Descompunerea primară

În algebra comutativă , descompunerea primară a unui ideal este expresia sa ca intersecție a idealurilor de un anumit tip ( primar ); este o construcție care generalizează pe de o parte factorizarea numerelor întregi în numere prime și pe de altă parte descompunerea mulțimilor algebrice în varietăți afine ireductibile.

Definiții

Idealuri primare

Un ideal primar al unui inel A este un ideal Q astfel încât, dacă produsul xy aparține lui Q și y nu, atunci există un număr natural n astfel încât x ⁿ să aparțină lui Q. O modalitate de a caracteriza (și, prin urmare, o definiție alternativă) idealurile primare este ca acele idealuri Q astfel încât, în inelul coeficient A / Q , setul divizorilor zero coincide cu cel al elementelor nilpotente .

De exemplu, în $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , idealurile primare sunt idealurile ( p ⁿ ), unde p este un număr prim .

Ele sunt similare idealurilor prime : pentru ele, de fapt, dacă xy este în Q și y nu, atunci x trebuie să aparțină lui Q. Rezultă că fiecare ideal primar este, de asemenea, primar; mai mult, radicalul unui ideal primar este primul. Un ideal primar cu radical P se numește P- primar.

Printre idealurile primare se numără puterile idealurilor maxime ; totuși nu se spune că toate puterile idealurilor prime sunt primare și nici că fiecare ideal primar este puterea unui ideal prim.

Descompunerea primară

O descompunere primară a unui ideal I este scrierea acestuia ca o intersecție finită a idealurilor primare: $I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{s}$ ${\ displaystyle I = Q_ {1} \ cap \ cdots \ cap Q_ {s}}$ ${\ displaystyle I = Q_ {1} \ cap \ cdots \ cap Q_ {s}}$ , unde Q _i sunt primare. Dacă am o descompunere primară, atunci se spune că este descompozabilă .

O astfel de descompunere se numește minimă (sau iridundantă ) dacă nu este posibilă eliminarea oricăruia dintre Q _i , adică dacă intersecția $Q_{1}\cap \cdots Q_{i-1}\cap Q_{i+1}\cap \cdots \cap Q_{s}$ ${\ displaystyle Q_ {1} \ cap \ cdots Q_ {i-1} \ cap Q_ {i + 1} \ cap \ cdots \ cap Q_ {s}}$ ${\ displaystyle Q_ {1} \ cap \ cdots Q_ {i-1} \ cap Q_ {i + 1} \ cap \ cdots \ cap Q_ {s}}$ conține corect I ; alternativ, dacă $Q_{1}\cap \cdots Q_{i-1}\cap Q_{i+1}\cap \cdots \cap Q_{s}\nsubseteq Q_{i}$ ${\ displaystyle Q_ {1} \ cap \ cdots Q_ {i-1} \ cap Q_ {i + 1} \ cap \ cdots \ cap Q_ {s} \ nsubseteq Q_ {i}}$ ${\ displaystyle Q_ {1} \ cap \ cdots Q_ {i-1} \ cap Q_ {i + 1} \ cap \ cdots \ cap Q_ {s} \ nsubseteq Q_ {i}}$ pentru fiecare i .

Existența și unicitatea

Într-un inel arbitrar, nu este sigur că fiecare ideal are o descompunere primară și nici că această descompunere, atunci când există, este unică.

Cu toate acestea, în inelele noetheriene , fiecare ideal poate fi scris ca o intersecție finită a idealurilor ireductibile și fiecare ideal ireductibil este primar; rezultă că fiecare ideal al unui inel noetherian are o descompunere primară.

În ceea ce privește unicitatea, primul pas este să te reduci la descompuneri minime: totuși, chiar și în acest caz Q _i nu sunt determinate în mod unic. Un exemplu este ideal $I=(X^{2},XY)$ ${\ displaystyle I = (X ^ {2}, XY)}$ ${\ displaystyle I = (X ^ {2}, XY)}$ în $K[X,Y]$ ${\ displaystyle K [X, Y]}$ ${\ displaystyle K [X, Y]}$ (unde K este un câmp ), care poate fi scris fie ca $(X)\cap (X,Y)^{2}$ ${\ displaystyle (X) \ cap (X, Y) ^ {2}}$ ${\ displaystyle (X) \ cap (X, Y) ^ {2}}$ care ca $(X)\cap (X^{2},Y)$ ${\ displaystyle (X) \ cap (X ^ {2}, Y)}$ ${\ displaystyle (X) \ cap (X ^ {2}, Y)}$ . Unicitatea poate fi recuperată luând în considerare radicalul elementelor descompunerii primare: mai exact, dacă $I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{s}$ ${\ displaystyle I = Q_ {1} \ cap \ cdots \ cap Q_ {s}}$ ${\ displaystyle I = Q_ {1} \ cap \ cdots \ cap Q_ {s}}$ este o descompunere primară și P _i este radicalul lui Q _i , atunci P _i sunt idealurile prime în ansamblu

\{rad((I:_{A}xA))|x\in A\}

{\ displaystyle \ {rad ((I: _ {A} xA)) | x \ în A \}}

{\ displaystyle \ {rad ((I: _ {A} xA)) | x \ în A \}}

(unde este $(I:_{A}xA)=\{a\in A|xa\in I\}$ ${\ displaystyle (I: _ {A} xA) = \ {a \ in A | xa \ in I \}}$ ${\ displaystyle (I: _ {A} xA) = \ {a \ in A | xa \ in I \}}$ ) care este independent de descompunerea inițială.

În special, în domeniile Dedekind , fiecare ideal poate fi scris într-un mod unic ca produs al puterilor idealurilor prime: aceasta este o generalizare a ceea ce se întâmplă în inelul întregilor (precum și în celelalte domenii cu idealuri principale , care sunt domenii particulare ale lui Dedekind), unde idealurile prime sunt generate de numere prime și idealurile primare de puterile sale: descompunerea primară în acest caz corespunde factorizării generatorului ideal în puteri ale numerelor prime.

Bibliografie

( EN ) Michael Atiyah și Ian G. Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5 .

linkuri externe

( EN ) VT Markov, Descompunerea primară , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică