Modul plat

În algebră , un modul plat este un modul care „se comportă bine” în raport cu produsul tensorial ; mai precis, având în vedere un inel A , un A -modul M stâng este plat dacă pentru fiecare succesiune exactă de A -module

\cdots \longrightarrow N_{i-1}\longrightarrow N_{i}\longrightarrow N_{i+1}\longrightarrow \cdots

{\ displaystyle \ cdots \ longrightarrow N_ {i-1} \ longrightarrow N_ {i} \ longrightarrow N_ {i + 1} \ longrightarrow \ cdots}

\ cdots \ longrightarrow N_ {i-1} \ longrightarrow N_i \ longrightarrow N_ {i + 1} \ longrightarrow \ cdots

succesiunea grupurilor abeliene

\cdots \longrightarrow N_{i-1}\otimes _{A}M\longrightarrow N_{i}\otimes _{A}M\longrightarrow N_{i+1}\otimes M\longrightarrow \cdots

{\ displaystyle \ cdots \ longrightarrow N_ {i-1} \ otimes _ {A} M \ longrightarrow N_ {i} \ otimes _ {A} M \ longrightarrow N_ {i + 1} \ otimes M \ longrightarrow \ cdots}

\ cdots \ longrightarrow N_ {i-1} \ otimes_A M \ longrightarrow N_i \ otimes_A M \ longrightarrow N_ {i + 1} \ otimes M \ longrightarrow \ cdots

(unde hărțile celei de-a doua secvențe sunt obținute din cele din prima tensorizare cu identitatea de pe M ) este încă exactă; în mod similar, un modul M corect este plat dacă succesiunea grupurilor abeliene este exactă

\cdots \longrightarrow M\otimes _{A}N_{i-1}\longrightarrow M\otimes _{A}N_{i}\longrightarrow M\otimes _{A}N_{i+1}\longrightarrow \cdots

{\ displaystyle \ cdots \ longrightarrow M \ otimes _ {A} N_ {i-1} \ longrightarrow M \ otimes _ {A} N_ {i} \ longrightarrow M \ otimes _ {A} N_ {i + 1} \ longrightarrow \ cdots}

\ cdots \ longrightarrow M \ otimes_A N_ {i-1} \ longrightarrow M \ otimes_A N_i \ longrightarrow M \ otimes_A N_ {i + 1} \ longrightarrow \ cdots

Cu alte cuvinte, un modul de stânga este plat în cazul în care functorul $-\otimes _{A}M$ ${\ displaystyle - \ otimes _ {A} M}$ $- \ otimes_A M$ este corect , în timp ce un modul potrivit este plat dacă este corect $M\otimes _{A}-$ ${\ displaystyle M \ otimes _ {A} -}$ $M \ otimes_A -$ . Pe inelele comutative , noțiunile de modul plat stâng și modul plat drept coincid.

Definiții echivalente

Pentru a verifica planeitatea unui modul este suficient să se ia în considerare secvențele scurte exacte : modulul din stânga M este plat dacă și numai dacă, pentru fiecare scurtă exactă

0\longrightarrow N'\longrightarrow N\longrightarrow N''\longrightarrow 0

{\ displaystyle 0 \ longrightarrow N '\ longrightarrow N \ longrightarrow N' '\ longrightarrow 0}

0 \ longrightarrow N '\ longrightarrow N \ longrightarrow N' '\ longrightarrow 0

de asemenea succesiunea tensorizată

0\longrightarrow N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M\longrightarrow N''\otimes M\longrightarrow 0

{\ displaystyle 0 \ longrightarrow N '\ otimes M \ longrightarrow N \ otimes M \ longrightarrow N' '\ otimes M \ longrightarrow 0}

0 \ longrightarrow N '\ otimes M \ longrightarrow N \ otimes M \ longrightarrow N' '\ otimes M \ longrightarrow 0

este corect. Această definiție este, de asemenea, oarecum redundantă, deoarece, dacă

N'\longrightarrow N\longrightarrow N''\longrightarrow 0

{\ displaystyle N '\ longrightarrow N \ longrightarrow N' '\ longrightarrow 0}

N '\ longrightarrow N \ longrightarrow N' '\ longrightarrow 0

atunci este o secvență exactă

N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M\longrightarrow N''\otimes M\longrightarrow 0

{\ displaystyle N '\ otimes M \ longrightarrow N \ otimes M \ longrightarrow N' '\ otimes M \ longrightarrow 0}

N '\ otimes M \ longrightarrow N \ otimes M \ longrightarrow N' '\ otimes M \ longrightarrow 0

este întotdeauna exact; în consecință este suficient să se solicite că dacă $f:N'\longrightarrow N$ ${\ displaystyle f: N '\ longrightarrow N}$ $f: N '\ longrightarrow N$ atunci este injectiv $f\otimes 1:N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M$ ${\ displaystyle f \ otimes 1: N '\ otimes M \ longrightarrow N \ otimes M}$ $f \ otimes 1: N '\ otimes M \ longrightarrow N \ otimes M$ este încă injectiv.

În mod echivalent, modulele plate pot fi definite în funcție de funcția Tor : un modul stâng M este plat dacă și numai dacă $Tor_{i}^{A}(N,M)=0$ ${\ displaystyle Tor_ {i} ^ {A} (N, M) = 0}$ $Tor ^ A_i (N, M) = 0$ pentru fiecare i > 0 și pentru fiecare A -modul N. Și această condiție poate fi rafinată necesitând doar asta $Tor_{1}^{A}(N,M)=0$ ${\ displaystyle Tor_ {1} ^ {A} (N, M) = 0}$ $Tor ^ A_1 (N, M) = 0$ pentru fiecare N.

Aceleași proprietăți se aplică simetric modulelor din dreapta.

Proprietate

Produsul tensor al a două module plate este încă plat; suma directă a modulelor M _i este plată dacă și numai dacă fiecare M _i este plat.

Dacă S este un subgrup închis multiplicativ al lui A conținut în centrul său, locația $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ a lui A este un A -modul plat; în consecință, localizările unui modul plat sunt încă plate.

Dacă x este un element în centrul lui A și nu este un divizor zero, atunci A / xA este un exemplu de modul care nu este plat: acest lucru poate fi văzut din secvența exactă

0\longrightarrow A\longrightarrow ^{x}A\longrightarrow A/xA\longrightarrow 0

{\ displaystyle 0 \ longrightarrow A \ longrightarrow ^ {x} A \ longrightarrow A / xA \ longrightarrow 0}

0 \ longrightarrow A \ longrightarrow ^ x A \ longrightarrow A / xA \ longrightarrow 0

deoarece, în succesiunea tensorizată

0\longrightarrow A\otimes _{A}A/xA\longrightarrow A\otimes _{A}A/xA\longrightarrow A/xA\otimes _{A}A/xA\longrightarrow 0

{\ displaystyle 0 \ longrightarrow A \ otimes _ {A} A / xA \ longrightarrow A \ otimes _ {A} A / xA \ longrightarrow A / xA \ otimes _ {A} A / xA \ longrightarrow 0}

0 \ longrightarrow A \ otimes_A A / xA \ longrightarrow A \ otimes_A A / xA \ longrightarrow A / xA \ otimes_A A / xA \ longrightarrow 0

harta $A\otimes _{A}A/xA\longrightarrow A\otimes _{A}A/xA$ ${\ displaystyle A \ otimes _ {A} A / xA \ longrightarrow A \ otimes _ {A} A / xA}$ $A \ otimes_A A / xA \ longrightarrow A \ otimes_A A / xA$ devine omomorfismul nul, în timp ce $A\otimes _{A}A/xA$ ${\ displaystyle A \ otimes _ {A} A / xA}$ $A \ otimes_A A / xA$ nu este modulul nul.

În special, dacă A este comutativ , toate localizările $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ sunt plate; planeitatea este, de asemenea, o proprietate locală , în sensul că M este un modul plat dacă și numai localizarea M _P este plană pentru fiecare ideal prim P. Dacă A este, de asemenea, integral , niciun coeficient A / I nu este plat; extinzând raționamentul anterior, pe un domeniu de integritate, toate modulele plate sunt libere de torsiune .

Fiecare modul liber și fiecare modul proiectiv sunt plate; inversul nu este adevărat în general, deși un modul plat prezentat finit este proiectiv. ^[1]

Inele absolut plate

Un inel A astfel încât toate modulele A rămase să fie plate se numește absolut plat (sau von Neumann regulat ); dacă se întâmplă acest lucru, atunci toate modulele A- sunt de asemenea plate. În mod echivalent, A este absolut plat dacă pentru fiecare a există un x astfel încât axa = a ; o altă condiție echivalentă este că toate idealurile principale ale lui A sunt idempotente, adică sunt astfel încât $I^{2}=I$ ${\ displaystyle I ^ {2} = I}$ $I ^ 2 = I$ . ^[2] ^[3]

Dintre inelele comutative, un inel local este absolut plat dacă și numai dacă este un câmp; ^[4] în general, un inel comutativ este absolut plat dacă și numai dacă este redus și are dimensiunea 0. ^[3]

Un exemplu de inel absolut plat este orice inel boolean .

Notă

^ Weibel , p.71
^ (EN) VE Govorov, Modul plat , în Enciclopedia Matematicii , Springer și Societatea Europeană de Matematică, 2002.
^ ^a ^b Weibel , pp. 97-98 .
^ Clarke , pp. 117-118 .

Bibliografie

( EN ) Michael Atiyah și Ian G. Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5 .
( EN ) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra , Cambridge University Press, ISBN 0-521-43500-5 .
( EN ) Pete L. Clark, Algebra comutativă ( PDF ). Adus la 5 noiembrie 2011 (arhivat din original la 14 decembrie 2010) .

linkuri externe

( EN ) VE Govorov, Modul plat , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Weibel , p.71

[2] (EN) VE Govorov, Modul plat , în Enciclopedia Matematicii , Springer și Societatea Europeană de Matematică, 2002.

[abs-weib-3] Weibel , pp. 97-98 .

[4] Clarke , pp. 117-118 .

[1]

[2]

[3]

[4]