Teorema lui Cauchy (teoria grupurilor)

În matematică , teorema lui Cauchy este o teoremă a teoriei grupurilor finite ; afirmă că, dacă $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un grup finit de ordine $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$ , Și $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un număr prim care împarte $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , atunci există în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un element de ordine $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , și apoi un subgrup cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ elemente.

Este numit după Augustin-Louis Cauchy .

Teorema lui Cauchy este un invers parțial al teoremei lui Lagrange și este generalizată de prima teoremă a lui Sylow (care garantează existența subgrupurilor de ordine $p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k}}$ $p ^ {k}$ de sine $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un număr prim și $p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k}}$ $p ^ {k}$ împarte ordinea grupului).

Demonstrație

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup e $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ o primă care împarte ordinea grupului. Să luăm în considerare următorul set de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -copii de elemente ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ :

P=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p})\mid a_{1}a_{2}\cdots a_{p}=e\}

{\ displaystyle P = \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {p}) \ mid a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {p} = e \}}

{\ displaystyle P = \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {p}) \ mid a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {p} = e \}}

,

unde este $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este identitatea grupului.

Întregul $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ conține exact $n^{p-1}$ ${\ displaystyle n ^ {p-1}}$ ${\ displaystyle n ^ {p-1}}$ elemente: primul $p-1$ ${\ displaystyle p-1}$ $p-1$ pot fi alese fiecare în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ moduri distincte, în timp ce alegerea ultimei este obligatorie (trebuie să fie inversa $a_{1}\cdots a_{p-1}$ ${\ displaystyle a_ {1} \ cdots a_ {p-1}}$ ${\ displaystyle a_ {1} \ cdots a_ {p-1}}$ ).

Să spunem acum că două $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -uples sunt echivalente dacă și numai dacă unul se poate obține de la celălalt prin ciclic permutării elementele sale; adică $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -echivalent echivalent cu $(a_{1},\ldots ,a_{p})$ ${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {p})}$ ${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {p})}$ sunt cele de tipul

(a_{t},a_{t+1},\ldots ,a_{p},a_{1},\ldots ,a_{t-1})

{\ displaystyle (a_ {t}, a_ {t + 1}, \ ldots, a_ {p}, a_ {1}, \ ldots, a_ {t-1})}

{\ displaystyle (a_ {t}, a_ {t + 1}, \ ldots, a_ {p}, a_ {1}, \ ldots, a_ {t-1})}

,

pentru un întreg $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ între $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ Și $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Aceasta este o relație de echivalență ; clasele de echivalență pot fi considerate și ca orbite ale acțiunii naturale a $\mathbb {Z} _{p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ $\ mathbb {Z} _p$ pe $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Dacă toate elementele din $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -upla $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p})$ ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {p})}$ ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {p})}$ sunt egali, atunci este singurul element din clasa sa de echivalență; pe de altă parte, dacă două elemente ale $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -upla sunt distincte, atunci (fiind $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un număr prim) clasa de echivalență include exact $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ elemente.

Există cel puțin unul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -upla in $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ cu toate elementele egale, unul în care toate sunt egale cu elementul neutru; în consecință, dacă nu ar exista alții, unul ar avea

\vert P\vert =n^{p-1}=1+hp

{\ displaystyle \ vert P \ vert = n ^ {p-1} = 1 + hp}

{\ displaystyle \ vert P \ vert = n ^ {p-1} = 1 + hp}

,

unde este $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este un număr întreg pozitiv. Atâta timp cât $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ împarte $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , acest lucru este absurd și, prin urmare, trebuie să existe un $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ diferit de elementul neutru astfel încât $(a,a,\ldots ,a)\in P$ ${\ displaystyle (a, a, \ ldots, a) \ în P}$ ${\ displaystyle (a, a, \ ldots, a) \ în P}$ ; în special, ordinea $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este exact $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

Urmări

O consecință imediată a acestei teoreme este faptul că dacă toate elementele unui grup finit au o putere de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , apoi și ordinea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grupului este o putere a $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ : dacă într-adevăr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ a fost împărțit de un alt prim $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , ar exista un subgrup cu $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ elemente, împotriva ipotezei.

Bibliografie

Antonio Machì, Grupuri , Springer, 2007, ISBN 978-88-470-0622-5 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică