Localizare (algebră)

În teoria inelului , localizarea este o metodă de a adăuga inversele multiplicative ale unor elemente ale inelului la un inel (de obicei comutativ ). Este o generalizare a conceptului de câmp coeficient și poate fi aplicat inelelor care nu sunt neapărat domenii de integritate ; poate fi, de asemenea, generalizat pentru a acoperi cazul modulelor de pe un inel.

Locația unui inel față de un subset al acestuia $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este indicat cu $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ sau $A_{S}$ ${\ displaystyle A_ {S}}$ ${\ displaystyle A_ {S}}$ .

Localizarea unui inel își datorează numele geometriei algebrice , unde prin localizarea inelului funcțiilor unui soi algebric se poate studia comportamentul soiului într-un vecinătate (a lui Zariski ) a unui punct sau a unui submanifold.

Definiție

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un inel comutativ. O parte multiplicativă a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un subset al acestuia $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ astfel încât produsul a două dintre elementele sale este încă în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ; În plus $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este saturat dacă vreun element care împarte orice element al $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este încă în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . În special, dacă inelul este unitar , $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ este conținut în fiecare parte multiplicativă saturată. Fiecare parte multiplicativă are propria sa saturație, constând din setul de elemente ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care împart un element de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Părțile multiplicative saturate pot fi caracterizate în termeni de idealuri prime : un set $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este o parte multiplicativă saturată dacă și numai dacă $T=A\setminus \bigcup _{\lambda \in \Lambda }P_{\lambda }$ ${\ displaystyle T = A \ setminus \ bigcup _ {\ lambda \ in \ Lambda} P _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle T = A \ setminus \ bigcup _ {\ lambda \ in \ Lambda} P _ {\ lambda}}$ , unde fiecare $P_{\lambda }$ ${\ displaystyle P _ {\ lambda}}$ $P _ {\ lambda}$ este un ideal primar.

De sine $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este o parte multiplicativă, ca întreg $A\times S$ ${\ displaystyle A \ times S}$ ${\ displaystyle A \ times S}$ se ia în considerare următoarea relație de echivalență : $(a,s)\sim (b,t)$ ${\ displaystyle (a, s) \ sim (b, t)}$ ${\ displaystyle (a, s) \ sim (b, t)}$ dacă și numai dacă există $u\in S$ ${\ displaystyle u \ in S}$ ${\ displaystyle u \ in S}$ astfel încât $uat=usb$ ${\ displaystyle uat = usb}$ ${\ displaystyle uat = usb}$ . (Prezenta lui $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este necesar ca relația să fie tranzitivă; de sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu al integrității e $0\notin S$ ${\ displaystyle 0 \ notin S}$ ${\ displaystyle 0 \ notin S}$ , $(a,s)\sim (b,t)$ ${\ displaystyle (a, s) \ sim (b, t)}$ ${\ displaystyle (a, s) \ sim (b, t)}$ dacă și numai dacă $at=sb$ ${\ displaystyle at = sb}$ ${\ displaystyle at = sb}$ , adică dacă și numai dacă ${\frac {a}{s}}={\frac {b}{t}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {s}} = {\ frac {b} {t}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {s}} = {\ frac {b} {t}}}$ .)

Localizare $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ este setul de coeficient al $A\times S$ ${\ displaystyle A \ times S}$ ${\ displaystyle A \ times S}$ în ceea ce privește clasa de echivalență; suma și produsul sunt definite ca și cum perechile ar fi fracții, adică

(a,s)+(b,t)=(at+bs,st),

{\ displaystyle (a, s) + (b, t) = (la + bs, st),}

{\ displaystyle (a, s) + (b, t) = (la + bs, st),}

(a,s)\cdot (b,t)=(ab,st).

{\ displaystyle (a, s) \ cdot (b, t) = (ab, st).}

{\ displaystyle (a, s) \ cdot (b, t) = (ab, st).}

De sine $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este o parte multiplicativă și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este saturația sa, apoi localizările coincid, în sensul că există un izomorfism natural între $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ Și $T^{-1}A$ ${\ displaystyle T ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle T ^ {- 1} A}$ ; în consecință, se poate presupune întotdeauna că partea multiplicativă utilizată este saturată.

Există întotdeauna un homomorfism $f:A\longrightarrow S^{-1}A$ ${\ displaystyle f: A \ longrightarrow S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle f: A \ longrightarrow S ^ {- 1} A}$ , care se asociază cu un element $a\in A$ ${\ displaystyle a \ în A}$ $a \ in A$ (clasa) cuplului $(a,1)$ ${\ displaystyle (a, 1)}$ ${\ displaystyle (a, 1)}$ . Acest homomorfism este universal în următorul sens: dacă $g:A\longrightarrow B$ ${\ displaystyle g: A \ longrightarrow B}$ ${\ displaystyle g: A \ longrightarrow B}$ este un omomorfism astfel încât $g(s)$ ${\ displaystyle g (s)}$ $g (s)$ este o unitate pentru fiecare $s\in S$ ${\ displaystyle s \ în S}$ $s \ în S$ , apoi există un homomorfism $G:S^{-1}A\longrightarrow B$ ${\ displaystyle G: S ^ {- 1} A \ longrightarrow B}$ ${\ displaystyle G: S ^ {- 1} A \ longrightarrow B}$ astfel încât $g=G\circ f$ ${\ displaystyle g = G \ circ f}$ ${\ displaystyle g = G \ circ f}$ . Acest homomorfism nu este întotdeauna injectiv : acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ nu conține divizori ai zero .

Există, de asemenea, un concept de localizare în cazul necomutativ. Cu toate acestea, nu este întotdeauna posibil să o faceți: o condiție suficientă este ca partea multiplicativă să satisfacă condiția Ore (în dreapta), adică pentru fiecare pereche de elemente $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ (nu nul) idealurile corecte $la LA$ ${\ displaystyle aA}$ ${\ displaystyle aA}$ Și $b LA$ ${\ displaystyle bA}$ ${\ displaystyle bA}$ au o intersecție mai mare decât elementul. În acest caz, poate fi construit un inel, numit locația corectă a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ; având în vedere idealurile lăsate în loc de dreapta obținem condiția minereului în stânga, iar construcția se numește localizare stângă .

Aceeași construcție poate fi repetată luând în considerare un $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ - modul $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , o parte multiplicativă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și definirea relației de echivalență pe $M\times S$ ${\ displaystyle M \ times S}$ ${\ displaystyle M \ times S}$ : în acest caz, modulul rezultat (indicat, în mod similar, cu $S^{-1}M$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ) se dovedește nu numai a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ -modul, dar și un $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ -modul. În mod echivalent, modulul $S^{-1}M$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ poate fi definit ca produs tensor $M\otimes _{A}S^{-1}A$ ${\ displaystyle M \ otimes _ {A} S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle M \ otimes _ {A} S ^ {- 1} A}$ ; această definiție este utilă pentru tratarea secvențelor exacte ale modulelor, deoarece ne permite să dovedim că localizarea este un functor exact .

Exemple și cazuri speciale

Două cazuri particulare sunt suficient de frecvente pentru a-și merita propria notație. Primul este când $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este complementul unui ideal prim $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ : atunci $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ este indicat cu $A_{P}$ ${\ displaystyle A_ {P}}$ ${\ displaystyle A_ {P}}$ , și este o buclă locală . Al doilea este când $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este ansamblul puterilor unui element $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ : în acest caz locația este indicată cu $A_{x}$ ${\ displaystyle A_ {x}}$ ${\ displaystyle A_ {x}}$ (trebuie remarcat faptul că, în general, această parte multiplicativă nu este saturată).

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu de integritate , setul tuturor elementelor nenule este o parte multiplicativă: în acest caz, localizarea coincide cu câmpul de coeficienți ai $LA .$ ${\ displaystyle A.}$ ${\ displaystyle A.}$ De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ întregul nu este întreg $A\setminus \{0\}$ ${\ displaystyle A \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle A \ setminus \ {0 \}}$ nu este o parte multiplicativă; totuși, ansamblul elementelor care nu sunt divizoare ale zero este și este, de asemenea, saturat. (Acest lucru arată, printre altele, că setul divizorilor zero este o uniune a idealurilor prime.) În acest caz, localizarea se numește inelul total de coeficienți ai $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , și este cea mai mare localizare astfel încât homomorfismul canonic este injectiv.

Localizare $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ este inelul nul dacă și numai dacă $0\in S.$ ${\ displaystyle 0 \ în S.}$ ${\ displaystyle 0 \ în S.}$

Meci de idealuri

Fiecare ideal de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi extins la un ideal de $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ , uneori notat cu $S^{-1}I$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} I}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} I}$ : este format din elementele din formă $(i,s)$ ${\ displaystyle (i, s)}$ ${\ displaystyle (i, s)}$ Pentru o $i\in I$ ${\ displaystyle i \ in I}$ ${\ displaystyle i \ in I}$ , și este cel mai mic ideal din $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ care conține setul $f(I)$ ${\ displaystyle f (I)}$ $f (I)$ (unde este $f:A\longrightarrow S^{-1}A$ ${\ displaystyle f: A \ longrightarrow S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle f: A \ longrightarrow S ^ {- 1} A}$ este homomorfism canonic). În special, $S^{-1}I=S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} I = S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} I = S ^ {- 1} A}$ dacă și numai dacă $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ se intersectează $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ (asumand $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este saturat).

Toate idealurile de localizare sunt extensii ale idealurilor de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ; cu toate acestea, chiar și reducerea la idealuri disjuncte $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , nu toate idealurile de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt contra-imagini (uneori contracții ) ale idealurilor de $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ .

Cu toate acestea, idealurile primare și idealurile primare se despart de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ele sunt întotdeauna contracția extinderii lor în $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ ; în special, există o corespondență unu-la-unu între idealurile prime ale $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ și idealurile principale ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ disjunct de la $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . De sine $S=A\setminus P$ ${\ displaystyle S = A \ setminus P}$ ${\ displaystyle S = A \ setminus P}$ (unde este $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un ideal primar), $S^{-1}A=A_{P}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A = A_ {P}}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A = A_ {P}}$ devine un inel local cu ideal maxim $S^{-1}P$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} P}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} P}$ (denumit și $PA_{P}$ ${\ displaystyle PA_ {P}}$ ${\ displaystyle PA_ {P}}$ sau, mai rar, ca $P_{P}$ ${\ displaystyle P_ {P}}$ ${\ displaystyle P_ {P}}$ ).

Proprietate

Localizările unui inel moștenesc adesea unele proprietăți ale inelului de pornire: acest lucru se întâmplă, de exemplu, pentru a fi integral , a fi noetherian sau a fi închis integral . La fel, dacă $A\subseteq B$ ${\ displaystyle A \ subseteq B}$ $A \ subseteq B$ este o întreagă extensie a inelelor, e $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este o parte multiplicativă a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , apoi și extensia $S^{-1}A\subseteq S^{-1}B$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A \ subseteq S ^ {- 1} B}$ $S ^ {{- 1}} A \ subseteq S ^ {{- 1}} B$ este întreg.

Uneori este posibil să mergeți invers, adică să determinați dacă o proprietate dată este valabilă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ examinarea localizărilor; când o proprietate este valabilă pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă și numai dacă este valabil pentru toate localizările sale, se numește local . Un exemplu tipic de proprietate locală este închiderea completă; cu toate acestea, nici integritatea, nici noetherianitatea nu sunt proprietăți locale.

În unele cazuri, o definiție poate fi dată pentru inele locale și apoi extinsă la inele arbitrare luând în considerare localizările: de exemplu, pornind de la definiția unui inel regulat local , trecem apoi la cea a unui inel regulat care necesită inelul $A_{M}$ ${\ displaystyle A_ {M}}$ ${\ displaystyle A_ {M}}$ să fie local regulat pentru fiecare ideal maxim $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . În general, avem atunci fiecare localizare $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ deține aceeași proprietate.

Proprietățile locale sunt deosebit de utile în studiul modulelor, deoarece teoria modulelor pe inelele locale este în general mai simplă decât cea pe inelele arbitrare. Exemple de proprietăți locale sunt modulul nul, injectivitatea sau surjectivitatea unui homomorfism și planeitate , în timp ce a fi un modul liber nu este o proprietate locală.

Bibliografie

( EN ) Michael Atiyah și Ian G. Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică