Diagrama comutativă

În matematică , o diagramă comutativă este o diagramă care cuprinde diverse obiecte și morfisme între ele astfel încât, pentru fiecare pereche de obiecte, fiecare cale care le conectează produce aceeași aplicație finală (în ceea ce privește compoziția funcțiilor ). Diagramele comutative joacă în teoria categoriilor rolul pe care îl au ecuațiile din algebră .

Exemplu

Luând definiția produsului tensorial a două spații vectoriale rezumate în imagine

avem prin definiție a $V\otimes W$ ${\ displaystyle V \ otimes W}$ $V \ otimes W$ acea $v\cdot w=\varphi (v\otimes w)$ ${\ displaystyle v \ cdot w = \ varphi (v \ otimes w)}$ ${\ displaystyle v \ cdot w = \ varphi (v \ otimes w)}$ , adică compunerea aplicației $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ după $\otimes$ ${\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ ajungem exact $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ : din acest motiv această diagramă este comutativă.

Un exemplu care implică mai mult de trei obiecte, referitoare întotdeauna la produsul tensorial , este următorul:

Această diagramă este comutativă deoarece $s\circ i=\rho$ ${\ displaystyle s \ circ i = \ rho}$ ${\ displaystyle s \ circ i = \ rho}$ Și $f\circ \pi =s$ ${\ displaystyle f \ circ \ pi = s}$ ${\ displaystyle f \ circ \ pi = s}$ (din care avem și noi $f\circ \pi \circ i=\rho$ ${\ displaystyle f \ circ \ pi \ circ i = \ rho}$ ${\ displaystyle f \ circ \ pi \ circ i = \ rho}$ ).

Evident, această proprietate trebuie să fie valabilă pentru fiecare „cale” posibilă conținută în diagramă: dacă, de exemplu, fiecare funcție din diagrama de mai sus admite un invers , atunci pentru ca această diagramă să fi fost comutativă, ar trebui să țină și $\pi ^{-1}=s^{-1}\circ f$ ${\ displaystyle \ pi ^ {- 1} = s ^ {- 1} \ circ f}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {- 1} = s ^ {- 1} \ circ f}$ , $\rho ^{-1}\circ f=i^{-1}\circ \pi ^{-1}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {- 1} \ circ f = i ^ {- 1} \ circ \ pi ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {- 1} \ circ f = i ^ {- 1} \ circ \ pi ^ {- 1}}$ si asa mai departe.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de diagrame comutative

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein,Diagrama comutativă , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică