Polinom întreg

În matematică , un polinom cu valoare întreagă este un polinom $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ cu coeficienți raționali astfel încât $P(n)$ ${\ displaystyle P (n)}$ $P (n)$ este un număr întreg pentru orice număr întreg $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Toate polinoamele cu coeficienți întregi sunt valori întregi, dar nu și invers: de exemplu, polinomul

{\frac {x(x+1)}{2}}={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x

{\ displaystyle {\ frac {x (x + 1)} {2}} = {\ frac {1} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {2}} x}

{\ displaystyle {\ frac {x (x + 1)} {2}} = {\ frac {1} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {2}} x}

este întreg, dar coeficienții săi nu sunt întregi.

Clasificare

Toate polinoamele din formă

P_{k}(x)={\frac {x(x-1)\cdots (x-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}

{\ displaystyle P_ {k} (x) = {\ frac {x (x-1) \ cdots (x-k + 1)} {k \ cdot (k-1) \ cdots 1}}}

{\ displaystyle P_ {k} (x) = {\ frac {x (x-1) \ cdots (x-k + 1)} {k \ cdot (k-1) \ cdots 1}}}

sunt polinomii cu valori întregi, deoarece pentru orice număr întreg $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ valoarea a $P_{k}(t)$ ${\ displaystyle P_ {k} (t)}$ ${\ displaystyle P_ {k} (t)}$ este egal cu coeficientul binomial ${\binom {t}{k}}$ ${\ displaystyle {\ binom {t} {k}}}$ ${\ displaystyle {\ binom {t} {k}}}$ , care este un număr întreg.

Pólya a demonstrat în 1919 că toate polinoamele cu valoare întreagă derivă din acestea: mai exact, dacă $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ este un polinom întreg, atunci există coeficienți întregi $a_{0},\ldots ,a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}$ (determinat unic) astfel încât

P(x)=a_{0}+a_{1}P_{1}(x)+\cdots +a_{n}P_{n}(x)

{\ displaystyle P (x) = a_ {0} + a_ {1} P_ {1} (x) + \ cdots + a_ {n} P_ {n} (x)}

{\ displaystyle P (x) = a_ {0} + a_ {1} P_ {1} (x) + \ cdots + a_ {n} P_ {n} (x)}

. ^[1]

Din punct de vedere algebric, aceasta implică faptul că setul de polinoame cu valoare întreagă este un grup abelian liber , iar mulțimea $\{1,P_{1}(x),P_{2}(x),\ldots \}$ ${\ displaystyle \ {1, P_ {1} (x), P_ {2} (x), \ ldots \}}$ ${\ displaystyle \ {1, P_ {1} (x), P_ {2} (x), \ ldots \}}$ este baza sa.

Dovada acestei teoreme se realizează prin metoda diferenței finite .

Setul de polinoame cu valoare întreagă este, de asemenea, un inel , care este strict cuprins între cele două inele ale polinoamelor $\mathbb {Z} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ Și $\mathbb {Q} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ polinoame cu (respectiv) coeficienți întregi și raționali, și este denumit în general $\mathrm {Int} (\mathbb {Z} )$ ${\ displaystyle \ mathrm {Int} (\ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Int} (\ mathbb {Z})}$ . Din punct de vedere algebric, acest inel este un domeniu Prüfer de dimensiunea 2; în special, nu este noetherian . Idealurile sale principale pot fi clasificate prin completările localizărilor din $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ decât idealurile sale primare.

Generalizări

Conceptul de polinom cu valoare întreagă poate fi generalizat la orice domeniu de integritate $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ : întregul $\mathrm {Int} (D)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Int} (D)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Int} (D)}$ a polinomilor cu valori întregi pe $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este format din polinoame $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ a coeficienți în domeniul coeficienților $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ astfel încât $P(d)\in D$ ${\ displaystyle P (d) \ în D}$ ${\ displaystyle P (d) \ în D}$ pentru fiecare $d\in D$ ${\ displaystyle d \ în D}$ ${\ displaystyle d \ în D}$ . Structura $\mathrm {Int} (D)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Int} (D)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Int} (D)}$ ca $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ - modulul și ca inel este strâns legat de proprietățile algebrice ale $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . De exemplu, dacă $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ atunci este un domeniu noetherian $\mathrm {Int} (D)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Int} (D)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Int} (D)}$ este un domeniu al Prüfer dacă și numai dacă $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este un domeniu Dedekind ale cărui câmpuri reziduale sunt finite. ^[2] Este, de asemenea, posibil ca $\mathrm {Int} (D)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Int} (D)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Int} (D)}$ pur și simplu coincide cu inelul polinoamelor $D[x]$ ${\ displaystyle D [x]}$ ${\ displaystyle D [x]}$ , cum ar fi unde câmpurile reziduale ale $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ sunt infinite. ^[3]

De asemenea, este posibil să se considere că nu sunt polinoame, ci mai general funcții raționale sau funcții întregi cu valori întregi, la fel cum este posibil să se ia în considerare polinoame care au mai mult de un nedeterminat. De exemplu, dacă $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un domeniu de evaluare discret e $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ atunci este un element care își generează idealul maxim

P(x)={\frac {x}{\pi +x^{2}}}

{\ displaystyle P (x) = {\ frac {x} {\ pi + x ^ {2}}}}

{\ displaystyle P (x) = {\ frac {x} {\ pi + x ^ {2}}}}

este o funcție rațională pe care se evaluează numărul întreg $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ (adică $f(t)\in V$ ${\ displaystyle f (t) \ în V}$ ${\ displaystyle f (t) \ în V}$ pentru fiecare $t\in V$ ${\ displaystyle t \ in V}$ ${\ displaystyle t \ in V}$ ).

În cele din urmă, aceste construcții pot fi luate în considerare luând în considerare polinoame (sau funcții raționale) care au valori întregi numai pe un subset $E\subseteq D$ ${\ displaystyle E \ subseteq D}$ ${\ displaystyle E \ subseteq D}$ sau, chiar mai general, pe ansamblu $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ care este conținut într-un câmp care conține, de asemenea $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ ; adică este posibil să se ia în considerare întregul

\mathrm {Int} (E,D)=\{P(x)\in K[x]\mid P(t)\in D\mathrm {~per~ogni~} t\in E\}

{\ displaystyle \ mathrm {Int} (E, D) = \ {P (x) \ in K [x] \ mid P (t) \ in D \ mathrm {~ pentru ~ fiecare ~} t \ in E \} }

{\ displaystyle \ mathrm {Int} (E, D) = \ {P (x) \ in K [x] \ mid P (t) \ in D \ mathrm {~ pentru ~ fiecare ~} t \ in E \} }

,

unde este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este domeniul coeficienților $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . În acest caz, proprietățile lui $\mathrm {Int} (E,D)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Int} (E, D)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Int} (E, D)}$ depind atât de proprietățile $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ decât din cele ale $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

Notă

^ ( DE ) George Pólya, Über ganzwertige Polynome in algebraischen Zahlkörpern , în Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 149, 1919, pp. 97-116.
^ Cahen și Chabert , 126, Teorema VI.1.17
^ Cahen și Chabert , 10, Corolar I.3.7 .

Bibliografie

( EN ) Paul-Jean Cahen și Jean-Luc Chabert, Integer-Valued Polynomials , American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-0388-3 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] ( DE ) George Pólya, Über ganzwertige Polynome in algebraischen Zahlkörpern , în Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 149, 1919, pp. 97-116.

[2] Cahen și Chabert , 126, Teorema VI.1.17

[3] Cahen și Chabert , 10, Corolar I.3.7 .

[1]

[2]

[3]