Domeniul Prüfer

În matematică , domenii PRüFER sunt un tip de comutative inele cu integrante unități ale căror generate finit module (și , prin urmare , în special, idealurile ) au mai degrabă „bune“ proprietăți; pot fi văzute ca o generalizare a domeniilor lui Dedekind într-un context non- noetherian . Domeniile Prüfer au o importanță centrală în algebra comutativă .

Ele poartă numele matematicianului german Heinz Prüfer .

Exemple

Toate domeniile ideale ideale și domeniile Dedekind sunt domenii Prüfer. În timp ce pentru fiecare câmp de numere K (adică un câmp care conține raționalele și pentru care gradul $[K:\mathbb {Q} ]$ ${\ displaystyle [K: \ mathbb {Q}]}$ ${\ displaystyle [K: \ mathbb {Q}]}$ este finit) inelul întregilor algebrici este un domeniu Dedekind, inelul tuturor numerelor întregi algebrice (adică închiderea integrală a $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ în câmpul numerelor algebrice) este un domeniu Prüfer care nu provine din Dedekind.

Alte exemple de domenii Prüfer sunt inelul funcțiilor întregi și inelul polinomilor cu valori întregi .

Definiție

Domeniile Prüfer pot fi caracterizate, printre domeniile de integritate , în multe moduri echivalente, utilizând proprietățile idealurilor sale, localizările sale, supra-inelele sau proprietățile sale omologice .

Un domeniu A este al lui Prüfer dacă și numai dacă locația A _M este un inel de evaluare pentru fiecare M ideal maxim ; echivalent, dacă A _P este un inel de evaluare pentru fiecare ideal prim P.

Din punctul de vedere al idealurilor, un domeniu A este al lui Prüfer dacă și numai dacă fiecare ideal generat finit este inversabil sau dacă pentru fiecare ideal I finit generat există un ideal fracționat J astfel încât IJ = R ; în acest caz J trebuie să fie setul $(A:I)=\{x\in K|xI\subseteq A\}$ ${\ displaystyle (A: I) = \ {x \ în K | xI \ subseteq A \}}$ ${\ displaystyle (A: I) = \ {x \ în K | xI \ subseteq A \}}$ , unde K este câmpul coeficient al lui A. De asemenea, este suficient să se solicite ca fiecare ideal generat de două elemente să fie inversabil. Echivalențe suplimentare sunt obținute luând în considerare proprietatea de distributivitate printre idealurile finit generate: cu precizie, un domeniu de integritate este al lui Prüfer dacă și numai dacă, pentru fiecare triplet de idealuri finit generate I , J și K , una dintre următoarele este valabilă:

I\cap (J+K)=(I\cap J)+(I\cap K)

{\ displaystyle I \ cap (J + K) = (I \ cap J) + (I \ cap K)}

{\ displaystyle I \ cap (J + K) = (I \ cap J) + (I \ cap K)}

I(J\cap K)=IJ\cap IK

{\ displaystyle I (J \ cap K) = IJ \ cap IK}

{\ displaystyle I (J \ cap K) = IJ \ cap IK}

(I+J)(I\cap J)=IJ

{\ displaystyle (I + J) (I \ cap J) = IJ}

{\ displaystyle (I + J) (I \ cap J) = IJ}

Din punct de vedere omologic, domeniile Prüfer pot fi caracterizate ca domenii A pentru care fiecare sub- A - modul al unui proiectiv A - modul este încă proiectiv sau pentru care submodulele unui modul plat sunt plate. Mai mult, un domeniu este al lui Prüfer dacă și numai dacă toate idealurile sunt module plate A , sau dacă și numai dacă toate modulele fără torsiune sunt plate, sau dacă și numai dacă fiecare supra-inel al lui A (adică fiecare inel dintre A iar câmpul său coeficient) este plat (cum ar fi modulul A ).

În sfârșit, un domeniu îi aparține lui Prüfer dacă și numai dacă fiecare dintre super-inelele sale este închis integral .

Cazuri speciale

Printre domeniile Prüfer se remarcă trei clase de inele.

Primul este cel al domeniilor Dedekind , care pot fi definite ca acele domenii ale lui Prüfer care sunt și noetheriene : domeniile Dedekind sunt de fapt acele domenii în care fiecare ideal este inversabil.

Al doilea este cel al domeniilor Bézout , în care fiecare ideal generat finit este principal (și, prin urmare, inversabil): această proprietate poate fi exprimată spunând că fiecare pereche de elemente ( a , b ) are cel mai mare divizor comun și că poate fi exprimată ca o combinație liniară a și b (adică există o identitate Bézout ). Prin urmare, în special, domeniile Bézout sunt domenii cu cel mai mare divizor comun . Analogul noetherian al domeniilor Bézout sunt principalele domenii ale idealurilor .

În cele din urmă, există inelele de evaluare (care au un singur ideal maxim; prin localizarea pe el, inelul în sine este recâștigat). Deoarece toate domeniile Prüfer sunt inele de evaluare la nivel local, Prüfer poate fi văzut ca o versiune „globală” a inelelor de evaluare, la fel cum domeniile Dedekind pot fi văzute ca o versiune globală a domeniilor de evaluare discrete ; în plus, inelele de evaluare Noetherian sunt exact domeniile de evaluare discrete. Trebuie remarcat faptul că există domenii Prüfer ale căror localizări sunt de evaluare discretă, dar care nu sunt noetheriene și, prin urmare, nu sunt din Dedekind: aceste inele se numesc domenii cvasidedekind ( aproape Dedekind ).

Bibliografie

Robert Gilmer, Teoria ideală multiplicativă , New York, Marcel Dekker Inc., 1972, ISBN 0-8247-1242-0 .
Marco Fontana, James A. Huckaba și Ira J. Papick, domenii Prüfer, New York, Marcel Dekker Inc., 1997, ISBN 978-0-8247-9816-1 .
Pete L. Clark, Algebra comutativă ( PDF ). Adus la 20 iulie 2011 (arhivat din original la 14 decembrie 2010) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică