă a lui Fermat și teorema lui Wilson . Aici este prezentată și prima recunoaștere explicită, cu o dovadă completă, a teoremei fundamentale a aritmeticii (adică unicitatea factorizării între numere întregi); în plus, în aceste secțiuni există primul tratament sistematic al acestor subiecte.
Începând cu secțiunea a patra, rezultatele originale sunt enunțate și dovedite: în a patra este demonstrată legea reciprocității pătratice , a cincea (care reprezintă rareori jumătate din întreaga lucrare) este o teorie a formelor pătratice , în timp ce în a șasea sunt două diferite teste de primalitate . A șaptea secțiune este o analiză a rădăcinilor unității și se încheie cu criteriul pentru stabilirea care poligoane regulate pot fi construite cu o riglă și busolă: aici, printre altele, construcția heptadecagonului obișnuit, descoperit de Gauss câțiva ani , este prezentat. primul.
O a opta parte, pe congruențe de un grad peste a doua, a fost inițiată de Gauss, dar autorul nu a putut să o completeze; ultima parte, însă, a fost publicată separat după moartea sa.
Importanţă
După cum sa menționat deja, Disquisitiones au fost primul text sistematic al teoriei numerelor: înaintea ei, această disciplină era alcătuită din teoreme izolate, cu dovezi adesea care nu sunt complet corecte. Gauss, pe lângă corectarea acestuia din urmă, a umplut golurile care fuseseră create între unele teoreme și a extins mult rezultatele obținute.
Structura cărții în sine (enunțul unei teoreme urmată de dovada ei și orice corolar ) a devenit un standard pentru textele ulterioare. În plus față de dovezi, există și multe exemple numerice pentru a ilustra diferitele teoreme.
Mulți matematicieni din secolul al XIX-lea au început de la Dischiziții pentru a-și dezvolta teoriile: în special, această lucrare conține primele nuclee ale teoriilor funcțiilor L și multiplicării complexe .
Unele presupuneri prezentate aici au durat și până în secolul al XX-lea; de exemplu, în secțiunea V, Gauss și-a rezumat calculele privind numărul clasei de câmpuri pătratice imaginare, presupunând că a găsit toate câmpurile cu numerele de clasă 1, 2 și 3. Această problemă, cunoscută sub numele de conjectura numărului de clasă , este că a fost rezolvată doar în 1966. [1] În această secțiune Gauss a dovedit și o teoremă care poate fi interpretată ca primul caz non-trivial al ipotezei Riemann pentru curbele pe câmpuri finite. [2]
Notă
- ^ Ireland, K. & Rosen, M. (1993), A Classical Introduction to Modern Number Theory , New York: Springer-Verlag, pp. 358-361, ISBN 038797329X
- ^ Silverman, J. & Tate, J. (1992), Rational Points on Elliptic Curves , New York: Springer-Verlag, p. 110, ISBN 0387978259
Alte proiecte
-
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Disquisitiones Arithmeticae
linkuri externe
- Site-ul oficial , la asakura.co.jp .
- ( EN ) Disquisitiones Arithmeticae , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
