Inel boolean

Această intrare sau secțiune pe matematică nu citează sursele necesare sau cele prezente sunt insuficiente. Puteți îmbunătăți această intrare adăugând citări din surse de încredere în conformitate cu liniile directoare privind utilizarea surselor . Urmați sfaturile de proiectare de referință .

În matematică un inel boolean ( R , +, ·) este un inel unitate pentru care x ² = x pentru fiecare element x al suportului său R. Cu alte cuvinte, este un inel format doar din elemente idempotente .

Inelele booleene sunt structuri criptomorfe (adică echivalente logic) cu algebrele booleene . Cel mai cunoscut exemplu este oferit de setul de părți ale oricărui set X , unde adunarea inelului este operația de set de diferențe simetrice și înmulțirea este intersecția .

Criptomorfism cu algebre booleene

Dat fiind un inel boolean (R, +, ·), definim

x ∧ y : = x y ,

x ∨ y : = x + y + xy ,

~ x = 1 + x .

Structura (R, ∨, ∧) satisface toate axiomele algebrei booleene ^[1] , unde operațiile ∨, ∧ și ~ au resp. rolurile de joncțiune, întâlnire și complementare. În acest fel, o algebră booleană este asociată cu fiecare inel boolean.

În schimb, un inel boolean este asociat cu fiecare algebră booleană prin definirea:

x y : = x ∧ y ,

x + y : = ( x ∨ y ) ∧ ~ ( x ∧ y ).

Morfisme și substructuri

O aplicație între două inele booleene se numește homomorfism inelar dacă este transportată între algebrele booleene corespunzătoare constituie un homomorfism între aceste structuri.

Un subset al unui inel boolean se numește ideal de inel (ideal primar de inel, ideal maxim de inel) dacă și numai dacă constituie un ideal de ordine (ideal de ordine primă, ideal de ordine maximă) al algebrei booleene.

Pentru inelul coeficient al unui modul inel boolean un ideal de inel corespunde rețelei coeficiente a rețelelor booleene corespunzătoare modulo idealului de ordine corespunzător.

Unele rezultate

Fiecare inel boolean R satisface x + x = 0 pentru fiecare x în R ; de fapt știm asta

x + x = ( x + x ) ² = x ² + 2 x ² + x ² = x + 2 x + x

și putem scădea x + x din ambele părți ale acestei ecuații. O dovadă similară garantează că fiecare inel boolean este comutativ :

x + y = ( x + y ) ² = x ² + xy + yx + y ² = x + xy + yx + y

iar această egalitate are ca rezultat xy + yx = 0, care este echivalent cu xy = - yx = yx (folosind proprietatea anterioară).

Identitatea x + x = 0 spune că o algebră asociativă pe câmpul F ₂ a două elemente poate fi asociată într-un mod unic fiecărui inel boolean. În special, fiecare inel boolean finit are o putere de două ca cardinalitate .

Observăm că există algebre asociative unitare pe F ₂ care nu sunt inele booleene: un exemplu este dat de inelul polinoamelor F ₂ [ X ].

Inelul coeficient R / I relativ la un inel boolean arbitrar R modulo orice I ideal este, de asemenea, un inel boolean. În mod similar, fiecare subinel al unui inel boolean este un inel boolean.

Fiecare ideal P principal al unui inel boolean R este maxim: inelul coeficient R / P este un domeniu de integritate și în același timp un inel boolean; de aceea trebuie să fie izomorf pentru câmpul F ₂ și acest lucru implică maximalitatea lui P. Deoarece idealurile maxime sunt neapărat prime, concluzionăm că în fiecare inel boolean setul idealurilor prime și cel al idealurilor maxime coincid.

Notă

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică