Produs Vectorial

În matematică , în special în calculul vectorial , produsul vector este o „ operație binară internă între doi vectori într-un spațiu euclidian tridimensional care returnează un alt vector normal planului format din vectorii de pornire.

Produsul vector este indicat cu simbolul $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ $\ ori$ sau cu simbolul $\wedge$ ${\ displaystyle \ wedge}$ $\ wedge$ . Al doilea simbol, totuși, este folosit și pentru a desemna produsul exterior (sau pană de produs ) în „ algebra Grassmann , formele Clifford și diferențiale . Din punct de vedere istoric, produsul exterior a fost definit de Grassmann cu aproximativ treizeci de ani înainte ca Gibbs și Heaviside să definească produsul vector ^[1] .

Definiție

Produs vectorial într-un sistem dreptaci

Produsul vectorial între doi vectori $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ este definit ca vectorul perpendicular pe acestea:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\hat {\mathbf {n} }}|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = {\ hat {\ mathbf {n}}} | \ mathbf {a} || \ mathbf {b} | \ sin \ theta}

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = {\ hat {\ mathbf {n}}} | \ mathbf {a} || \ mathbf {b} | \ sin \ theta}

unde este $0<\theta <\pi$ ${\ displaystyle 0 <\ theta <\ pi}$ $0 <\ theta <\ pi$ Este unghiul dintre $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ Și ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ $\ hat {\ mathbf n}$ este un vector unitate normal față de planul format din $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ , care dă direcția produsului vector. Observați că formularul $|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta$ ${\ displaystyle | \ mathbf {a} || \ mathbf {b} | \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {a} || \ mathbf {b} | \ sin \ theta}$ produsul vector este aria paralelogramului identificat de cei doi vectori $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ .

Explicit, ziceri $\mathbf {i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$ $\ mathbf i$ , $\mathbf {j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$ $\ mathbf j$ Și $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf k$ vectorii unitari ai unei baze ortonormale a $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ , produsul $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$ $\ mathbf a = (a_1, a_2, a_3)$ Și $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} = (b_ {1}, b_ {2}, b_ {3})}$ $\ mathbf b = (b_1, b_2, b_3)$ Poate fi scris într-o bază ca determinantul unei matrice (cu abuz de notație ):

{\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}\\{a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}\\{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\\\end{bmatrix}}=\\&=\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)\mathbf {i} +\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)\mathbf {j} +\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} & = \ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \\ a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}} \\ {a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}} \\ {a_ {1} b_ {2} -a_ {2 } b_ {1}} \\\ end {bmatrix}} = \\ & = \ left (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} \ right) \ mathbf {i} + \ left (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3} \ right) \ mathbf {j} + \ left (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} \ right) \ mathbf {k} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} & = \ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \\ a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}} \\ {a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}} \\ {a_ {1} b_ {2} -a_ {2 } b_ {1}} \\\ end {bmatrix}} = \\ & = \ left (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} \ right) \ mathbf {i} + \ left (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3} \ right) \ mathbf {j} + \ left (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} \ right) \ mathbf {k} \ end {align}}}

Deoarece produsul vectorial dintre doi vectori sub transformări de paritate nu se comportă ca un vector real, ne referim la el ca la un pseudovector . Acestea sunt, de exemplu, pseudovettori (numiți și vectori axiali) impulsul unghiular , viteza unghiulară , câmpul magnetic .

Versul produsului vector

Deoarece există doi versori ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ $\ hat {\ mathbf n}$ Și $-{\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle - {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ $- \ hat {\ mathbf n}$ perpendicular pe ambele ad $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ că a $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ , în mod convențional, alegeți ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ hat {\ mathbf {n}}}$ în așa fel încât vectorii $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ , $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ și $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}}$ $\ mathbf a \ times \ mathbf b$ sunt orientate după un sistem dreptaci dacă sistemul axelor de coordonate $(\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k})}$ $(\ mathbf i, \ mathbf j, \ mathbf k)$ este la dreapta sau la stânga dacă sistemul de axe este la stânga. Orientarea vectorului unitar ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ hat {\ mathbf {n}}}$ apoi depinde de orientarea în spațiu a vectorilor sau de chiralitatea sistemului de coordonate ortonormale.

O modalitate simplă de a determina direcția produsului vector este „ regula din partea dreaptă ”. Într-un sistem dreptaci, degetul mare este îndreptat în direcția primului vector, degetul arătător în cel al celui de-al doilea, degetul mijlociu dă direcția produsului vector. Într-un sistem de referință stângaci, este suficient să inversați direcția produsului vector, adică să folosiți mâna stângă.

O altă metodă simplă este cea a „șurubului mâinii drepte”. Într-un sistem dreptaci, se simulează mișcarea de strângere sau deșurubare a unui șurub dreptaci; privit de sus, dacă prin rotirea primului vector spre al doilea rotația este în sensul acelor de ceasornic, șurubul va fi înșurubat și, prin urmare, direcția vectorului va fi orientată în jos; invers, dacă se efectuează o rotație în sens invers acelor de ceasornic, șurubul va fi deșurubat și direcția vectorului va fi orientată în sus.

Notare cu indici

Produsul vector $\mathbf {a\times b} =\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a \ times b} = \ mathbf {c}}$ $\ mathbf {a \ times b} = \ mathbf {c}$ Poate fi definit în termenii tensorului Levi-Civita $\varepsilon _{ijk}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ $\ varepsilon_ {ijk}$ ca:

c_{k}=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}

{\ displaystyle c_ {k} = \ varepsilon _ {ijk} a ^ {i} b ^ {j}}

c_k = \ varepsilon_ {ijk} a ^ i b ^ j

unde indicii $the, j, k$ ${\ displaystyle i, j, k}$ $i, j, k$ sunt componentele ortogonale ale purtătorului, folosind notația Einstein .

Proprietate

Produsul vector este biliniar sau trei purtători de date $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ , $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ Și $\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ $\ mathbf c$ având dimensiuni egale și un scalar $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ :

(k\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =k(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \times (k\mathbf {b} )

{\ displaystyle (k \ mathbf {a}) \ times \ mathbf {b} = k (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {a} \ times (k \ mathbf {b}) }

(k \ mathbf {a}) \ times \ mathbf {b} = k (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {a} \ times (k \ mathbf {b})

(\mathbf {a} +\mathbf {c} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {b}

{\ displaystyle (\ mathbf {a} + \ mathbf {c}) \ times \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {c} \ times \ mathbf {b}}

(\ mathbf {a} + \ mathbf {c}) \ times \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {c} \ times \ mathbf {b}

(distributiv în ceea ce privește adăugarea)

\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c}

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}}

\ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}

Se întâmplă $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = \ mathbf {0}}$ $\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = \ mathbf {0}$ dacă și numai dacă $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ sunt liniar dependente . În special, $\mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {a} = \ mathbf {0}}$ $\ mathbf {a} \ times \ mathbf {a} = \ mathbf {0}$
Produsul vector este anticomutativ (și, prin urmare, nu se bucură de proprietatea comutativă), adică:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a}

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = - \ mathbf {b} \ times \ mathbf {a}}

\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = - \ mathbf {b} \ times \ mathbf {a}

Acesta nu este un produs real, deoarece nu este asociat .
Produsul vector îndeplinește „ identitatea lui Jacobi :

\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) + \ mathbf {b} \ times (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) + \ mathbf { c} \ times (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {0}}

\ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) + \ mathbf {b} \ times (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) + \ mathbf {c} \ times (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {0}

Proprietatea antisimetrică, biliniaritatea și identitatea Jacobi înseamnă asta $(\mathbb {R} ^{3},+,\times )$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {3}, +, \ times)}$ $(\ mathbb {R} ^ 3, +, \ times)$ este o algebră ' Lie .
Vectorii unitari (sau vectori unimodulari ai bazei canonice ) $\mathbf {i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$ $\ mathbf i$ , $\mathbf {j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$ $\ mathbf j$ , Și $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf k$ relativ la un sistem cartezian de coordonate ortogonale în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ îndepliniți următoarele ecuații:

\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \qquad \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} \qquad \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j}

{\ displaystyle \ mathbf {i} \ times \ mathbf {j} = \ mathbf {k} \ qquad \ mathbf {j} \ times \ mathbf {k} = \ mathbf {i} \ qquad \ mathbf {k} \ times \ mathbf {i} = \ mathbf {j}}

\ mathbf i \ times \ mathbf j = \ mathbf k \ qquad \ mathbf j \ times \ mathbf k = \ mathbf i \ qquad \ mathbf k \ times \ mathbf i = \ mathbf j

Produs triplu

Produsul triplu din trei vectori este definit ca:

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})}

\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})

Acesta este volumul cu semnul paralelipipedului cu laturile $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ Și $\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ $\ mathbf {c}$ , iar acești transportatori pot fi schimbați:

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf { c} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b})}

\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf {c} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b})

Un alt produs cu trei purtători, respectivul produs cu vector dublu, este legat de produsul scalar prin formula:

\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})}

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})}

Ca un caz special avem:

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f}

{\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {f}) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {f}) - (\ nabla \ cdot \ nabla) \ mathbf {f} = \ nabla ( \ nabla \ cdot \ mathbf {f}) - \ nabla ^ {2} \ mathbf {f}}

\ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {f}) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {f}) - (\ nabla \ cdot \ nabla) \ mathbf {f} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {f}) - \ nabla ^ 2 \ mathbf {f}

Este un raport deosebit de util în calculul diferențial , în ceea ce privește echivalența dintre rotorul dublu și diferența dintre gradientul divergenței $\nabla (\nabla \cdot )$ ${\ displaystyle \ nabla (\ nabla \ cdot)}$ $\ nabla (\ nabla \ cdot)$ și laplacian $\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ 2$ .

O altă relație care leagă produsul vector de produsul triplu este:

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a}

{\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ times (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})) \ mathbf {a}}

(\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ times (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf { c})) \ mathbf {a}

În timp ce pentru:

{\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} )\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) & = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a}) \ end {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) & = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a}) \ end {aliniat}}}

și mai general:

{\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {d}) & = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {d}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {d}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}) \ end {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {d}) & = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {d}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {d}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}) \ end {aliniat}}}

Identitatea lui Lagrange

O identitate utilă este:

|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{bmatrix}}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}

{\ displaystyle | \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} | ^ {2} = \ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} & \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} \\\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} & \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b} \\\ end {bmatrix}} = | \ mathbf {a} | ^ { 2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) ^ {2}}

| \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} | ^ 2 = \ det \ begin {bmatrix} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} & \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} \ \ \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} & \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b} \\ \ end {bmatrix} = | \ mathbf {a} | ^ 2 | \ mathbf {b} | ^ 2 - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) ^ 2

care poate fi comparat cu „ identitatea lui Lagrange exprimată ca:

\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}(\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2})=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ right) ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} (\ sum _ {j = i + 1} ^ {n} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ right) ^ {2 }) = | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - (\ mathbf {a \ cdot b}) ^ {2}}

{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ right) ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} (\ sum _ {j = i + 1} ^ {n} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ right) ^ {2 }) = | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - (\ mathbf {a \ cdot b}) ^ {2}}

in care $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ Sunt vectori n -dimensionali. Aceasta arată că forma volumului Riemannian pentru suprafețe este exact elementul de suprafață de calcul vectorial. În cazul tridimensional, combinând cele două relații anterioare, obținem modulul produsului vector scris prin componente:

|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq 3}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}=(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}

{\ displaystyle | \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} | ^ {2} = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq 3} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ { j} b_ {i} \ right) ^ {2} = (a_ {1} b_ {2} -b_ {1} a_ {2}) ^ {2} + (a_ {2} b_ {3} -a_ { 3} b_ {2}) ^ {2} + (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) ^ {2}}

| \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} | ^ 2 = \ sum_ {1 \ le i <j \ le 3} \ left (a_ib_j-a_jb_i \ right) ^ 2 = (a_1b_2 - b_1a_2) ^ 2 + (a_2b_3 - a_3b_2) ^ 2 + (a_3b_1-a_1b_3) ^ 2

Acesta este un caz special de multiplicare $|\mathbf {v} \mathbf {w} |=|\mathbf {v} ||\mathbf {w} |$ ${\ displaystyle | \ mathbf {v} \ mathbf {w} | = | \ mathbf {v} || \ mathbf {w} |}$ $| \ mathbf v \ mathbf w | = | \ mathbf v | | \ mathbf w |$ algebra standard a cuaternionilor .

Diferenţiere

Regula Leibniz se aplică și produsului încrucișat:

{\frac {d}{dx}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dx}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dx}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = {\ frac {d \ mathbf {a}} {dx}} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ times {\ frac {d \ mathbf {b}} {dx}}}

\ frac {d} {dx} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ frac {d \ mathbf {a}} {dx} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ times \ frac {d \ mathbf {b}} {dx}

așa cum se poate arăta folosind reprezentarea folosindmultiplicarea matricei .

Aplicații

Produsul vector este, de asemenea, utilizat pe scară largă în fizică și inginerie, precum și în geometrie și algebră. Mai jos este o listă neexhaustivă a unor aplicații.

Moment unghiular și moment mecanic

Reprezentarea timpului mecanic τ și a momentului unghiular L pentru ca un corp legat să se rotească într-un plan . Forța F și impulsul p sunt „aplicate” vectorului de poziție r,

Momentul unghiular $\scriptstyle \mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {L}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {L}}$ a unui corp este definit ca:

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} \,}

{\ mathbf {L}} = {\ mathbf {r}} \ times {\ mathbf {p}} \,

unde este $\scriptstyle \mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {p}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {p}}$ este vectorul de impuls, în timp ce $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {r}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {r}}$ este poziția vectorială a corpului față de polul de referință.

În mod similar, momentul unei forțe ^[2] este definit ca:

\mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} \,}

{\ mathbf {M}} = {\ mathbf {r}} \ times {\ mathbf {F}} \,

unde este $\scriptstyle \mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {F}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {F}}$ este forța aplicată punctului identificat de raza vectorială $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {r}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {r}}$ .

De la locație $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {r}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {r}}$ , impuls $\scriptstyle \mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {p}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {p}}$ și forță $\scriptstyle \mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {F}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {F}}$ sunt toți vectori polari, atât momentul unghiular $\scriptstyle \mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {L}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {L}}$ este momentul mecanic $\scriptstyle \mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {M}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {M}}$ Sunt pseudo-purtători sau vectori axiali ^[3] .

Corp rigid

Produsul vector apare și în descrierea mișcărilor de rotație. De exemplu, pentru două puncte P și Q pe un corp rigid aplică următoarea lege a vitezei de transport:

\mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}=\mathbf {\omega } \times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {P} - \ mathbf {v} _ {Q} = \ mathbf {\ omega} \ times \ left (\ mathbf {r} _ {P} - \ mathbf {r} _ {Q} \ dreapta) \,}

{\ mathbf {v}} _ {P} - {\ mathbf {v}} _ {Q} = {\ mathbf {\ omega}} \ times \ left ({\ mathbf {r}} _ {P} - { \ mathbf {r}} _ {Q} \ right) \,

unde este $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {r}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {r}}$ este poziția unui punct, $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {v}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {v}}$ viteza sa și $\scriptstyle \mathbf {\omega }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {\ omega}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {\ omega}}$ viteza unghiulară a corpului rigid.

De la locație $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {r}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {r}}$ și viteză $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {v}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {v}}$ sunt vectori polari, viteza unghiulară $\scriptstyle \mathbf {\omega }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {\ omega}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {\ omega}}$ Este un pseudo-vector . ^[3]

Forța Lorentz

Același subiect în detaliu: forța Lorentz .

Având în vedere o particulă punctuală, forța electromagnetică exercitată asupra acesteia este egală cu:

\mathbf {F} =q_{e}\,\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)

{\ displaystyle \ mathbf {F} = q_ {e} \, \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right)}

{\ mathbf {F}} = q_ {e} \, \ left ({\ mathbf {E}} + {\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}} \ right)

unde este:

$\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ ${\ mathbf {F}}$ Este forța electromagnetică totală, cunoscută și sub numele de forța Lorentz
$q_{e}$ ${\ displaystyle q_ {e}}$ $q_ {e}$ Este sarcina electrică a particulei
$\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ ${\ mathbf {E}}$ Este câmpul electric
$\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ mathbf {v}}$ este viteza particulei
$\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ ${\ mathbf {B}}$ Este câmpul magnetic

Rețineți că componenta magnetică a forței este proporțională cu produsul vector dintre $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {v}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {v}}$ Și $\scriptstyle \mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {B}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {B}}$ , prin urmare este întotdeauna perpendiculară pe viteză $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {v}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {v}}$ și nu face nici o treabă.

Din moment ce viteza $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {v}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {v}}$ , forta $\scriptstyle \mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {F}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {F}}$ și câmpul electric $\scriptstyle \mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {E}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {E}}$ sunt toți vectori polari, câmpul magnetic $\scriptstyle \mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {B}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {B}}$ Este un pseudo-vector . ^[3]

Produs extern

Același subiect în detaliu: Algebra externă .

Relația dintre produsul vector și produsul exterior: produsul încrucișat se obține luând în considerare Hodge-ul dual al bivectorului

a\wedge b

{\ displaystyle a \ wedge b}

a \ wedge b

.

Produsul exterior (produs de pană) a doi vectori este un bivector, adică un element orientat plan (similar cu un vector care poate fi văzut ca un element liniar orientat). Având în vedere doi vectori $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , bivectorul $a\wedge b$ ${\ displaystyle a \ wedge b}$ $a \ wedge b$ este paralelogramul orientat format din cei doi vectori $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Produsul încrucișat este obținut luând în considerare Hodge-ul dual al bivectorului $a\wedge b$ ${\ displaystyle a \ wedge b}$ $a \ wedge b$ :

a\times b=*(a\wedge b)

{\ displaystyle a \ times b = * (a \ wedge b)}

a \ times b = * (a \ wedge b)

care mapează bivectori în vectori. Se poate gândi la un astfel de produs ca la un element multidimensional, care în trei dimensiuni este un vector, care este „perpendicular” pe bivector.

Generalizări

Nu există un analog al produsului vectorial în spații cu dimensiuni mai mari care returnează un vector. Produsul exterior are însă proprietăți foarte similare, deși produce un bivector și nu un suport. Dualul Hodge al produsului pană produce un vector de $n-2$ ${\ displaystyle n-2}$ $n-2$ componente care este o generalizare naturală a produsului vector într-o dimensiune arbitrară.

Algebre de minciună

Același subiect în detaliu: Algebra minciunii .

Produsul încrucișat poate fi văzut ca unul dintre cele mai simple produse ale lui Lie și, prin urmare, este algebra Lie generalizată, care sunt axiomatizate ca produse binare care satisfac axiomele multiliniarității, antisimetriei și identității lui Jacobi . De exemplu, ' algebra lui Heisenberg oferă o altă structură de algebră Lie pe $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ . În bază $\{x,y,z\}$ ${\ displaystyle \ {x, y, z \}}$ $\ {x, y, z \}$ produsul este:

[x,y]=z\qquad [x,z]=[y,z]=0

{\ displaystyle [x, y] = z \ qquad [x, z] = [y, z] = 0}

[x, y] = z \ qquad [x, z] = [y, z] = 0

Extensii multidimensionale

Un produs extern pentru vectori în 7 dimensiuni poate fi obținut în mod similar folosind octonii în loc de cuaternioni. În schimb, nu pot exista alte extensii de produse vectoriale care returnează un vector ^[4] , iar acest lucru este legat de faptul că singurele norme de algebre de diviziune sunt cele cu dimensiunile 1,2,4 și 8.

Cu toate acestea, dacă se ia în considerare rezultatul operației nu mai este un purtător sau un pseudovector, ci ca o matrice , atunci este posibil să se extindă ideea de vector produs în orice număr de dimensiuni ^[5] ^[6] .

În mecanică, de exemplu, viteza unghiulară poate fi interpretată atât ca un pseudo-purtător $\scriptstyle \omega$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ omega}$ $\ scriptstyle \ omega$ atât ca o matrice simetrică înclinată $\scriptstyle \Omega$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ Omega}$ $\ scriptstyle \ Omega$ . În acest din urmă caz, viteza de transport a legii pentru un corp rigid va fi:

\mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\Omega }\cdot \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {P} - \ mathbf {v} _ {Q} = {\ Omega} \ cdot \ left (\ mathbf {r} _ {P} - \ mathbf {r} _ {Q } \ dreapta) \,}

{\ mathbf {v}} _ {P} - {\ mathbf {v}} _ {Q} = {\ Omega} \ cdot \ left ({\ mathbf {r}} _ {P} - {\ mathbf {r }} _ {Q} \ right) \,

unde este $\scriptstyle \Omega$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ Omega}$ $\ scriptstyle \ Omega$ este definit formal pornind de la matricea de rotație $\scriptstyle R^{N\times N}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle R ^ {N \ times N}}$ $\ scriptstyle R ^ {{N \ times N}}$ corpului rigid:

\Omega \triangleq {\frac {dR}{dt}}R^{T}

{\ displaystyle \ Omega \ triangleq {\ frac {dR} {dt}} R ^ {T}}

\ Omega \ triangleq {\ frac {dR} {dt}} R ^ {T}

În câmpul cuantic, de asemenea, impulsul unghiular $\scriptstyle L$ ${\ displaystyle \ scriptstyle L}$ $\ scriptstyle L$ Este adesea reprezentată cu o matrice simetrică înclinată ^[7] , rezultatul unui produs între poziție $\scriptstyle \mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {x}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {x}}$ și impulsul $\scriptstyle \mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {p}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {p}}$ :

L_{ij}=x_{i}p_{j}-p_{i}x_{j}

{\ displaystyle L_ {ij} = x_ {i} p_ {j} -p_ {i} x_ {j}}

L _ {{ij}} = x_ {i} p_ {j} -p_ {i} x_ {j}

De cand $\scriptstyle \mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {x}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {x}}$ Și $\scriptstyle \mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {p}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {p}}$ pot avea un număr arbitrar $\scriptstyle N$ ${\ displaystyle \ scriptstyle N}$ $\ scriptstyle N$ de componente, această formă de produs „vector” (care, de asemenea, nu produce un vector) poate fi generalizată la orice dimensiune, păstrând în același timp interpretarea „fizică” a operației în sine.

Algebra multiliniară

În contextul algebrei multiliniare , vectorul produs poate fi văzut ca un tensor (mixt) de ordinul (1,2), în special o hartă biliniară , obținută dintr-o formă de volum tridimensională pentru ridicarea indicilor.

Simboluri

Produsul vector × este reprezentat ca:

× în HTML
\times în LaTeX
U + 00D7 în Unicode
alt sx + 0215 (de la tastatura numerică) pe Windows

Notă

^ Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis , discuție la Universitatea din Louisville, 2002
^ De asemenea, cunoscut sub numele de cuplu sau moment mecanic în domeniul italian. În limba engleză se numește cuplu sau moment al unei forțe, și apoi indicat $\scriptstyle \mathbf {\tau }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {\ tau}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {\ tau}}$ sau cu $\scriptstyle \mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {M}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {M}}$
^ ^A ^b ^c Pe scurt, un purtător polar poate fi asociat cu o translație, în timp ce un pseudovector este asociat cu o rotație. Un pseudovector reflectat într-o oglindă va schimba apoi „direcția”, (de exemplu: de la sensul invers acelor de ceasornic la sensul acelor de ceasornic)
^ WS Massey, Produse încrucișate de vectori în spații euclidiene cu dimensiuni superioare, The American Mathematical Monthly, 1983
^ AW McDavid și McMullen CD,generalizând Cross Products și ecuațiile lui Maxwell la Universal Extra Dimensions , octombrie 2006
^ Produs CA Gonano și RE Zich Cross în dimensiuni N - produsul dublu , august 2014
^ Mai precis, prin intermediul unui tensor anti-simetrie de ordinul 2.

Bibliografie

(EN) Jeffreys, H și Jeffreys, BS, Metode de fizică matematică , Cambridge University Press, 1999.
(EN) Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, Definiție 7.4: Produs încrucișat din doi vectori , Matematică avansată în inginerie, 3rd, Jones & Bartlett Learning, 2006, p. 324, ISBN 0-7637-4591-X .
(EN) Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, Ecuația 7: a × b ca sumă de determinanți , în lucrare citată , Jones & Bartlett Learning, 2006, p. 321, ISBN 0-7637-4591-X .
(EN) MR Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Vector Analysis, Schaum's outlines, McGraw Hill, 2009, p. 29, ISBN 978-0-07-161545-7 .
(EN) Vladimir A. Boichenko, Leonov Gennadii Alekseevich, Volker Reitmann,Teoria dimensiunii pentru ecuații diferențiale obișnuite , Vieweg + Teubner Verlag, 2005, p. 26, ISBN 3-519-00437-2 .
(EN) Pertti Lounesto, Clifford algebras and spinors , 2nd, Cambridge University Press, 2001, p. 94, ISBN 0-521-00551-5 .
(EN) Edwin Bidwell Wilson, Vector Analysis: Un manual pentru utilizarea studenților la matematică și fizică, fondat pe prelegerile lui J. Willard Gibbs , Yale University Press, 1901.
(EN) Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis (PDF), Dover, 1994, ISBN 0-486-67910-1 .

Tullio Levi-Civita și Ugo Amaldi, Lecții mecanice raționale, vol. 1, Bologna, editor Zanichelli, 1949.
Adriano P. Morando și Sonia Leva, Theory of Fields Notes Vector, Bologna, Aesculapius, 1998.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține intrarea în dicționar „ produs încrucișat ”
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pentru a vectoriza produsul

linkuri externe

(EN) AA Bovdi, produs Cross , în Enciclopedia Matematicii , Springer și Societatea Europeană de Matematică, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Cross Product , în MathWorld Wolfram Research.
Umberto Scotti, Produsul vector , cămară rapidă (4 pagini), Universitatea din Napoli Federico II.
Fernando Scarlassara, calcul vectorial , cămară de bază (15 diapozitive prezentate), Universitatea din Padova.
Carlo Andrea Gonano, Extension in DND vector product and the rotor and their applications , Politecnico di Milano, decembrie 2011.

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis , discuție la Universitatea din Louisville, 2002

[nomi_coppia-2] De asemenea, cunoscut sub numele de cuplu sau moment mecanic în domeniul italian. În limba engleză se numește cuplu sau moment al unei forțe, și apoi indicat $\scriptstyle \mathbf {\tau }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {\ tau}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {\ tau}}$ sau cu $\scriptstyle \mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {M}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {M}}$

[pseudovettori-3] A ^b ^c Pe scurt, un purtător polar poate fi asociat cu o translație, în timp ce un pseudovector este asociat cu o rotație. Un pseudovector reflectat într-o oglindă va schimba apoi „direcția”, (de exemplu: de la sensul invers acelor de ceasornic la sensul acelor de ceasornic)

[Massey2-4] WS Massey, Produse încrucișate de vectori în spații euclidiene cu dimensiuni superioare, The American Mathematical Monthly, 1983

[cross_prod_Maxwell_ND-5] AW McDavid și McMullen CD,generalizând Cross Products și ecuațiile lui Maxwell la Universal Extra Dimensions , octombrie 2006

[prod_vett_ND-6] Produs CA Gonano și RE Zich Cross în dimensiuni N - produsul dublu , august 2014

[momento_angolare_quantistico-7] Mai precis, prin intermediul unui tensor anti-simetrie de ordinul 2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

V · D · M Algebra lineare
Spazio vettoriale	Vettore · Sottospazio vettoriale ( Sottospazio generato ) · Applicazione lineare ( Nucleo · Immagine ) · Base · Dimensione · Teorema della dimensione · Formula di Grassmann · Sistema lineare · Algoritmo di Gauss · Teorema di Rouché-Capelli · Regola di Cramer · Spazio duale · Spazio proiettivo · Spazio affine · Teorema della dimensione per spazi vettoriali
Matrici	Identità · Nulla · Quadrata · Invertibile · Simmetrica · Antisimmetrica · Trasposta · Diagonale · Triangolare · Di cambiamento di base · Ortogonale · Normale · Simplettica · Moltiplicazione di matrici · Rango · Teorema di Kronecker · Minore · Matrice dei cofattori · Determinante · Teorema di Binet · Teorema di Laplace · Radice quadrata di una matrice
Diagonalizzabilità	Autovettore e autovalore · Spettro · Polinomio caratteristico · Polinomio minimo · Teorema di Hamilton-Cayley · Matrice a blocchi · Forma canonica di Jordan · Teorema di diagonalizzabilità
Prodotto scalare	Forma bilineare · Sottospazio ortogonale · Spazio euclideo · Base ortonormale · Algoritmo di Lagrange · Segnatura · Teorema di Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Forma hermitiana · Teorema spettrale