Algebra lui Jordan

În algebra abstractă, o algebră Jordan este o algebră de câmp , nu neapărat asociativă ale cărei produse satisfac următoarele axiome:

$xy=yx$ ${\ displaystyle xy = yx}$ $xy = yx$ ( proprietate comutativă );
$(xy)(xx)=x(y(xx))$ ${\ displaystyle (xy) (xx) = x (y (xx))}$ ${\ displaystyle (xy) (xx) = x (y (xx))}$ (Identitatea Iordaniei);

Produsul a două elemente x și y într-o algebră Jordan este de asemenea notat cu x ∘ y , în special pentru a evita confuzia cu produsul unei algebre asociative legate.

Algebrele Jordan au fost introduse pentru prima dată de Pascual Jordan în 1933 pentru a oficializa noțiunea de algebră a unui observabil în mecanica cuantică .

Algebre speciale ale Iordaniei

Având în vedere o algebră asociativă A (care nu este de caracteristica 2), se poate construi o algebră Jordan A ⁺ folosind operația sumă subiacentă în spațiul vectorial . O algebră asociativă este o algebră Jordan dacă și numai dacă este comutativă, dacă nu este comutativă este posibil să se definească o nouă operație de multiplicare pe A și să o facă comutativă și apoi să se construiască o algebră Jordan. Noua multiplicare x ∘ y este definită după cum urmează:

x\circ y={xy+yx \over 2}.

{\ displaystyle x \ circ y = {xy + yx \ over 2}.}

{\ displaystyle x \ circ y = {xy + yx \ over 2}.}

Aceasta definește o algebră Jordan A ⁺ și aceste algebre, precum și orice subalgebră a acestor algebre sunt numite algebre speciale Jordan . Toate celelalte algebre ale Iordaniei sunt numite algebre ale Iordaniei excepționale . Teorema Shirshov-Cohn afirmă că fiecare algebră a Iordaniei cu două generatoare este specială. Legat de aceasta, teorema lui Macdonald afirmă că orice polinom din trei variabile, care are gradul unu într-una din variabile și care dispare în fiecare algebră specială a Iordaniei dispare în fiecare algebră a Iordaniei.

Algebrele Iordaniei hermitiene

Fie ( A , σ ) cu (anti-involuție) σ , dacă σ ( x ) = x și σ ( y ) = y atunci:

\sigma (xy+yx)=xy+yx.

{\ displaystyle \ sigma (xy + yx) = xy + yx.}

{\ displaystyle \ sigma (xy + yx) = xy + yx.}

Prin urmare, ansamblul tuturor elementelor fixate de involuție (numite uneori elemente hermitiene ) formează o subalgebră a lui A ⁺ (uneori notată cu H A , σ ).

Exemple

Setul de matrice autoadjuncte reale (complexe sau cuaternionice ) cu operația de multiplicare:

(xy+yx)/2

{\ displaystyle (xy + yx) / 2}

{\ displaystyle (xy + yx) / 2}

formează o algebră specială a Iordaniei.

Setul de 3 × 3 matrici autoadjuncte pe octeți neasociativi, din nou cu multiplicare

(xy+yx)/2

{\ displaystyle (xy + yx) / 2}

{\ displaystyle (xy + yx) / 2}

,

este o algebră Jordan de excepție cu dimensiunea 27. Grupul său de automorfism este legat de grupul Lie excepțional F ₄ . Deoarece pe numere reale este singura excepție Iordan algebră este numit uneori algebra excepțională Jordan (la singular). A fost primul exemplu de algebră a lui Albert .

Vezi si

Bibliografie

John C. Baez , Octonions , Secțiunea 3: Geometrie octonionică proiectivă, Bull. Amer. Matematica. Soc. 39 (2002), 145-205 . Versiune HTML online .
Nathan Jacobson , Structura și reprezentările algebrelor Iordaniei , Publicații colocviale ale Societății Americane de Matematică, Vol. XXXIX, Providența, Societatea Americană de Matematică, 1968. MR 0251099
P. Jordan, Ueber Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Matematica. Fizic. Kl. I, 41 (1933) pp. 209 - 217
Victor G Kac , Clasificarea superalgebrelor Lie simple clasificate în Z și a superalgebrelor simple Jordan , în Communications in Algebra , vol. 5, nr. 13, 1977, pp. 1375–1400, DOI : 10.1080 / 00927877708822224 , ISSN 0092-7872 ( WC ACNP ) . MR 0498755
Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras , Springer, 2004, ISBN 9780387954479 . Greșit .
Ichiro Satake, Structuri algebrice ale domeniilor simetrice , Princeton University Press, 1980, ISBN 9780691082714 . Revizuire
Richard D. Schafer, An introduction to nonassociative algebras , Courier Dover Publications, 1996, ISBN 9780486688138 .
( EN ) AM Slin'ko, Jordan algebra , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
Tonny A. Springer, algebre Jordan și grupuri algebrice , Classics in Mathematics, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-3-540-63632-8 . MR 1490836

linkuri externe

( EN ) Jordan's Algebra , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 57246 · LCCN (EN) sh85070700 · NDL (EN, JA) 00.564.353