Seria formală de puteri în mai multe variabile
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În matematică, seriile formale de putere din mai multe variabile sunt extensii destul de directe ale seriei formale de putere . Dacă notăm cu R un inel comutativ , cu r un număr întreg mai mare de 1 și cu X 1 , ..., X r denotă variabile formale, ajungem la definiția unui inel de serii formale de puteri peste R în aceste variabile, notat R [[ X 1 , ..., X r ]]. Elementele acestui inel pot fi exprimate în mod unic în formă
unde n = ( n 1 , ..., n r ) ∈ N r și X n reprezintă monomiul X 1 n 1 ... X r n r . Această sumă din topologia corespunzătoare converge pentru fiecare alegere a coeficienților la n ∈ R , iar ordinea însumării este irelevantă.
Definiție
O posibilă definiție a inelului puterii formale de mai sus R folosește idealul pe care îl notăm cu I , idealul lui R [ X 1 , ..., X r ] generat de X 1 , ..., X r , care este, idealul format din polinoame cu un termen constant egal cu zero. Ca R [[ X 1 , ..., X r ]] presupunem atunci finalizarea inelului polinomilor R [ X 1 , ..., X r ] în variabile r în raport cu topologia I-adică .
În mod alternativ, se poate proceda într-un mod similar cu cel realizat cu construcția mai explicită și graduală pentru seria formală de puteri a unei singure variabile, ajungând mai întâi la structura inelului în termeni de secvențe „multidimensionale” și apoi definind topologia .
Topologia lui R [[ X 1 , ..., X r ]] este topologia J-adică, unde J denotă idealul lui R [[ X 1 , ..., X r ]] generat de X 1 ,. .., X r , acesta este idealul constând în serii cu zero termen constant. Prin urmare, două serii sunt considerate „apropiate” dacă primii lor termeni coincid, unde prin primii termeni ne referim la termenii al căror grad total n 1 + ... + n r are valoare limitată.
Avertizare
Deși R [[ X 1 , X 2 ]] și R [[ X 1 ]] [[ X 2 ]] sunt izomorfe ca inele, ele nu au aceeași topologie. De exemplu, succesiunea elementelor lor
converge la zero în R [[ X 1 , X 2 ]] pentru n → ∞; dimpotrivă, nu converge în inelul R [[ X 1 ]] [[ X 2 ]], deoarece copia lui R [[ X 1 ]] imersată în R [[ X 1 ]] [[ X 2 ] ] a fost echipat cu topologia discretă .
Operațiuni
Toate operațiile definite pentru serii într-o singură variabilă pot fi introduse pentru serii în mai multe variabile.
- Adăugarea se face de la un termen la altul.
- Înmulțirea se face cu regula Cauchy.
- O serie este inversabilă cu privire la produsul Cauchy dacă și numai dacă termenul său constant este inversabil în inelul R.
- Compoziția f ( g ( X )) a două serii f și g este definită numai dacă termenul constant al g este zero.
În ceea ce privește derivarea formală, acum introducem r operatori de derivată parțială care diferențiază în raport cu r variabile unice. Fiecare dintre ele navetează cu toate celelalte rămase, așa cum se întâmplă pentru derivările parțiale ale funcțiilor continuu diferențiate.
Proprietate universală
Setul de serii formale de puteri din mai multe variabile R [[ X 1 , ..., X r ]] este caracterizat de următoarea proprietate universală. Dacă S este o algebră comutativă asociativă pe R , dacă I este un ideal al lui S astfel încât topologia I -adică pe S este completă și dacă x 1 , ... și x r sunt elemente ale lui I , atunci există o singură aplicație Φ: R [[ X 1 , ..., X n ]] → S cu următoarele proprietăți:
- Φ este un omomorfism al R -algebrei
- Φ este continuu
- Φ ( X i ) = x i pentru i = 1, ..., r .
