Algebra de câmp

În matematică , pentru algebră pe un câmp K , sau K -algebră , se înțelege un spațiu vectorial A deasupra K echipat cu o operație binară „compatibilă” cu celelalte legi de compoziție numite de obicei „ multiplicare ” a elementelor lui A.

O generalizare directă se referă la posibilitatea utilizării oricărui inel comutativ în locul unui câmp de bază.

Definiții

Să luăm în considerare un câmp K , un spațiu vectorial $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pe K este o operație binară pe acel spațiu

*:A\times A\to A

{\ displaystyle *: A \ times A \ to A}

*: A \ ori A \ până la A

Să presupunem în plus că operația * este biliniară, adică astfel încât:

$(x+y)*z=x*z+y*z$ ${\ displaystyle (x + y) * z = x * z + y * z}$ $(x + y) * z = x * z + y * z$
$x*(y+z)=x*y+x*z$ ${\ displaystyle x * (y + z) = x * y + x * z}$ $x * (y + z) = x * y + x * z$
$(ax)*y=a(x*y)$ ${\ displaystyle (ax) * y = a (x * y)}$ $(ax) * y = a (x * y)$
$x*(by)=b(x*y)$ ${\ displaystyle x * (by) = b (x * y)}$ $x * (b y) = b (x * y)$

cu a și b scalari arbitrare în K și cu x, y și vectori arbitrar z în A.

Spațiul A îmbogățit cu această operație se numește algebră pe câmpul K și K se numește câmpul de bază al algebrei A. De obicei, operația binară se numește „multiplicarea” algebrei, iar obiectul furnizat de o expresie precum x y se numește produsul lui x și y . Cu toate acestea, operația binară în multe specii particulare de algebre de câmp este indicată prin nume și notații specifice.

Structuri similare algebrelor de câmp, dar puțin mai generale, pot fi definite folosind, în locul unui câmp, un inel comutativ K : avem nevoie de un modul A peste K și de o operație de multiplicare biliniară care să satisfacă aceleași identități de mai sus; atunci A este o algebră K , iar K este inelul de bază al lui A.

Se spune că două algebre din același câmp K , A și B sunt izomorfe dacă și numai dacă există o hartă liniară bijectivă cu privire la K f : A → B astfel încât f ( x * y ) = f ( x ) * f ( y ) pentru x și y elemente arbitrare ale lui A. Pentru multe considerații generale, două algebre izomorfe de câmp sunt în esență aceeași entitate; ele diferă prin modalitățile folosite pentru a apela și denota elementele lor.

Proprietate

Pentru algebrele unui câmp, înmulțirea biliniară de la A × A la A este complet determinată de înmulțirea elementelor bazei lui A. În schimb, odată ce a fost aleasă baza pentru A , produsul elementelor bazei poate fi ales în mod arbitrar și astfel extins într-un mod unic la un operator biliniar pe A , adică astfel încât multiplicarea rezultată să satisfacă legile algebrei.

Prin urmare, având în vedere câmpul K , orice algebră poate fi specificată până la izomorfisme prin atribuirea dimensiunii sale (de exemplu n ) și specificarea n ³ coeficienților structurii c _{i , j , k} , care sunt scalari . Acești coeficienți de structură determină multiplicarea în A cu următoarea regulă:

\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {e} _ {j} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {i, j, k} \ mathbf {e} _ {k }}

\ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {e} _ {j} = \ sum_ {k = 1} ^ n c_ {i, j, k} \ mathbf {e} _ {k}

unde e ₁ , ... și _n formează o bază a lui A. Singura cerință pentru coeficienții structurii este că, dacă dimensiunea n este infinită , atunci această sumă trebuie să convergă întotdeauna (în sensul cel mai potrivit situației).

Rețineți însă că multe seturi diferite de coeficienți de structură pot da naștere la algebre izomorfe.

Când algebra poate fi echipată cu o metrică , atunci coeficienții de structură se scriu cu indici superiori și inferiori, astfel încât să se distingă proprietățile lor în transformările de coordonate. Astfel, în fizica matematică , coeficienții de structură sunt adesea notați cu c _{i , j} ^k , iar regula lor de definiție este scrisă folosind notația lui Einstein ca:

și _i și _j = c _{i , j} ^k și _k .

Dacă aplicați acest lucru vectorilor scrisi cu notație normală a indexului, formula devine:

( x y ) ^k = c _{i , j} ^k x ⁱ y ^j .

Dacă K este doar un inel comutativ și nu un câmp, atunci aceeași procedură funcționează dacă A este un modul liber pe K. Dacă nu este, atunci multiplicarea este încă complet determinată de acțiunea sa asupra unui grup generator de A ; totuși, constantele de structură nu pot fi specificate în mod arbitrar în acest caz și știind doar constantele de structură nu detectează algebra decât dacă există izomorfisme.

Specii de algebre și exemple

Algebra comutativă este o algebră a cărei multiplicare este comutativă . Algebra asociativă este o algebră a cărei multiplicare este asociativă . Majoritatea speciilor de algebră de câmp mai cunoscute se bucură de cele două proprietăți de mai sus.

Algebre asociative:
- Algebra setului de părți cu operații de diferență simetrică și de intersecție , pe câmpul claselor de rest modul 2 $Z_{2}$ ${\ displaystyle Z_ {2}}$ $Z_2$ .
- Algebra tuturor matricilor n × n peste un câmp (sau inel comutativ) K având ca multiplicare înmulțirea obișnuită a matricilor .
- Algebră de grup , unde orice grup este presupus ca bază a spațiului vectorial și extensia biliniară a multiplicării grupului este presupusă ca multiplicarea algebrei. Este comutativ dacă și numai dacă grupul este astfel.
- Algebra comutativă K [ x ] a tuturor polinoamelor de deasupra câmpului K ,
- Algebra funcțiilor : de exemplu, algebra din câmpul R constituită din funcțiile continue cu valori reale având ca domeniu intervalul [0,1] sau algebra din câmpul numerelor complexe ale tuturor funcțiilor holomorfe definite pe unele set deschis fix al planului complex . Acestea sunt și algebre comutative.
- Algebre de incidență construite pe un set finit local parțial ordonat .
- Algebre ale operatorilor liniari care acționează, de exemplu, asupra unui spațiu Hilbert , pentru care compoziția operatorilor este presupusă ca multiplicarea structurii.

Toate aceste algebre au și o topologie ; multe dintre ele sunt definite pe un spațiu Banach și aceste structuri se numesc algebre Banach . Mai mult, dacă este dată și o involuție, obținem algebrele C * . Aceste algebre sunt studiate în analiza funcțională .

Cele mai cunoscute tipuri de algebre neasociative sunt cele care se apropie de cele asociative, adică cele în care diferențele dintre diferitele moduri de compunere a elementelor de date prin multiplicare sunt constrânse de expresii simple. Să le trecem în revistă.

Algebre Lie , pentru care x * x = 0 și identitatea Jacobi ( x * y ) * z + ( y * z ) * x + ( z * x ) * y = 0. Cu aceste algebre produsul se numește Paranteză Lie și este scris în mod tradițional [ x , y ] în loc de x * y . Exemple ale acestor algebre sunt:
- Spațiul euclidian pe câmpul numerelor reale R ³ cu multiplicarea dată de produsul vector .
- Algebre de câmp vector pe manifolduri diferențiabile (dacă K este R sau câmpul C ) sau un colector algebric (pentru orice K );
- Din fiecare algebră asociativă se derivă o algebră Lie prin adoptarea comutatorului pentru rolul parantezei Lie. De fapt, fiecare algebră Lie poate fi construită în acest fel sau este subalgebra unei algebre Lie construită cu comutatoare.

Algebre Jordan , pentru care cerem să se păstreze ( x * y ) * x ² = x * ( y * x ²) și comutativitatea x * y = y * x .
- Fiecare algebră asociativă peste un câmp care are o altă caracteristică decât 2 dă naștere unei algebre Jordan prin definirea unei noi multiplicări x $ y : = (1/2) ( x * y + y * x ). Contrar cazului algebrelor Lie, nu toate algebrele Iordaniei pot fi construite în acest fel. Cele care se pot numesc specialități .

Algebre alternative , pentru care sunt necesare atât ( x * x ) * y = x * ( x * y ), cât și ( y * x ) * x = y * ( x * x ). Cele mai importante exemple sunt date de algebra octonionilor (algebra pe reali) și generalizările octonionilor pe alte câmpuri. Observăm în mod explicit că toate algebrele asociative sunt alternative. Cu excepția izomorfismelor, singurele algebre alternative cu dimensiuni finite pe reale sunt algebra realelor, algebra complexelor, algebra cuaternionilor și algebra octonionilor.

Algebre asociative pe puteri , pentru care se cere ca x ^m * x ⁿ = x ^{m + n} , pentru orice număr întreg pozitiv m și n . (Aici definim puterile x ⁿ recursiv ca x * ( x ^{n -1} ).) Exemple ale acestor algebre sunt furnizate de toate algebrele asociative, toate algebrele alternative și algebra sedenion.

Alte specii de algebre

Algebră de diviziune , structură în care există inversuri multiplicative sau în care se poate efectua divizarea. Algebrele de diviziune cu dimensiuni finite de pe câmpul numărului real pot fi clasificate bine.

Algebră quadratică , structură pentru care cerem ca regula xx = re + sx să fie valabilă, unde r și s sunt elemente ale câmpului de bază și este un element inversabil al algebrei. Toate algebrele alternative cu dimensiuni finite și algebra matricelor reale de aspect 2 × 2 aparțin acestei clase de structuri complexe, din cuaternioane și din octonii.

Secvența algebrelor Cayley-Dickson pe câmpul realelor, începând cu următoarele:
- C , algebră bidimensională a complexelor (algebră comutativă și asociativă);
- algebra cuaternionilor H (algebra asociativă);
- algebra octonionilor ( algebră alternativă );
- algebra sedeniunilor ( algebra asociativă asupra puterilor , ca toate celelalte succesiuni).

Algebrele Poisson joacă un rol în cuantificarea geometrică . Fiecare dintre ele este un spațiu vectorial îmbogățit cu două multiplicări care conduc la o structură de algebră comutativă și una de algebră Lie.

Bibliografie

(EN) James R. Clay (1992): Nearrings. Geneze și aplicații , Oxford University Press, ISBN 0-19-853398-5
( EN ) Jonathan S. Golan (1992): Theory of Semirings with Applications in Mathematica and Theoretical Computer Science , Langman, ISBN 0-582-07855-5
( EN ) Benson Farb, R. Keith Dennis (1993): Algebra necomutativă , Springer, ISBN 0-387-94057-X
( EN ) Maurice Auslander , Idun Reiten, Sverre O. Smalø (1995): The Representation Theory of Artin Algebras , Cambridge University Press, ISBN 0-521-41134-3
( EN ) Sorin Dascalescu, Constantin Nastasescu, Serban Raianu (2002): Hopf Algebras. O introducere , Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Algebre asociative unitare în PlanetMath

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică