Modul injectiv

În matematică , un modul injectiv este un modul cu proprietatea de a fi un addendum direct la fiecare modul care îl conține: adică Q este injectiv dacă, pentru fiecare modul M care îl conține, există un submodul N de M astfel încât M este suma directă a lui N și Q.

Acest concept este dualitatea cu cea a modulului proiectiv ; a fost introdus de Reinold Baer în 1940. Un exemplu de modul injectiv este $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ -modul $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ a numerelor raționale .

Definiții echivalente

Fie A un inel și Q un A - modul din stânga (definiții total analoge pot fi date pentru modulele din dreapta). Definiția anterioară ( Q este injectivă dacă este sumandul fiecărui modul care o conține) poate fi exprimată în termeni de secvențe exacte : Q este injectivă dacă și numai dacă fiecare scurtă secvență exactă

0\longrightarrow Q\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0

{\ displaystyle 0 \ longrightarrow Q \ longrightarrow M \ longrightarrow N \ longrightarrow 0}

{\ displaystyle 0 \ longrightarrow Q \ longrightarrow M \ longrightarrow N \ longrightarrow 0}

pauze, adică dacă $M=Q\oplus g^{-1}(N)$ ${\ displaystyle M = Q \ oplus g ^ {- 1} (N)}$ ${\ displaystyle M = Q \ oplus g ^ {- 1} (N)}$ (unde g este harta de la M la N ).

De asemenea, este posibil să se caracterizeze modulele injective printr-o proprietate de ridicare: Q este un modul injectiv dacă și numai dacă pentru fiecare omomorfism injectiv al lui A - module stâng f : X → Y și pentru fiecare omomorfism g : X → Q există un omomorfism de module h : Y → Q astfel încât hf = g , adică astfel încât să facă comutatorul următoarei diagrame:

Criteriul lui Baer afirmă, de asemenea, că este suficient ca această proprietate să fie valabilă pentru Y = A și pentru orice X ideal.

Alte definiții echivalente să utilizeze mai mare de teoria categoriilor : Q este injectiv dacă și numai dacă functorul $Hom_{A}(-,Q)$ ${\ displaystyle Hom_ {A} (-, Q)}$ ${\ displaystyle Hom_ {A} (-, Q)}$ asa este ; folosind functorul Ext , Q este injectiv dacă $Ext_{A}^{1}(M,Q)=0$ ${\ displaystyle Ext_ {A} ^ {1} (M, Q) = 0}$ ${\ displaystyle Ext_ {A} ^ {1} (M, Q) = 0}$ pentru fiecare A -modul M.

Exemple

Un grup abelian G (adică unul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ -modul) este injectiv dacă și numai dacă este divizibil , adică dacă pentru fiecare $g\in G$ ${\ displaystyle g \ în G}$ ${\ displaystyle g \ în G}$ și pentru fiecare $n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$ $n \ in \ mathbb {Z}$ este un $h\in G$ ${\ displaystyle h \ în G}$ ${\ displaystyle h \ în G}$ astfel încât nh = g ; același lucru este valabil pentru orice stăpânire cu idealuri principale .

Dacă A este un domeniu de integritate , câmpul său de coeficient K este un modul injectiv A ; dacă în plus A este un domeniu Dedekind , K / A este și un modul injectiv.

Dacă K este un câmp , toate modulele K (adică toate K - spații vectoriale ) sunt injective. Dacă toate modulele A sunt injective, A se numește semisimplă ; acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă toate modulele A sunt proiective și dacă și numai dacă dimensiunea globală a lui A este 0.

Proprietate

Produsul direct $Q=\prod Q_{i}$ ${\ displaystyle Q = \ prod Q_ {i}}$ ${\ displaystyle Q = \ prod Q_ {i}}$ este un modul injectiv dacă și numai dacă fiecare Q _{i este} ; cu toate acestea, nici submodulele, nici modulele de coeficient ale unui modul injectiv nu sunt neapărat injective.

Fiecare A -modul M poate fi scufundat într-un modul A injectabil; există, de asemenea, un modul injectiv Q (numit înveliș injectiv al lui M ) care este „cel mai mic modul injectiv” care conține M , în sensul că fiecare submodul al lui Q intersectează M într-un mod non-trivial. Plicul injectiv al lui M este unic cu excepția izomorfismelor .

Rezoluții injective

O rezoluție injectivă a unui modul M este o secvență exactă

0\longrightarrow M\longrightarrow Q_{0}\longrightarrow Q_{1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow Q_{n}\longrightarrow \cdots

{\ displaystyle 0 \ longrightarrow M \ longrightarrow Q_ {0} \ longrightarrow Q_ {1} \ longrightarrow \ cdots \ longrightarrow Q_ {n} \ longrightarrow \ cdots}

{\ displaystyle 0 \ longrightarrow M \ longrightarrow Q_ {0} \ longrightarrow Q_ {1} \ longrightarrow \ cdots \ longrightarrow Q_ {n} \ longrightarrow \ cdots}

unde Q _i sunt module injective; deoarece fiecare modul este conținut într-un modul injectiv, fiecare M are o rezoluție injectivă. Dacă Q _k este modulul nul pentru k > n , se spune că rezoluția este finită ; minimul n pentru care se produce acest lucru - adică minimul n pentru care există o rezoluție finită

0\longrightarrow M\longrightarrow Q_{0}\longrightarrow Q_{1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow Q_{n}\longrightarrow 0

{\ displaystyle 0 \ longrightarrow M \ longrightarrow Q_ {0} \ longrightarrow Q_ {1} \ longrightarrow \ cdots \ longrightarrow Q_ {n} \ longrightarrow 0}

{\ displaystyle 0 \ longrightarrow M \ longrightarrow Q_ {0} \ longrightarrow Q_ {1} \ longrightarrow \ cdots \ longrightarrow Q_ {n} \ longrightarrow 0}

se numește dimensiunea injectivă a lui M ; dacă M nu are o rezoluție finită, dimensiunea sa este infinită. Dimensiunea injectivă măsoară într-un anumit sens cât de mult un modul „este departe de a fi injectiv”: de fapt, dimensiunea injectivă a unui modul este 0 dacă și numai dacă este injectivă (corespunzătoare rezoluției finite $0\longrightarrow M\longrightarrow M\longrightarrow 0$ ${\ displaystyle 0 \ longrightarrow M \ longrightarrow M \ longrightarrow 0}$ ${\ displaystyle 0 \ longrightarrow M \ longrightarrow M \ longrightarrow 0}$ ). Un inel comutativ Noetherian A a cărui dimensiune injectivă (ca modul pe sine) este finit se numește inel Gorenstein .

Extrema superioară a dimensiunilor injective ale modulelor A se numește dimensiunea globală (sau omologică ) a lui A.

Bibliografie

( EN ) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra , Cambridge University Press, ISBN 0-521-43500-5 .
( EN ) Pete L. Clark, Algebra comutativă ( PDF ). Adus la 5 noiembrie 2011 (arhivat din original la 14 decembrie 2010) .

linkuri externe

( EN ) AV Mikhalev, AA Tuganbaev, modul Injective, în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh85066449

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică