Comandă totală

În matematică , o ordine simplă / ordine totală sau ordine liniară (sau relație de ordine totală sau liniară ) este o relație binară pe un set X care este reflexiv , antisimetric , tranzitiv (deci o relație de ordine ) și total . Aceasta înseamnă că, dacă notăm o astfel de relație cu ≤, următoarele afirmații sunt valabile pentru toate elementele a , b și c ale lui X :

a ≤ a ( reflexivitate )

dacă a ≤ b și b ≤ a , atunci a = b ( antisimetrie )

dacă a ≤ b și b ≤ c atunci a ≤ c ( tranzitivitate )

a ≤ b sau b ≤ a ( totalitate )

Un întreg cu o ordine totală se numește un set total ordonat , sau chiar un set ordonat liniar sau un lanț .

Aceeași definiție poate fi dată și pentru precomenzi : o precomandă care satisface proprietatea integrității se numește precomandă totală .

Proprietatea totală a unei relații poate fi descrisă spunând că oricare dintre elementele sale constituie o pereche comparabilă pentru relația însăși.

Rețineți că proprietatea totalității implică reflexivitate , adică pentru fiecare element a este a ≤ a . O ordine totală este în special o ordine parțială , adică este o relație binară reflexivă, antisimetrică și tranzitivă. O ordine totală poate fi definită și ca o ordine parțială care este, de asemenea, o relație totală .

Alternativ, un set complet ordonat poate fi definit pornind de la un anumit tip de rețea $\langle X,\vee ,\wedge \rangle$ ${\ displaystyle \ langle X, \ vee, \ wedge \ rangle}$ $\ langle X, \ vee, \ wedge \ rangle$ pentru care este

\forall a,b\in X~:~\{a\vee b,a\wedge b\}=\{a,b\}

{\ displaystyle \ forall a, b \ in X ~: ~ \ {a \ vee b, a \ wedge b \} = \ {a, b \}}

\ forall a, b \ in X ~: ~ \ {a \ vee b, a \ wedge b \} = \ {a, b \}

.

Relația definită prin setarea a două elemente generice a și b pentru această rețea este asociată:

a ≤ b dacă și numai dacă

a=a\wedge b

{\ displaystyle a = a \ wedge b}

a = a \ wedge b

.

Dacă a și b sunt elemente ale unei mulțimi ordonate total de relația ≤, atunci putem defini relația binară a < b întrebând: a ≤ b și a ≠ b . Această relație, la fel ca ≤, este tranzitivă ( a < b și b < c implică a < c ), dar, contrar lui ≤, este trichotomică , adică astfel încât unul și numai unul dintre cele trei fapte a < b , b < a este adevărat și a = b . De asemenea, este posibil să urmați calea constructivă opusă, adică să începeți de la o relație binară tranzitivă trichotomică <, să definiți relația a ≤ b pentru a exprima relația " a < b sau a = b " și să demonstrați că ≤ este o ordine totală .

Exemple

Numerele naturale, numerele întregi, numerele raționale, numerele algebrice, numerele construibile și numerele reale cu relația obișnuită ≤ sau reflectarea ei constituie ordine totale.
Fiecare subset al unui set complet ordonat este o ordine totală.
Fiecare set de numere cardinale sau numere ordinale este complet ordonat (de fapt este și un set bine ordonat ).
Literele alfabetului englezesc ordonate conform ordinii standard a dicționarelor în limbi precum engleza și italiana sunt ordonate implicit: A < B < C ....
Ordinea lexicografică pe setul puterilor carteziene ale oricărei ordine totale sau asupra oricărui produs cartezian al oricărei secvențe de ordine totale. Luând în considerare faptul că un alfabet este implicit total ordonat și că ordonarea totală este menținută prin trecerea la un subset, rezultă că fiecare set de cuvinte cu ordine alfabetică este o ordine totală.
Seturile ordonate prin includere ( A < B dacă și numai dacă A este un subset al lui B ) sunt exemple tipice de seturi neordonate complet (nici {1} <{2}, nici {2} <{1}). Adesea, totuși, sunt identificate colecții speciale de seturi care sunt total ordonate prin includere. De exemplu, dacă pentru fiecare număr întreg pozitiv n considerăm mulțimile primelor n numere întregi pozitive scriind I _n : = {1, ..., n }, atunci colecția de mulțimi { I _n |: n pozitiv} este ordonată în totalitate de includere.
Dacă X este orice mulțime și f este o bijecție dintr-un segment inițial de numere întregi pozitive ordonate total de <pe X , atunci f induce o ordonare totală pe X dacă se stabilește că x ₁ < x ₂ dacă și numai dacă x ₁ = f ( n ₁ ) și x ₂ = f ( n ₂ ) și n ₁ < n ₂ . Într-adevăr, mai general, fiecare bijuterie dintr-un set total ordonat induce o ordine totală în codomainul său.

Topologia comenzii

Pentru fiecare set complet ordonat X se pot defini intervalele ( a , b ): = { x : a < x și x < b }, (−∞, b ): = { x : x < b }, ( a , ∞ ): = { x : a < x } și (−∞, ∞) = X. Aceste intervale deschise pot fi utilizate pentru a defini o topologie pe setul X numită topologie de ordine .

Se observă că definiția unui set ordonat ca un set cu o relație de ordine garantează unicitatea topologiei de ordine pe fiecare set ordonat. Cu toate acestea, în practică nu se insistă asupra distincției dintre un set cu propria sa ordonare și o pereche de set-order în ansamblu. Prin urmare, pentru a evita confuzia atunci când se iau în considerare mai multe ordine în asociere cu un singur set, se folosește în mod obișnuit pentru a vorbi de topologia ordinelor induse de o anumită ordine. De exemplu, dacă N denotă mulțimea numerelor naturale , <și> relațiile obișnuite, ne putem referi la topologia de ordine indusă pe N de <și de cea indusă de>; în acest caz cele două topologii coincid, dar acest lucru nu este adevărat în general.

Termenul lanț

Acest termen de la începutul acestui articol a fost considerat a fi doar un sinonim pentru un tot ordonat . Cu toate acestea, este mai des folosit pentru a desemna un subset complet ordonat al unor seturi parțial ordonate . Prin urmare, se întâmplă că se spune de obicei că realele constituie un tot ordonat ; dacă, în schimb, luăm în considerare totalitatea subseturilor setului de numere întregi parțial ordonate de incluziune, atunci colecția ordonată total de incluziunea {I _n |: n număr natural} definită într-un exemplu anterior se numește de obicei un lanț.

Utilizarea preferențială a termenului „lanț” pentru a desemna un subset total ordonat al unui set parțial ordonat derivă probabil din rolul important pe care îl au astfel de lanțuri în lema lui Zorn .

Total comenzi finite

Fiecare ordine totală finită are un element minim: acest lucru este demonstrat de simple considerații exhaustive. Prin urmare, fiecare subset al unui ordin total finit are, de asemenea, un minim. Deci, orice ordine finită totală este o ordine bună . Fie cu o dovadă constructivă directă, fie pe baza observației că fiecare ordine bună este izomorfă la un ordinal , se poate arăta că fiecare ordine totală finită este izomorfă la un segment inițial al întregilor pozitivi ordonați cu <. Cu alte cuvinte, pe un set de k elemente, o bijecție cu mulțimea primelor k numere întregi pozitive induce o ordine totală. Prin urmare, este posibilă indexarea elementelor fiecărei ordine finite totale și a fiecărei ordine contabile bune prin intermediul unor numere întregi pozitive sau prin intermediul numerelor naturale pentru a respecta ordonarea.

Acest lucru nu este valabil pentru o comandă parțială , deoarece nu se bucură de a treia condiție. În acest sens, amintiți-vă exemplul de ordine parțială oferit de relația întâmplată înainte .

Bibliografie

George Grätzer (1971). Teoria rețelei: primele concepte și rețele distributive. WH Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
John G. Hocking și Gail S. Young (1961). Topologie. Reeditare corectată, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică