Centrul unui grup

În matematică , având în vedere un grup G , centrul lui G este subsetul lui G definit astfel:

C:=\{c\in G\ |\ gc=cg{\text{ per ogni elemento }}g\in G\}

{\ displaystyle C: = \ {c \ în G \ | \ gc = cg {\ text {pentru fiecare element}} g \ în G \}}

{\ displaystyle C: = \ {c \ în G \ | \ gc = cg {\ text {pentru fiecare element}} g \ în G \}}

Prin urmare, elementele lui G fac naveta cu toate elementele lui G (inclusiv cele care nu aparțin lui C ). ^[1]

Dacă G este un grup abelian , clar, C = G.

C este un subgrup abelian și, de asemenea, un subgrup normal al lui G : de fapt, luarea lui c aparținând elementelor C și g ale lui G , gc = cg implică $gcg^{-1}=cgg^{-1}=c1_{G}=c$ ${\ displaystyle gcg ^ {- 1} = cgg ^ {- 1} = c1_ {G} = c}$ ${\ displaystyle gcg ^ {- 1} = cgg ^ {- 1} = c1_ {G} = c}$ . Această proprietate permite întotdeauna construirea grupului de coeficient G / C.

Exemple

Să luăm în considerare grupul $GL(n,\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}$ matrici pătrate inversabile de ordinul n cu elemente reale , prevăzute cu rândurile obișnuite de produse pe coloane . Centrul acestui grup este dat de multiplii unității $\lambda I$ ${\ displaystyle \ lambda I}$ $\ lambda I$ , adică din matricile diagonale cu toate elementele egale pe diagonală. Trecând la coeficient, matricile A și B sunt identificate astfel încât să existe un λ real pentru care A = λB deține . Multiplii unității sunt apoi identificați cu elementul unității, care rămâne singurul care trece cu restul grupului, acest lucru nu împiedică oricum să comute două matrice arbitrare între ele.

Alte exemple:

Centrul grupului ortogonal $O(n)$ ${\ displaystyle O (n)}$ $Pe)$ este dat de { $I,-I\$ ${\ displaystyle I, -I \}$ ${\ displaystyle I, -I \}$ }.
Centrul grupului de cuaternion Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} este {1, −1}.

Notă

^ Bosch, S. , p. 221 .

Bibliografie

Siegfried Bosch, Algebra , Springer, 2003, ISBN 978-88-470-0221-0 .
Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
Ralph Grimaldi, Matematică discretă și combinatorie , ISBN 0-201-19912-2 .
Gunther Schmidt, 2010. Matematică relațională . Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7 .
Antonio Machì, Grupuri: O introducere la ideile și metodele Teorii de grup , Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8 .
JS Milne, Teoria grupului ( PDF ), 2012. Accesat la 22 februarie 2013 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Bosch, S. , p. 221 .

[1]